2022年暑假滬教版新九年級數(shù)學(xué)-第8講 平面向量的線性運(yùn)算（教師版）

第8講平面向量的線性運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

平面向量的線性運(yùn)算是九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第四節(jié)的內(nèi)容.在八年級下學(xué)期第三章第四節(jié)“平面

向量及其加減運(yùn)算”中，我們學(xué)習(xí)了平面向量的相關(guān)概念和加減運(yùn)算的法則，本節(jié)的學(xué)習(xí)需要建立在此基

礎(chǔ)上.本講主要講解實數(shù)與向量相乘，以及向量的線性運(yùn)算，重點是平面向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算，難

點是在幾何圖形中對目標(biāo)向量進(jìn)行線性表示.

【基礎(chǔ)知識】

—：實數(shù)與向量相乘

1.平面向量的相關(guān)概念

向量：既有大小、又有方向的量叫做向量：

向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度(或向量的模)；

零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作6；

相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；

互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；

平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量.

2.平面向量的加減法則

幾個向量相加的多邊形法則；

向量減法的三角形法則；

向量加法的平行四邊形法則.

3.實數(shù)與向量相乘的運(yùn)算

設(shè)k是一個實數(shù)，￡是向量，那么k與￡相乘所得的積是一個向量，記作日.

如果火工0,且aw。，那么心的長度恂=陶利；

的方向：當(dāng)k>0時與〃同方向；當(dāng)k<0時與。反方向.

如果k=0或￡=6,那么%￡=0.

4.實數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律

設(shè)m、"為實數(shù)，則

；(w+n)a=ma+na；m^a+b^=ma+mb.

平行向量定理

如果向量B與非零向量￡平行，那么存在唯一的實數(shù)m,使石=

5.單位向量

單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.設(shè)e為單位向量，則忖=1.

單位向量有無數(shù)個；不同的單位向量，是指它們的方向不同.

對于任意非零向量入與它同方向的單位向量記作曲.

由實數(shù)與向量的乘積可知：〃

二：向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算

向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.

2伍+39、等+［一到

如2a+、a-3b￡-分等，都是向量的線性運(yùn)算.

一般來說，如果￡、B是兩個不平行的向量，2是平面內(nèi)的一個向量，那么"可以用￡、B表示，并且通常

將其表達(dá)式整理成的形式，其中x、y是實數(shù).

2.向量的合成與分解

如果。、B是兩個不平行的向量，c=+（m、n是實數(shù)），那么向量c就是向量機(jī)。與的合成；也

可以說向量c分解為〃?”、兩個向量，這時，向量，〃。與是向量c分別在a、B方向上的分向量，ma+nb

是向量"關(guān)于a、B的分解式.

平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解.

【考點剖析】

考點一：實數(shù)與向量相乘

「工例L下列命題中的假命題是（

)

（A）向量A月與胡的長度相等

（B）兩個相等向量若起點相同，則終點必相同

（C）只有零向量的長度等于0

（D）平行的單位向量都相等

【難度】★

【答案】D

【解析】D選項，平行的單位向量方向可以相同，此時是相等向量，也可以方向相反，此時是相反向量.

【總結(jié)】此題主要考查向量的相關(guān)概念.

P工例2.填空：

AB+BC=；AB+BC+CA=

AB+BC+BA=；AE+FC+EF=

AB-AC+BC=；OA+BC-OC=

【難度】★

【答案】AC；6；BC；AC；6；BA.

【解析】此題主要考查向量的加減法則，另外，加減法則之間可以轉(zhuǎn)換，比如荏-/=而是利用減法法

則，箭頭指向被減數(shù)，同時通-/=荏+m=臣+通=麗，這樣運(yùn)算復(fù)雜了，但也是一種思路.

【總結(jié)】此題主要考查向量的加減運(yùn)算法則.

例3.如圖，已知平行四邊形A8CD,對角線AC與8。相交于點。.設(shè)。4=￡,OB=b,試用￡、b

表示下列向量:

OC,OD,AB,BC,CD,DA.

【難度】★

【答案】OC=-a；OD=-b；AB=b-a；BC=-b-a；CD=a-b；DA=a+b.

