一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用（原卷）

一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1.熟練掌握分析解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法及步驟；2.進(jìn)一步提高分析實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的能力，能熟練找出相等關(guān)系并列出方程；3.熟練行程、工程、配套、數(shù)字、調(diào)配、和差倍分、日歷、銷售、儲(chǔ)蓄、積分、年齡、古數(shù)學(xué)、盈不虧、分段收費(fèi)、方案選擇等應(yīng)用類問(wèn)題的對(duì)應(yīng)模型，并能利用一元一次方程解決實(shí)際應(yīng)用類問(wèn)題。知識(shí)精講一、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：?jiǎn)栴}方程解答．由此可得解決此類問(wèn)題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．要點(diǎn)詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系．（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)．（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一．（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可．（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．二、一元一次方程常見類型（1）三個(gè)基本量間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間（2）基本類型有：①相遇問(wèn)題（或相向問(wèn)題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問(wèn)題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問(wèn)題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來(lái)考慮．（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來(lái)分析．相遇問(wèn)題（兩種基本類型）例1.李華和趙亮從相遇20千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，李華每小時(shí)走3千米，2小時(shí)后兩人相遇，設(shè)趙亮的速度為x千米每小時(shí)，列方程得（）．A．2x+3=20B．+x=20C．2(3+x)=20 D．2(x3)=20例2.如圖，甲、乙兩人沿著邊長(zhǎng)為的正方形按的路線行走，甲從點(diǎn)出發(fā)，以/分鐘的速度行走，同時(shí)，乙從點(diǎn)出發(fā)，以/分鐘的速度行走．當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，將在正方形的（）A．邊上 B．邊上 C．邊上 D．邊上追擊問(wèn)題例3.小明每天早上要在7：50之前趕到距離家1000的學(xué)校上學(xué)，一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語(yǔ)文書，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他，爸爸追上小明用了（）分鐘A．3分 B．6分 C．4分 D．5分例4.在高速公路上，一輛長(zhǎng)5米、速度為120千米/時(shí)的轎車準(zhǔn)備超越一輛長(zhǎng)15米、速度為80千米/時(shí)的卡車，則轎車從開始追到卡車到超越卡車，需要花費(fèi)的時(shí)間是（）秒．A B C．2 D航行問(wèn)題例5.一輪船航行于兩個(gè)碼頭之間，逆水航行需10小時(shí)，順?biāo)叫行?小時(shí)，已知水流的速度為每小時(shí)航行8千米，則兩碼頭間的距離為（）千米A．480 B．540 C．240 D．280例6.一貨輪往返于上、下游兩個(gè)碼頭，逆流而上38個(gè)小時(shí)，順流而下需用32個(gè)小時(shí)，若水流速度為8千米/時(shí)，則下列求兩碼頭距離x的方程正確的是（）A． B． C． D．例7.某學(xué)生乘船由甲地順流而下到乙地，然后由乙地逆流而上到丙地，共用3小時(shí)，若水流速度為2km/h，船在靜水中的速度為8km/h，已知甲地與丙地間的距離為2km，則甲乙兩地間的距離為____km．例8.一艘輪船在水中由地開往地，順?biāo)叫杏昧?小時(shí)，由地開往地，逆水航行比順?biāo)叫卸嘤昧?小時(shí)，已知此船在靜水中速度是18千米/時(shí)，水流速度為___________千米/小時(shí)．其他行程問(wèn)題例9.一列長(zhǎng)150米的火車，以每秒15米的速度通過(guò)長(zhǎng)600米的橋洞，從列車進(jìn)入橋洞口算起，這列火車完全通過(guò)橋洞所需時(shí)間是____秒．例10.已知A，B兩地相距200千米，甲車的速度為每小時(shí)70千米，乙車的速度為每小時(shí)50千米．（1）若兩車分別從A，B兩地同時(shí)同向而行（甲車在乙車后面），問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲車追上乙車？（2）若兩車同時(shí)從A，B兩地相向而行，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距20千米？如果題目沒(méi)有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時(shí)間；（2）總工作量=各單位工作量之和．例11.一項(xiàng)工程甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需60天，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的．若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作_____天可以完成此項(xiàng)工程．例12.為解決市民出行的問(wèn)題，市政府決定再修建一條地鐵．