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文檔簡介
福建省泉州實驗中學(xué)重點達標(biāo)名校2024屆中考一模數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,則下列說法不正確的是()A.a(chǎn)的相反數(shù)大于2B.a(chǎn)的相反數(shù)是2C.|a|>2D.2a<02.在聯(lián)歡會上,甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點A、B、C上,他們在玩搶凳子的游戲,要在他們中間放一個木凳,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,凳子應(yīng)放的最恰當(dāng)?shù)奈恢檬恰鰽BC的()A.三條高的交點 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中Rt△ABC的斜邊BC在x軸上,點B坐標(biāo)為(1,0),AC=2,∠ABC=30°,把Rt△ABC先繞B點順時針旋轉(zhuǎn)180°,然后再向下平移2個單位,則A點的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為()A.(﹣4,﹣2﹣) B.(﹣4,﹣2+) C.(﹣2,﹣2+) D.(﹣2,﹣2﹣)4.如圖,已知BD與CE相交于點A,ED∥BC,AB=8,AC=12,AD=6,那么AE的長等于()A.4 B.9 C.12 D.165.如圖,直線a、b被c所截,若a∥b,∠1=45°,∠2=65°,則∠3的度數(shù)為()A.110° B.115° C.120° D.130°6.有理數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示,則正確的結(jié)論是()A.a(chǎn)>﹣4 B.bd>0 C.|a|>|b| D.b+c>07.下列計算正確的是()A.a(chǎn)2?a3=a6 B.(a2)3=a6 C.a(chǎn)6﹣a2=a4 D.a(chǎn)5+a5=a108.已知一次函數(shù)y=kx+3和y=k1x+5,假設(shè)k<0且k1>0,則這兩個一次函數(shù)的圖像的交點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.要整齊地栽一行樹,只要確定兩端的樹坑的位置,就能確定這一行樹坑所在的直線,這里用到的數(shù)學(xué)知識是()A.兩點之間的所有連線中,線段最短B.經(jīng)過兩點有一條直線,并且只有一條直線C.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短D.經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直10.若一組數(shù)據(jù)2,3,4,5,x的平均數(shù)與中位數(shù)相等,則實數(shù)x的值不可能是()A.6 B.3.5 C.2.5 D.111.九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀,一部分學(xué)生騎自行車先走,過了20min后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),結(jié)果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍,求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則所列方程正確的是()A. B.C. D.12.如圖,一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相交于,兩點,則使成立的取值范圍是()A.或 B.或C.或 D.或二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.計算:的值是______________.14.比較大?。篲______3(填“”或“”或“”)15.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m=0(m>0),當(dāng)m=1、2、3、…、2018時,相應(yīng)的一元二次方程的兩個根分別記為α1、β1,α2、β2,…,α2018、β2018,則:的值為_____.16.若m﹣n=4,則2m2﹣4mn+2n2的值為_____.17.肥皂泡的泡壁厚度大約是,用科學(xué)記數(shù)法表示為_______.18.比較大小:_____.(填“<“,“=“,“>“)三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,某校一幢教學(xué)大樓的頂部豎有一塊“傳承文明,啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°,然后沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°.已知山坡AB的坡度i=1:,(斜坡的鉛直高度與水平寬度的比),經(jīng)過測量AB=10米,AE=15米,求點B到地面的距離;求這塊宣傳牌CD的高度.(測角器的高度忽略不計,結(jié)果保留根號)20.(6分)某校檢測學(xué)生跳繩水平,抽樣調(diào)查了部分學(xué)生的“1分鐘跳繩”成績,并制成了下面的頻數(shù)分布直方圖(每小組含最小值,不含最大值)和扇形圖(1)D組的人數(shù)是人,補全頻數(shù)分布直方圖,扇形圖中m=;(2)本次調(diào)查數(shù)據(jù)中的中位數(shù)落在組;(3)如果“1分鐘跳繩”成績大于或等于120次為優(yōu)秀,那么該校4500名學(xué)生中“1分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的大約有多少人?21.(6分)北京時間2019年3月10日0時28分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭,成功將中星衛(wèi)星發(fā)射升空,衛(wèi)星進入預(yù)定軌道.