【解析】利用平行四邊形對邊平行且相等，對角線互相平分的性質(zhì)來求解以上向量：。右=-。4=-。；

OD=—OB=—b：AB=OB-OA=b—a：BC=OC-OB=-a—b-,CD=—AB=a—bDA.=—BC=a+b.

【總結(jié)】此題主要考查向量的加減運(yùn)算法則.

7(“+5)-4(a-+34=

；（。+@一；（￡叫=--------

【難度】★

【答案】-15a；6a+1區(qū);工。+*尻

66

【解析】（1）（—3）x52=—153；

（2）7（a+B）-4（a-B）+3a=7a+7B-44+4B+3〃=6a+llB；

（3）如+?一扣叫f2

【總結(jié)】此題主要考查實數(shù)與向量相乘的運(yùn)算定律，以及去括號法則.

用單位向量e表示下列向量:

（1）〃與e方向相同，且長度為9；

（2）B與e方向相反，且長度為5；

（3）2與工方向相反，且長度為3.

5

【難度】★

【答案】a=9e；b=-5e；c=--e.

5

【解析】此題主要考查用單位向量工來表示已知向量，a=9e；b=-5e^=~e.

6.如圖，己知點。、E分別在AABC的邊AB、AC上，DE//BC,4。=4,80=7,試用向量圮表

【難度】★★

【答案】DE=—W.

11

【解析】VAD=4,BD=1,又?：DEIiBC,A—=—.：.DE=—BC.

AB11BCAB11

【總結(jié)】此題主要是將向量與三角形一邊平行線的性質(zhì)結(jié)合起來，在用已知向量表示未知向量時一定要注

意方向是否相同.

列7.下列說法中，正確的是（）

A.一個向量與零相乘，乘積為零

B.向量不能與無理數(shù)相乘

C.非零向量乘以一個負(fù)數(shù)所得向量比原向量短

D.非零向量乘以一個負(fù)數(shù)所得向量與原向量方向相反

【難度】★★

【答案】D

【解析】4選項向量與零相乘，結(jié)果是零向量；8選項向量可以與任何實數(shù)相乘；C選項非零向量乘以一個

負(fù)數(shù)，方向與原向量相反，長度不確定.

【總結(jié)】此題主要考查實數(shù)與向量相乘的法則.

例8.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F分別是AB、AD的中點，且人尸二孔AE=b,用人坂表

示麗，其結(jié)果是.

【難度】★★

【答案】DB=2b-2a.

【解析】DB=DA+AB=2FA+2AE=2AE-2AF=2b-2a.

【總結(jié)】此題主要考查向量相乘的加減法運(yùn)算法則.

9.如果囪=5,同=3,那么網(wǎng)的取值范圍是.

【難度】★★

【答案】24網(wǎng)48.

【解析】|祠=伊-西，當(dāng)。、4、B三點共線時，|麗-麗分別取最大值與最小值，麗麗同向時取最

小值2,方向相反時取最大值8,所以福卜8.

【總結(jié)】此題主要考查向量的模的概念.

(2)3(2自+55)-2(3￡-孫

(3)l(2a+^-3c)-3^-^.

【難度】★★

【答案】(1)--a--bi(2)176；(3)a-b+-c.

222

(2)3(2a+5b)-2(3a-b)=6a+\5b-6a+2b^nb；

(3)—(2a+h—3c\—3\—h—c\=a+—h-—c——h+3c=a—h+—c.

2、712J2222

【總結(jié)】此題主要考查向量與實數(shù)相乘，以及“合并同類項”.

i'll例￡.設(shè)'B是己知向量，解關(guān)于向量"的方程2工+3￡-5石=。?

【難度】★★

【答案】c=-b--a.

72

【自舉析】)W：V2c+3a--h=0,A2c=-b-3a,Ac=-h--a.

7772

【總結(jié)】此題主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量.

［工例12.已知向量入B滿足色鏟--=口3￡+%），求證：向量￡和3平行.