有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工一段長(zhǎng)為540米的山體隧道貫穿工程．甲工程隊(duì)獨(dú)立工作12天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了8天，這20天共掘進(jìn)180米．已知乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)少掘進(jìn)2米，按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天？配套問(wèn)題等量關(guān)系：各種物品的總數(shù)量比等于一套組合中各部分的數(shù)量比。比如：螺栓與螺母的配套、盒身與盒底的配套，桌子與椅子的配套等等。例13.某車間有38名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)甲型零件或2000個(gè)乙型零件．2個(gè)甲型零件要配3個(gè)乙型零件，為使每天生產(chǎn)的兩種型號(hào)的零件剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)甲型零件和乙型零件的工人各多少名？已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a．例14.幻方歷史悠久，傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”當(dāng)中．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)三階幻方．將數(shù)字1～9分別填人如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則m的值為_________．例15.把這九個(gè)數(shù)填入方格中，使其任意一行、任意一列及任意一條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”它源于我國(guó)古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”．圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則的值為_______．例16.一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是x，十位數(shù)字是3，把x與3對(duì)調(diào)，新兩位數(shù)比原來(lái)兩位數(shù)小18，則x的值是（）A． B．0 C．1 D．2例17.大掃除期間，七（2）班已經(jīng)安排了6人打掃教室，4人打掃包干區(qū)，為了盡快完成打掃任務(wù)，有14人主動(dòng)要求去幫忙，使得打掃包干區(qū)的人數(shù)是打掃教室人數(shù)的2倍．假設(shè)去教室?guī)兔Φ耐瑢W(xué)有x人，根據(jù)題意可列出方程（）A．2（6+x）＝4+（14﹣x） B．6+x＝2[4+（14﹣x）]C．2[6+（14﹣x）]＝4+x D．6+（14﹣x）＝2（4+x）例18.某班級(jí)原來(lái)女生人數(shù)是全班人數(shù)的，調(diào)入4名女生后，女生人數(shù)是全班人數(shù)的一半，原來(lái)全班共有____人．和差倍分問(wèn)題基本量及關(guān)系：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量，現(xiàn)有量＝原有量降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長(zhǎng)率等．例19.把一批圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺20本．設(shè)這個(gè)班有學(xué)生x名，根據(jù)題意列方程正確的是（）A． B．C．3x＋20＝4x﹣20 D．3x﹣20＝4x＋20例20.中國(guó)古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問(wèn)題：今有若干人乘車，每三人乘一車，剛好空余一輛；若每?jī)扇斯渤艘卉?，最終剩余七個(gè)人無(wú)車可乘．問(wèn)有多少人，多少輛車？如果我們?cè)O(shè)有x輛車，則可列方程（）A．3（x+1）＝2x﹣9 B．3（x﹣1）＝2x+7C．+1＝ D．﹣1＝例21.“一方有難、八方支援”在2020年“武漢保衛(wèi)戰(zhàn)”中，我們紹興先后派出多支醫(yī)療隊(duì)伍前往武漢和武漢人民一起抗戰(zhàn)新冠病毒．現(xiàn)甲、乙兩所醫(yī)院共有醫(yī)務(wù)人員100名，但隨著疫情的發(fā)展，急需增加人手．我們紹興一支80人的醫(yī)療隊(duì)伍奉命志愿前往支援，其中20人到甲醫(yī)院，60人到乙醫(yī)院，這樣剛好使得乙醫(yī)院的醫(yī)務(wù)人員數(shù)是甲醫(yī)院醫(yī)務(wù)人員數(shù)的2倍．求原來(lái)甲、乙兩所醫(yī)院各有醫(yī)務(wù)人員幾名？日歷問(wèn)題例22.如圖為2021年11月的日歷：（1）在日歷上任意圈出一個(gè)豎列上相鄰的3個(gè)數(shù)：①設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為a，則另外的兩個(gè)數(shù)為，；②若已知這三個(gè)數(shù)的和為60，則這三個(gè)數(shù)在星期．（2）在日歷上用一個(gè)小正方形任意圈出其中的9個(gè)數(shù)，設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為b，若這9個(gè)數(shù)的和為153，求b2﹣1的值．（1）(2)標(biāo)價(jià)＝成本(或進(jìn)價(jià))×(1＋利潤(rùn)率)(3)實(shí)際售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率(4)利潤(rùn)＝售價(jià)－成本(或進(jìn)價(jià))＝成本×利潤(rùn)率注意：“商品利潤(rùn)＝售價(jià)－成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時(shí)，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售．例23.商店將某種商品按成本價(jià)提高50%后，標(biāo)價(jià)為450元，又以8折出售，則售出這件商品可獲利潤(rùn)（）元．A．300 B．210 C．150 D．60例24.