如圖,火星從地面處發(fā)射,當(dāng)火箭達到點時,從位于地面雷達站處測得的距離是,仰角為;1秒后火箭到達點,測得的仰角為.(參考數(shù)據(jù):sin42.4°≈0.67,cos42.4°≈0.74,tan42.4°≈0.905,sin45.5°≈0.71,cos45.5°≈0.70,tan45.5°≈1.02)(Ⅰ)求發(fā)射臺與雷達站之間的距離;(Ⅱ)求這枚火箭從到的平均速度是多少(結(jié)果精確到0.01)?22.(8分)某快餐店試銷某種套餐,試銷一段時間后發(fā)現(xiàn),每份套餐的成本為5元,該店每天固定支出費用為600元(不含套餐成本).若每份套餐售價不超過10元,每天可銷售400份;若每份套餐售價超過10元,每提高1元,每天的銷售量就減少40份.為了便于結(jié)算,每份套餐的售價(元)取整數(shù),用(元)表示該店每天的利潤.若每份套餐售價不超過10元.①試寫出與的函數(shù)關(guān)系式;②若要使該店每天的利潤不少于800元,則每份套餐的售價應(yīng)不低于多少元?該店把每份套餐的售價提高到10元以上,每天的利潤能否達到1560元?若能,求出每份套餐的售價應(yīng)定為多少元時,既能保證利潤又能吸引顧客?若不能,請說明理由.23.(8分)已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點,AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.求證:DE是⊙O的切線;若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半徑.24.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,已知點A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此拋物線的解析式.(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點E,作PD⊥AB于點D.動點P在什么位置時,△PDE的周長最大,求出此時P點的坐標(biāo).25.(10分)如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D是BC邊上一點,將點D繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點E,連接CE.(1)當(dāng)點E在BC邊上時,畫出圖形并求出∠BAD的度數(shù);(2)當(dāng)△CDE為等腰三角形時,求∠BAD的度數(shù);(3)在點D的運動過程中,求CE的最小值.(參考數(shù)值:sin75°=,cos75°=,tan75°=)26.(12分)如圖,AB∥CD,△EFG的頂點F,G分別落在直線AB,CD上,GE交AB于點H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度數(shù).27.(12分)在一個不透明的布袋中裝兩個紅球和一個白球,這些球除顏色外均相同(1)攪勻后從袋中任意摸出1個球,摸出紅球的概率是.(2)甲、乙、丙三人依次從袋中摸出一個球,記錄顏色后不放回,試求出乙摸到白球的概率
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、B【解題分析】試題分析:由數(shù)軸可知,a<-2,A、a的相反數(shù)>2,故本選項正確,不符合題意;B、a的相反數(shù)≠2,故本選項錯誤,符合題意;C、a的絕對值>2,故本選項正確,不符合題意;D、2a<0,故本選項正確,不符合題意.故選B.考點:實數(shù)與數(shù)軸.2、D【解題分析】
為使游戲公平,要使凳子到三個人的距離相等,于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知,要放在三邊中垂線的交點上.【題目詳解】∵三角形的三條垂直平分線的交點到中間的凳子的距離相等,∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點最適當(dāng).故選D.【題目點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用;利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力,要注意培養(yǎng).想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵.3、D【解題分析】解:作AD⊥BC,并作出把Rt△ABC先繞B點順時針旋轉(zhuǎn)180°后所得△A1BC1,如圖所示.∵AC=2,∠ABC=10°,∴BC=4,∴AB=2,∴AD===,∴BD===1.∵點B坐標(biāo)為(1,0),∴A點的坐標(biāo)為(4,).∵BD=1,∴BD1=1,∴D1坐標(biāo)為(﹣2,0),∴A1坐標(biāo)為(﹣2,﹣).∵再向下平移2個單位,∴A′的坐標(biāo)為(﹣2,﹣﹣2).故選D.點睛:本題主要考查了直角三角形的性質(zhì),勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì),作出圖形利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.4、B【解題分析】
由于ED∥BC,可證得△ABC∽△ADE,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得AE的長.【題目詳解】∵ED∥BC,∴△ABC∽△ADE,∴=,∴==,即AE=9;∴AE=9.故答案選B.【題目點撥】本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì).5、A【解題分析】試題分析:首先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠1+∠2=∠4,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠4求解.解:根據(jù)三角形的外角性質(zhì),∴∠1+∠2=∠4=110°,∵a∥b,∴∠3=∠4=110°,故選A.點評:本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題,難度較小.6、C【解題分析】