【難度】★★

【解析】-—產(chǎn)q(34+2B)

去分母：2(a+3b)-5(a-b)=2(3a+2h)

去括號：2a+6〃-5a+5〃=6a+4b

移項合并得：76=9a

系數(shù)化1：b=—a

7

所以，向量。和石平行.

【總結(jié)】此題主要是利用平行向量的概念來判定兩個向量平行.

［例13.已知32+%=4工，2a-b=5c,其中工二。，那么向量￡與囚是否平行？

【難度】★★

【答案】平行.

'—————

3。+2Z?=4ce/口a=2c?…

【解析】聯(lián)立方程組:一一一，解得(一一，所以,向量a與1平行.

2a-h=5c[b=-c

【總結(jié)】此題主要是利用平行向量的概念來判定兩個向量平行.

考點二：向量的線性運(yùn)算

例L如圖，己知非零向量￡、6,以點。為起點，求作向量-2￡+3萬.

2

b

【難度】★

【解析】作法(作圖過程略)：以。為起點，作方=-2九

以A為起點，作與=3分，聯(lián)結(jié)08.

2

則。*=一2￡+2幾為所求作圖形.

2

【總結(jié)】本題主要是通過向量的線性運(yùn)算表示出向量之后，再利用向量的加減運(yùn)算法則來作圖.

例2.計算：(1)2(")一5(2￡+；小(2)(￥—學(xué))一戰(zhàn)+倒.

【難度】★

【答案】⑴-—a--bx(2)--a--b.

3426

【解析】(1)2(-a+—b\-5[2a+—h\=—a+b-\0a--h=--a--h；

[32J{4J3434

-2-5-1-1-7-

(2)—xa—h——a—h=——a——-h

36226

【總結(jié)】此題主要考查向量與實數(shù)相乘，以及“合并同類項”.

3.已知向量a、E不平行，x、y是實數(shù)，且xa+yB=3ya-(l+x)B,求x、y的值.

【難度】★

'^__3

【答案】xa+yb=3ya-(1+x)/?,.解得：＜

[y=-(l+x)1

La

【總結(jié)】本題主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程組的方法.

(Y)例4.如圖，已知向量礪、礪和入b,求作：

(1)向量々分別在。(、O方方向上的分向量;

(2)向量B分別在。4、O方方向上的分向量.

/"A

0乙------?

A

【難度】★★

【解析】作法(作圖略)：

(1)以￡的起點，分別作OB、0A的平行線OC0D,以￡的終點分別作0C、0。的平行線，交于E、F兩

點，則。月，辦是￡在0鼠。助向上的分向量.

(2)作法同(1).

【總結(jié)】本題主要考查求一個向量的分向量的方法.

b.c為已知向量，求未知向量x.

【難度】★★

321-1

??2xH—x=—a—bH—c?

2322

4-11-

x=—a——bf+—c

2177

【總結(jié)】本題考查解向量方程，思想類比普通方程的解法：去分母T去括號T移項f合并化簡T系數(shù)化1.

6.已知。為A/WC內(nèi)一點，點。、￡分別在邊48±,M,DE1/BC.^OB=hOC=c,

DB2f

試用b、c表示DE.

A

【難度】★★

【答案】DE=--b+-c.

33

【解析】VBC=BO+OC=-b+c,

AD1

又.：DEHBC,—

DB2

^DE=-BC.

BC33

—■1-1-

DE=——b+-c.

33

【總結(jié)】本題主要是將向量與幾何圖形結(jié)合，借助三角形一邊平行線的性質(zhì)定理求解向量.

列7.如圖，在平行四邊形A8C。中，M、N分別為DC、BC的中點，已知磁=病,n，試用m、

n表示AB和AD.

【難度】★★

'—.4-2-

AB=-n—m

【答案】?33

—?4一2-

AD=-m—n

33

AB+-AD=n

AB+BN=AN

【解析】由題意得，■____,即■2

AD+DM=AMAD+—AB=m

2

―-4-2—

AB=-〃—m

解方程組，得33

--4-2-

AD=-m--n

33

【總結(jié)】本題主要是將向量與幾何圖形結(jié)合，借助平行四邊形的性質(zhì)以及向量的加減法則來表示向量.