某服裝店賣出兩件不同的衣服，均以91元賣出，其中一件賺30%，另一件虧30%，則賣出這兩件衣服后商店（）A．不賺不虧 B．賺了21元 C．虧了18元 D．賺了39元例25.一件衣服先按成本提高50%標(biāo)價(jià)，再以7折出售，結(jié)果獲利5元，則這件衣服的成本是（）元．A．120 B．110 C．100 D．90例26.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為120元，標(biāo)價(jià)為180元．為了拓展銷路，商店準(zhǔn)備打折銷售．若使利潤(rùn)率為20%，則商店應(yīng)打（）A．五折 B．六折 C．七折 D．八折例27.王先生到銀行存了一筆三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．設(shè)王先生存入的本金為x元，則下面所列方程正確的是（）A．x+3×4.25%x＝33825 B．x+4.25%x＝33825C．3×4.25%x＝33825 D．3（x+4.25%x）＝33825例28.我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中提到“以繩測(cè)井”問(wèn)題：若將繩三折測(cè)之，繩多五尺，若將繩四折測(cè)之，繩多一尺．井深幾何？題目大意是：用繩子測(cè)量水井深度，如果將繩子折成三等份，一份繩長(zhǎng)比井深多5尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長(zhǎng)比井深多1尺．則井深__________尺．例29.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代《算經(jīng)十書》最重要的一部，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，其中有一道闡述“盈不足數(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)，物價(jià)各幾何？意思是說(shuō)：現(xiàn)有一些人共同買一個(gè)物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問(wèn)共有多少人？這個(gè)物品的價(jià)格是多少？例30.在全國(guó)足球甲級(jí)A組的比賽中，某隊(duì)在已賽的11場(chǎng)比賽中保持連續(xù)不敗，積25分．已知?jiǎng)僖粓?chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，那么該隊(duì)已勝場(chǎng)．例31.為營(yíng)造學(xué)黨史、迎冬奧的濃厚氛圍，某學(xué)校舉行了主題為“扛紅旗、當(dāng)先鋒、學(xué)黨史、迎奧運(yùn)”的知識(shí)競(jìng)賽，一共有30道題，每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)或不答扣2分．（1）小明參加了競(jìng)賽，得90分，則他一共答對(duì)了多少道題？（2）小剛也參加了競(jìng)賽，考完后自信滿滿，說(shuō)：“這次競(jìng)賽我會(huì)得100分！”你認(rèn)為可能嗎？并說(shuō)明理由．例32.為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某地自來(lái)水公司推出如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：若每戶每月用水不超過(guò)5立方米，則每立方米收費(fèi)2元；若每戶每月用水超過(guò)5立方米，則超過(guò)部分每立方米收費(fèi)2.5元，已知小明家每月水費(fèi)都不超過(guò)17元，則小明家每月用水量（每月用水量是正整數(shù)）至多是（

）A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米例33.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和城市交通的多樣化，人們的出行方式有了更多的選擇．下圖是某市兩種網(wǎng)約車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，例：乘車?yán)锍虨?0公里，若選乘出租車，費(fèi)用為：（元）；若選乘曹操出行（快選），費(fèi)用為：（元）請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（1）小明家到學(xué)校的路程是10公里．如果選乘出租車，車費(fèi)為元；如果選乘曹操出行（快選），車費(fèi)為元．（2）周末小明有事外出，要選乘網(wǎng)約車，如果乘車費(fèi)用預(yù)算為25元，他的行車?yán)锍虜?shù)最大是多少公里？（3）元旦期間，小明外出游玩，約車時(shí)發(fā)現(xiàn)曹操出行（快選）有優(yōu)惠活動(dòng)：總費(fèi)用打八折．于是小明決定選乘曹操出行（快選）．付費(fèi)后，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)：相同的里程，享受優(yōu)惠活動(dòng)后的曹操出行（優(yōu)選）的費(fèi)用還是比出租車多了1.8元，求小明乘車的里程數(shù)．例34.為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某市自來(lái)水公司對(duì)每戶用水量采取了分段計(jì)費(fèi)的方法進(jìn)行收費(fèi)，每戶每月用水量在規(guī)定噸數(shù)及以下的按一種單價(jià)收費(fèi)，超過(guò)規(guī)定噸數(shù)的部分按另一種單價(jià)收費(fèi)．下表是小明家1﹣4月份的用水量和費(fèi)用情況：月份1234用水量（噸）681013費(fèi)用（元）12162231（1）請(qǐng)根據(jù)表中信息，求出規(guī)定噸數(shù)和兩種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；（2）若小明家5月份用水18，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？（3）若小明家6月份交水費(fèi)58元，則他家6月份用水多少噸？例35.公園門票價(jià)格規(guī)定如下表：購(gòu)票張數(shù)張張張以上每張票的價(jià)格元元元某校七年級(jí)（1）（2）兩個(gè)班共人去游園其中（1）班有多人，不足人，經(jīng)估算，如果兩個(gè)班都以班為單位各自購(gòu)票，則一共應(yīng)付元．（1）如