根據(jù)數(shù)軸上點的位置關(guān)系,可得a,b,c,d的大小,根據(jù)有理數(shù)的運算,絕對值的性質(zhì),可得答案.【題目詳解】解:由數(shù)軸上點的位置,得a<﹣4<b<0<c<1<d.A、a<﹣4,故A不符合題意;B、bd<0,故B不符合題意;C、∵|a|>4,|b|<2,∴|a|>|b|,故C符合題意;D、b+c<0,故D不符合題意;故選:C.【題目點撥】本題考查了有理數(shù)大小的比較、有理數(shù)的運算,絕對值的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵7、B【解題分析】
根據(jù)同底數(shù)冪乘法、冪的乘方的運算性質(zhì)計算后利用排除法求解.【題目詳解】A、a2?a3=a5,錯誤;B、(a2)3=a6,正確;C、不是同類項,不能合并,錯誤;D、a5+a5=2a5,錯誤;故選B.【題目點撥】本題綜合考查了整式運算的多個考點,包括同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、合并同類項,需熟練掌握且區(qū)分清楚,才不容易出錯.8、B【解題分析】
依題意在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出圖像即可判斷.【題目詳解】根據(jù)題意可作兩函數(shù)圖像,由圖像知交點在第二象限,故選B.【題目點撥】此題主要考查一次函數(shù)的圖像,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖像.9、B【解題分析】
本題要根據(jù)過平面上的兩點有且只有一條直線的性質(zhì)解答.【題目詳解】根據(jù)兩點確定一條直線.故選:B.【題目點撥】本題考查了“兩點確定一條直線”的公理,難度適中.10、C【解題分析】
因為中位數(shù)的值與大小排列順序有關(guān),而此題中x的大小位置未定,故應(yīng)該分類討論x所處的所有位置情況:從小到大(或從大到?。┡帕性谥虚g;結(jié)尾;開始的位置.【題目詳解】(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為2,3,4,5,x,
處于中間位置的數(shù)是4,
∴中位數(shù)是4,
平均數(shù)為(2+3+4+5+x)÷5,
∴4=(2+3+4+5+x)÷5,
解得x=6;符合排列順序;
(2)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后2,3,4,x,5,
中位數(shù)是4,
此時平均數(shù)是(2+3+4+5+x)÷5=4,
解得x=6,不符合排列順序;
(3)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后2,3,x,4,5,
中位數(shù)是x,
平均數(shù)(2+3+4+5+x)÷5=x,
解得x=3.5,符合排列順序;
(4)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后2,x,3,4,5,
中位數(shù)是3,
平均數(shù)(2+3+4+5+x)÷5=3,
解得x=1,不符合排列順序;
(5)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后x,2,3,4,5,
中位數(shù)是3,
平均數(shù)(2+3+4+5+x)÷5=3,
解得x=1,符合排列順序;
∴x的值為6、3.5或1.
故選C.【題目點撥】考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù),涉及到分類討論思想,較難,要明確中位數(shù)的值與大小排列順序有關(guān),一些學(xué)生往往對這個概念掌握不清楚,計算方法不明確而解答不完整.注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序,然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù).如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個,則正中間的數(shù)字即為所求;如果是偶數(shù)個,則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).11、C【解題分析】試題分析:設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則汽車的速度為2xkm/h,由題意得,.故選C.考點:由實際問題抽象出分式方程.12、B【解題分析】
根據(jù)圖象找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時對應(yīng)的自變量的取值范圍即可.【題目詳解】觀察函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn):或時,一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方,∴使成立的取值范圍是或,故選B.【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合,函數(shù)與不等式,利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、-1【解題分析】解:=-1.故答案為:-1.14、>.【解題分析】
先利用估值的方法先得到≈3.4,再進行比較即可.【題目詳解】解:∵≈3.4,3.4>3.∴>3.故答案為:>.【題目點撥】本題考查了實數(shù)的比較大小,對進行合理估值是解題的關(guān)鍵.15、.【解題分析】