8.如圖，在AABC中，D是AB邊的中點，E是BC延長線上一點，且8E=2BC.

(1)用麗、就表示向量詼;

(2)用左、而表示向量方.

【難度】★★

【答案】⑴DE=--BA+2BC;(2)DB=-CB--CA.

222

【解析】(1):。8=方+而，。是A8邊的中點，且8E=28C

―-1—?―-

/.DE=——BA+2BC:

2

(2)'：DB=-AB,：.DB=-(AC+CB)=-CB--CA.

2222

【總結(jié)】平面向量的分解，關(guān)鍵點是將已知向量用向量的加減法則改寫成分解式，再乘以相關(guān)的系數(shù)來完

成各個方向的分解.

I"、1例9.如圖，平行四邊形ABCD中，點M、N是邊。C、8c的中點，設(shè)通=￡,AD=b,分別求向

量加、BN?關(guān)于a、B的分解式.

B

【難度】★★

【答案】MN=-a--b;BN=-b.

222

【解析】???四邊形A8CD是平行四邊形，

，AD=BC,AB=DC.

又N是邊DC、8c的中點，AMN=MC+CN=-AB+（--AD）.

22

.1_1__.I-.1-

即nMN=-a——b,BN=—BC=—b.

2222

【總結(jié)】本題一方面考查向量在某個方向上的分向量的概念，另一方面與幾何圖形結(jié)合，利用相關(guān)性質(zhì)完

成求解過程.

［例10.已知平行四邊形ABC。的對角線AC與8。相交于點。，設(shè)礪=￡,OB=b,分別求向量反、

OD,AB,BC關(guān)于￡、b的分解式.

【難度】★★

【答案】OC--a：OD--b：AB=—a+b：BC——b—a.

【解析】本題考查平面向量的分解，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)應(yīng)用.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2021?上海九年級一模）已知3和石都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.a=bB.a+b=2C.a+b=6D.卜,+忖=2

【答案】D

【分析】根據(jù)單位向量的定義進(jìn)行選擇.

【詳解】解：???￡和B是兩個單位向量，

,它們的長度相等，但是方向不一定相同；

.?.問+忖=2正確；

故選：D.

【點睛】本題考查單位向量的含義；屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?上海民辦華二浦東實驗學(xué)校九年級期中）在平行四邊形ABCO中，麗=￡，衣=石，下列說

法正確的是（）

rrrr

A.allbB.AD-b-aC.a=hD.且卜卜代

【答案】B

【分析】結(jié)合向量與平行四邊形的性質(zhì)，即可判斷.

【詳解】解：平行四邊形ABCD如圖所示，

A選項：AB與AC相交，故錯誤；

B選項：AB\\DC，即而=石—￡，故正確；

C選項：AB與AC相交，故錯誤；

D選項：AB與AC相交，故錯誤.

故：選B

【點睛】本題考查了向量的三角形法則與平行四邊形的基本性質(zhì)，屬于向量中的基礎(chǔ)題型.

3.（202。上海九年級一模）已知點C在線段4B上，AC=3BC,如果就=￡,那么麗用￡表示正確的

是（）

3-3-4-4-

A.—ciB.aC.—ciD.——a

4433

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，即可得到答案.

【詳解】??,點C在線段43上，AC=3BC,AC=a^

4

BA=-AC9

3

'-BA與正方向相反,

.—?_4-

??BA^~~a,

故選D.

【點睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，掌握平面向量的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?上海市青浦區(qū)第一中學(xué)九年級期中）已知點C是線段AB上的一點，且死=■!■麗，則下列結(jié)

2

論中正確的是（)

A.AB=-ACB.AB=ACC.AB=2CBD.AB=-AC

【答案】C

—1―-

【分析】根據(jù)C是線段A8上的一點，且=—可判斷出點C是線段AB的中點，在結(jié)合向量的方

2

向性解題即可判斷出答案.

