九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)【北師大版】：特殊的四邊形九大考點(diǎn)精講精練（原卷版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（月考+期中+期末）【北師大版】專(zhuān)題1.1特殊的四邊形精講精練【知識(shí)梳理】1.菱形的性質(zhì)（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．（3）菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式．

②菱形面積=122.菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語(yǔ)言：∵AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語(yǔ)言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形3.菱形的性質(zhì)與判定（1）依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．4.矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)判定矩形．5.矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6.矩形的判定與性質(zhì)（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱(chēng)圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等．同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有．在處理許多幾何問(wèn)題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡(jiǎn)捷地解決與角、線段等有關(guān)的問(wèn)題．（2）下面的結(jié)論對(duì)于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等．7.正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．

④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸．8.正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．9.四邊形綜合問(wèn)題（1）正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)．（2）正方形的判定正方形的判定沒(méi)有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【典例剖析】【考點(diǎn)1】菱形的性質(zhì)【例1】（2021·天津市西青區(qū)楊柳青第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，菱形ABCD對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是DC邊上的中點(diǎn)，連接OE,OE=5，BD=12，則菱形的周長(zhǎng)為（

），面積為（

）A．40、96 B．20、48 C．40、192 D．20、24【變式1.1】（2022·山東·鄒平市梁鄒實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線垂直 D．每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角【變式1.2】（2022·江蘇·泰州市民興中英文學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=4，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長(zhǎng)為（

）A．72 B．12 C．74【變式1.3】（2022·山東菏澤·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在菱形ABCD的對(duì)角線AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．則對(duì)于以下結(jié)論：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)2】菱形的判定【例2】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊的中點(diǎn)，對(duì)角線AC=BD，則四邊形EFGH是（）A．菱形 B．矩形C．平行四邊形 D．以上都不是【變式2.1】（2021·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是（

）A．菱形 B．矩形 C．平行四邊形 D．正方形【變式2.2】（2022·江蘇·海安市曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形 B．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形【答案】D【變式2.3】（2022·北京師大附中八年級(jí)期中）如圖，五邊形ABCDE中，AB＝AE＝DE，CD＝CB，∠A＝∠ABC＝∠CDE＝∠DEA＝120°，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，將△ABE沿BE對(duì)折后得到△FBE，以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形ABFE為菱形；②四邊形BGDE為矩形；③DG＝2AB；④如果AB＝a，那么五邊形ABCDE的面積為743a2，其中正確的結(jié)論有（

A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)3】菱形的性質(zhì)與判定【例3】．（2021·天津市西青區(qū)楊柳青第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)O，∠ABC:∠BAD=1:2(1)若AC=2，求BO的長(zhǎng)．(2)在（1）的條件下，若BE∥AC，CE∥【變式3.1】（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)用尺規(guī)完成基本作圖：作∠BAD的角平分線，交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AF=AB，連接EF，猜想BE與FE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想【變式3.2】（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=5．對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC,AD于點(diǎn)E，F(xiàn)(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)證明：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，四邊形BEDF是菱形，請(qǐng)給出證明．【變式3.3】（2022·廣西桂林·八年級(jí)期末）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若DF=3，∠DCF=30°，求四邊形AECF的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)4】矩形的性質(zhì)【例4】（2022·江蘇·南通市八一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（

）【變式4.1】（2022·江西·泰和水槎中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線上的D′處．若AB=3，AD=4，則ED的長(zhǎng)為（

A．32 B．3 C．1 D．【變式4.2】（2022·江蘇·江陰市陸橋中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB=6，BC=8，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE＋EF的值為（）

A．485 B．325 C．245【變式4.3】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E是邊AD上的一點(diǎn)，將△AEB沿BE所在的直線折疊，使點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)G處，則AE的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)5】矩形的判定【變式5.1】（2022·河北滄州·八年級(jí)期末）已知在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，添加下列條件后，能夠得到四邊形ABCD是矩形的是（

）A．OA=OC B．AC=AD C．AB∥CD 【變式5.2】（2022·湖北襄陽(yáng)·中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【變式5.3】（2022·山東威?！ぐ四昙?jí)期末）四邊形ABCD是平行四邊形，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形ABCD是矩形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)AC平分∠BAD時(shí)，四邊形ABCD是菱形【考點(diǎn)6】矩形的性質(zhì)與判定【例6】（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別是BO、DO的中點(diǎn)，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，順次連接G、E、H、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)若BD＝2AB．①探究四邊形GEHF的形狀，并說(shuō)明理由；②當(dāng)AB＝2，∠ABD=60°時(shí)，求四邊形GEHF的面積．【變式6.1】（2022·江蘇·海安市曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE對(duì)角線的長(zhǎng)．【變式6.2】（2022·江蘇·鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【變式6.3】（2022·山東東營(yíng)·八年級(jí)期末）如圖1．在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝DC＝16，AD＝12，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面積；(3)如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)P為EC上一動(dòng)點(diǎn)，連接OE、OP．將△OPD沿OP折疊得到△OPM，PM交OC于點(diǎn)N，當(dāng)△PCN為直角三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng)．【考點(diǎn)7】正方形的性質(zhì)【例7】（2022·河北秦皇島·八年級(jí)期末）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)G、H在邊BD上，且AE=CF，BG=DH，關(guān)于四邊形EGFH，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(

)①四邊形EGFH一定是平行四邊形且有無(wú)數(shù)個(gè)；②四邊形EGFH可以是矩形且有無(wú)數(shù)個(gè)；③四邊形EGFH可以是菱形且有無(wú)數(shù)個(gè)；④四邊形EGFH可以是正方形且有無(wú)數(shù)個(gè)；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7.1】（2022·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）正方形ABCD的邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過(guò)點(diǎn)D．在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【變式7.2】（2021·福建·平潭翰英中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，則AF的長(zhǎng)為（

）A．6 B．32 C．8 D．2【變式7.3】（2022·江蘇·飛達(dá)路中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOFA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)8】正方形的判定【例8】（2021·湖北·襄陽(yáng)市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接DG．現(xiàn)有如下4個(gè)結(jié)論：①AG=GF；②AG與EC一定不相等；③∠GDE=45°；④△BGE的周長(zhǎng)是一個(gè)定值．其中正確的是（A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式8.1】（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）下列關(guān)于?ABCD的敘述，正確的是（

）A．若AC＝BD，則?ABCD是矩形 B．若AB＝AD，則?ABCD是正方形C．若AC⊥BC，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是正方形【變式8.2】（2021·黑龍江綏化·八年級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形【變式8.3】（2022·安徽合肥·八年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．有一組鄰角相等的平行四邊形是矩形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【變式8.4】（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：a．兩組對(duì)邊分別相等b．一組對(duì)邊平行且相等c．一組鄰邊相等d．一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c則正確的是（

）A．①② B．②③ C．