利用根與系數(shù)的關(guān)系得到α1+β1=-2,α1β1=-1×2;α2+β2=-2,α2β2=-2×3;…α2018+β2018=-2,α2018β2018=-2018×1.把原式變形,再代入,即可求出答案.【題目詳解】∵x2+2x-m2-m=0,m=1,2,3,…,2018,∴由根與系數(shù)的關(guān)系得:α1+β1=-2,α1β1=-1×2;α2+β2=-2,α2β2=-2×3;…α2018+β2018=-2,α2018β2018=-2018×1.∴原式===2×()=2×(1-)=,故答案為.【題目點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=-,x1x2=.16、1【解題分析】解:∵2m2﹣4mn+2n2=2(m﹣n)2,∴當(dāng)m﹣n=4時,原式=2×42=1.故答案為:1.17、7×10-1.【解題分析】
絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為a×10-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.【題目詳解】0.0007=7×10-1.故答案為:7×10-1.【題目點撥】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為a×10-n,其中1≤|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.18、<【解題分析】
先比較它們的平方,進而可比較與的大小.【題目詳解】()2=80,()2=100,∵80<100,∴<.故答案為:<.【題目點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較,帶二次根號的實數(shù),在比較它們的大小時,通常先比較它們的平方的大小.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)2;(2)宣傳牌CD高(20﹣1)m.【解題分析】試題分析:(1)在Rt△ABH中,由tan∠BAH==i==.得到∠BAH=30°,于是得到結(jié)果BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×=2;(2)在Rt△ABH中,AH=AB.cos∠BAH=1.cos30°=2.在Rt△ADE中,tan∠DAE=,即tan60°=,得到DE=12,如圖,過點B作BF⊥CE,垂足為F,求出BF=AH+AE=2+12,于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=12﹣2.在Rt△BCF中,∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°,求得∠C=∠CBF=42°,得出CF=BF=2+12,即可求得結(jié)果.試題解析:解:(1)在Rt△ABH中,∵tan∠BAH==i==,∴∠BAH=30°,∴BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×=2.答:點B距水平面AE的高度BH是2米;(2)在Rt△ABH中,AH=AB.cos∠BAH=1.cos30°=2.在Rt△ADE中,tan∠DAE=,即tan60°=,∴DE=12,如圖,過點B作BF⊥CE,垂足為F,∴BF=AH+AE=2+12,DF=DE﹣EF=DE﹣BH=12﹣2.在Rt△BCF中,∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°,∴∠C=∠CBF=42°,∴CF=BF=2+12,∴CD=CF﹣DF=2+12﹣(12﹣2)=20﹣1(米).答:廣告牌CD的高度約為(20﹣1)米.20、(1)16、84°;(2)C;(3)該校4500名學(xué)生中“1分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的大約有3000(人)【解題分析】
(1)根據(jù)百分比=所長人數(shù)÷總?cè)藬?shù),圓心角=百分比,計算即可;(2)根據(jù)中位數(shù)的定義計算即可;(3)用一半估計總體的思考問題即可;【題目詳解】(1)由題意總?cè)藬?shù)人,D組人數(shù)人;B組的圓心角為;(2)根據(jù)A組6人,B組14人,C組19人,D組16人,E組5人可知本次調(diào)查數(shù)據(jù)中的中位數(shù)落在C組;(3)該校4500名學(xué)生中“1分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的大約有人.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計,熟練掌握扇形圖圓心角度數(shù)求解方法,總體求解方法等相關(guān)內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵.21、(Ⅰ)發(fā)射臺與雷達站之間的距離約為;(Ⅱ)這枚火箭從到的平均速度大約是.【解題分析】
(Ⅰ)在Rt△ACD中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,利用∠ADC的余弦值解直角三角形即可;(Ⅱ)在Rt△BCD和Rt△ACD中,利用∠BDC的正切值求出BC的長,利用∠ADC的正弦值求出AC的長,進而可得AB的長,即可得答案.【題目詳解】(Ⅰ)在中,,≈0.74,∴.答:發(fā)射臺與雷達站之間的距離約為.(Ⅱ)在中,,∴.∵在中,,∴.∴.答:這枚火箭從到的平均速度大約是.【題目點撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.22、(1)①y=400x﹣1.(5<x≤10);②9元或10元;(2)能,11元.【解題分析】