【詳解】解：由題意可判斷點C為線段AB的中點

，可得通W-AC，故A選項錯誤；

AB豐AC?故B選項錯誤；

1一一

-AB=AC,故D選項錯誤；

2

AB=2CB'C選項正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了平面向量的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意根據(jù)題意判斷C點的位置是解題關(guān)鍵.

5.（2021?上海九年級一模）已知向量M和5都是單位向量，那么下列等式成立的是（）

A.a^bB.a+b^2C.a-b^0D.同明

【答案】D

【分析】根據(jù)向量〃和5都是單位向量，，可知I萬1=區(qū)尸1，山此即可判斷.

【詳解】解：A、向量M和B都是單位向量，但方向不一定相同，則力=方不一定成立，故本選項錯誤.

B、向量1和5都是單位向量，但方向不一定相同，則1+5=2不一定成立，故本選項錯誤.

c、向量方和萬都是單位向量，但方向不一定相同，則汗-5=0不一定成立，故本選項錯誤.

D、向量萬和5都是單位向量，則I源=石1=1，故本選項正確.

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量、單位向量，屬于概念題目，記住概念是解題的關(guān)鍵

6.（2021.上海九年級專題練習(xí)）已知非零向量￡、石，且有￡=-2凡下列說法中，不正確的是（）

A.|a|=2|^|；B.C.￡與3方向相反；D.a+2b=Q-

【答案】D

［分析］根據(jù)平行向量以及模的知識求解即可.

【詳解】A.?.工=-2人表明向量公與-2）是同一方向上相同的向量，自然模也相等，，|￡|=2|向,該選

項不符合題意錯誤；

B.??工=-25，表明向量￡與一25是同一方向上相同的向量，那么它們是相互平行的，雖然一25與否方向相

反，但還是相互平行，.??ZaB，該選項不符合題意錯誤；

C.???^=_2凡而-與B方向相反，???）與B的方向相反，該選項不符合題意錯誤；

D.???（）只表示數(shù)量，不表示方向，而￡+2月是兩個矢量相加是帶方向的，應(yīng)該是;該選項符合

題意正確；

故選：D

【點睛】本題主要考查了平面向量的基本知識.

7.（2020.上海九年級一模）已知￡,加和工都是非零向量，下列結(jié)論中不能判定［〃B的是（）

A.a〃c，加〃cB.a=-c,b=2cC.a=2bD.

【答案】D

【分析】根據(jù)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解:A.YQ〃C，加〃C，，4〃加，故本選項錯誤;

B.Va=；C,B=2C：.%〃加、故本選項錯誤.

C.丁〃=，「?a〃B，故本選項錯誤；

r1"

=???￡與B的模相等，但不一定平行，故本選項正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了平面向量，是基礎(chǔ)題，熟記平行向量的定義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

8.（2021?上海九年級二模）如圖，已知DABC￡>,E是邊CO的中點，聯(lián)結(jié)AE并延長，與BC的延長線交

于點F.設(shè)通=反而=5,用。石表示/為.

【分析】利用三角形中位線的性質(zhì)得到8C=FC,在A8F中，利用三角形法則求得獷.

【詳解】解：在。A8CO中，CD//AC.

是邊CO的中點，

；.CE是448廳的中位線，

：.BC=CF.

在四邊形48CO中，AD=BC,AD=b-則麗^2元=2而=25.

'-AB=a,

AF=AB+BF=a+2b.

故答案是：a+2jj.

【點睛】本題主要考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形法則求得答案.

9.（2021.上海九年級二模）如圖△A6C中，點。在上，且8=280.^AB=a,AC=b＞那么

AD=（結(jié)果用萬、5表示）.

2-1-

【答案】-a+-b

33

【分析】首先利用三角形法則求得起，則麗=；前；然后再在AA8O中，利用三角形法則求得通.

【詳解】解：月=M，AC=b?

?*-BC=AC-AB=AC=b-a^

?:CD=2BD,

???BD=-BC^-(b-a)

33

_________2_]一

AD=AB+BD=BD=a")—(b—ci)=—ciH—b

333

2-1-

故答案為：-a■1—b.

33

【點睛】此題考查了平面向量的知識.此題難度適中，掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

10.(2021?上海九年級期中)如圖，已知等腰梯形ABCO中，AD//BC,BC=3AD,如果BC=%,而=，

【分析】利用平面向量求和的三角形法則，即可求解.

【詳解】解：'：AD//BC,BC=3AD,

___1_

AD=-a,

3

?*-AB=AD+DB=—a—b.

3

1--

故答案為：—a—b.

3

【點睛】本題考查平面向量，梯形的性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考?？碱}型.

11.(2021?上海九年級一模)計算：a+2^a-b^=.

【答案】4a-2b

【分析】直接利用平面向量的加減運(yùn)算法則求解即可求得答案.

【詳解】解：a+2t^a-b}=a+3a-2b=4a-2b

故答案為：4a-2h

【點睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算，注意去括號時的符號變化，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題

12.（2021?上海九年級一模）計算：3（￡+25）-20—石）=.

【答案】a+Sb

（分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：3（tz+2b）—=3a+6Z?—2a+2。=a+8。：

故答案為■

【點睛】本題主要考查向量的運(yùn)算，熟練掌握向量的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

12-

13.（2021?上海九年級一模）化簡：-（-3a+b）+-b=.

【答案】-a+b

【分析】根據(jù)向量的計算方法即可求解.

17-1-2--

【詳解】—（-3a+b）+—b--a+-b+—b--a+b

3333

故答案為：—M+B-

【點睛】此題主要考查向量的計算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則.

三、解答題

14.（2021?上海九年級一模）如圖，在oABCD中，AE平分NfiAD,AE與交于點/，AB=1.2,

3c=1.8.

（1）求BF:OF的值；

（2）設(shè)A月=￡，BC=b）求向量而（用向量￡、坂表示）.

BEC

____3_3-

【答案】(1)BF:OF=2：3,(2)DF=-a--h.

【分析】（1）先證?AD必，得出一=—,在利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，得至U—=——

ADDFADAD

再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求得答案.

（2）利用第（1）小問的結(jié)論，得到。/與的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到而與麗的關(guān)系，根據(jù)向量

麗二而一彳萬即可求解?

【詳解】（1）在口A」BC￡＞中，

"BC//AD

：.ZBEA=ZDAE,

又,：NBFE=NDFA,

：.\BFE~\DFA,

.BEBF

??一，

ADDF

又：AE平分NE4￡＞，

NBAE=/DAE,

NBAE=/BEA,

：.AB=BE,

.BEAB

"~\D~~AD

又???AB=1.2,A￡）=BC=1.8.

.BFAB1.22

"AD-L8-3

:.BF:DF=2：3

（2）?:BF:DF=2：3

3

：.DF=-DB

5

DF=^DBAB-AD）

'：BC//AD,BC=AD,而=￡,BC=b-

:，AD=BC=b

:,DF=l（a-b）=-a--b.

555

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，平面向量的加減法等知識點，證明A8FE?△。用并且進(jìn)行等量

代換、理解平面向量的加減法是解決本題的關(guān)鍵.

15.（2021?上海九年級一模）如圖，一個3x3的網(wǎng)格.其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點.

（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構(gòu)成的三角形與AABC相似？請說明理由;

（2）設(shè)A￡=ia,BC=h，寫出向量而關(guān)于a、b的分解式.

【答案】（1）點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與AABC相似，理由見解析；（2）2a-3b

【分析】（1）設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為a,利用勾股定理求出各邊的長度，然后分類討論，根據(jù)三邊對

應(yīng)成比例的兩個三角形相似逐一判斷即可；

（2）延長AB至E,使BE=AB,根據(jù)向量加法的三角形法則計算即可.

【詳解】解：（1）點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與AABC相似，理由如下：

設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為a,

22

則BC=a,AB=〃2+a2=缶,AC=a+（2a）=y/5a^其中BCVABVAC

如下圖所示，連接BM、AM

則BM=J/+（2a）2=島，AM=W+伽『=反，其中AB<BM<AM

.AB\llarrBM_y15aV10

,?-----=--------=7,

BCaAB-d2

.ABBM

'.茄'~AB

^ABM和△ABC不相似;

如下圖所示，