(1)、根據(jù)利潤=(售價-進價)×數(shù)量-固定支出列出函數(shù)表達式;(2)、根據(jù)題意得出不等式,從而得出答案;(2)、根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式,然后將y=1560代入函數(shù)解析式,從而求出x的值得出答案.【題目詳解】解:(1)①y=400(x﹣5)﹣2.(5<x≤10),②依題意得:400(x﹣5)﹣2≥800,解得:x≥8.5,∵5<x≤10,且每份套餐的售價x(元)取整數(shù),∴每份套餐的售價應(yīng)不低于9元.(2)依題意可知:每份套餐售價提高到10元以上時,y=(x﹣5)[400﹣40(x﹣10)]﹣2,當(dāng)y=1560時,(x﹣5)[400﹣40(x﹣10)]﹣2=1560,解得:x1=11,x2=14,為了保證凈收入又能吸引顧客,應(yīng)取x1=11,即x2=14不符合題意.故該套餐售價應(yīng)定為11元.【題目點撥】本題主要考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題,屬于中等難度的題型.理解題意,列出關(guān)系式是解決這個問題的關(guān)鍵.23、解:(1)證明見解析;(2)⊙O的半徑是7.5cm.【解題分析】
(1)連接OD,根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得∠ODE=∠DEM=90°,且D在⊙O上,故DE是⊙O的切線.(2)由直角三角形的特殊性質(zhì),可得AD的長,又有△ACD∽△ADE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑.【題目詳解】(1)證明:連接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE.∴DO∥MN.∵DE⊥MN,∴∠ODE=∠DEM=90°.即OD⊥DE.∵D在⊙O上,OD為⊙O的半徑,∴DE是⊙O的切線.(2)解:∵∠AED=90°,DE=6,AE=3,∴.連接CD.∵AC是⊙O的直徑,∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠CAD=∠DAE,∴△ACD∽△ADE.∴.∴.則AC=15(cm).∴⊙O的半徑是7.5cm.考點:切線的判定;平行線的判定與性質(zhì);圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì).24、(1)y=﹣x2﹣2x+1;(2)(﹣,)【解題分析】
(1)將A(-1,0),B(0,1),C(1,0)三點的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式;(2)先證明△AOB是等腰直角三角形,得出∠BAO=45°,再證明△PDE是等腰直角三角形,則PE越大,△PDE的周長越大,再運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+1,則可設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,-x2-2x+1),E點的坐標(biāo)為(x,x+1),那么PE=(-x2-2x+1)-(x+1)=-(x+)2+,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=-時,PE最大,△PDE的周長也最大.將x=-代入-x2-2x+1,進而得到P點的坐標(biāo).【題目詳解】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(﹣1,0),B(0,1),C(1,0),∴,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+1;(2)∵A(﹣1,0),B(0,1),∴OA=OB=1,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°.∵PF⊥x軸,∴∠AEF=90°﹣45°=45°,又∵PD⊥AB,∴△PDE是等腰直角三角形,∴PE越大,△PDE的周長越大.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則,解得,即直線AB的解析式為y=x+1.設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,﹣x2﹣2x+1),E點的坐標(biāo)為(x,x+1),則PE=(﹣x2﹣2x+1)﹣(x+1)=﹣x2﹣1x=﹣(x+)2+,所以當(dāng)x=﹣時,PE最大,△PDE的周長也最大.當(dāng)x=﹣時,﹣x2﹣2x+1=﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+1=,即點P坐標(biāo)為(﹣,)時,△PDE的周長最大.【題目點撥】本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),三角形的周長,綜合性較強,難度適中.25、(1)∠BAD=15°;(2)∠BAC=45°或∠BAD=60°;(3)CE=.【解題分析】
(1)如圖1中,當(dāng)點E在BC上時.只要證明△BAD≌△CAE,即可推出∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°;(2)分兩種情形求解①如圖2中,當(dāng)BD=DC時,易知AD=CD=DE,此時△DEC是等腰三角形.②如圖3中,當(dāng)CD=CE時,△DEC是等腰三角形;(3)如圖4中,當(dāng)E在BC上時,E記為E′,D記為D′,連接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N⊥AC于N,DE交AE′于O.首先確定點E的運動軌跡是直線EE′(過點E與BC成60°角的直線上),可得EC的最小值即為線段CM的長(垂線段最短).【題目詳解】解:(1)如圖1中,當(dāng)點E在BC上時.
∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠ADB=∠AEC=120°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°,在△ABD和△ACE中,∠B=∠C,∠ADB=∠AEC,AB=AC,∴△BAD≌△CAE,∴∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°.(2)①如圖2中,當(dāng)BD=DC時,易知AD=CD=DE,此時△DEC是等腰三角形,∠BAD
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