中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)大串講（北師大版）：專題02 一元二次方程 （壓軸50題6種題型）（原卷版）

專題02一元二次方程（壓軸50題6種題型）一、認(rèn)識(shí)一元二次方程1．（2022秋·湖南衡陽·九年級(jí)湖南省衡南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：判斷方程一個(gè)解的取值范圍是（）x0.590.600.610.620.63﹣0.061﹣0.04﹣0.0180.00440.027A． B．C． D．2．（2020秋·福建廈門·九年級(jí)福建省廈門集美中學(xué)?？计谥校┤魧?shí)數(shù)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）關(guān)于的一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根為，則方程一定有實(shí)數(shù)根(

)A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)徐州市科技中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表示不大于的最大整數(shù)，如，，如果，，則符合條件的的值有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是方程的一個(gè)根，則．6．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，，是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，，有公共解，則代數(shù)式的值為．二、用配方法求解一元二次方程7．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）代數(shù)式的可能取值為（

）A．5 B．6 C．7 D．88．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，，且，我們用符號(hào)表示，兩數(shù)中較小的數(shù)，如，若，則．9.（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．10．（2021秋·陜西延安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的值．11．（2023秋·山西長治·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：【閱讀材料】我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方公式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)．使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值．，可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．再例如：求代數(shù)式的最大值．．可知當(dāng)時(shí)，有最大值．最大值是．(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式的最小值為______；(2)【類比應(yīng)用】若多項(xiàng)式，試求的最小值；(3)【知識(shí)遷移】如圖，學(xué)校打算用長20米的籬笆圍一個(gè)長方形的菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的菜地的最大面積．

12．（2022秋·河北滄州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，得，(1)______，______．(2)求：當(dāng)x為何值時(shí)，此二次三項(xiàng)式的值為7？13．（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方公式的和的方法．這種方法被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如5是“完美數(shù)”，理由．解決問題：(1)數(shù)53（

）“完美數(shù)”（填是或不是）問題探究：(2)已知，則（

）(3)已知（x，y，k都是整數(shù)）要使得S為“完美數(shù)”試求出符合條件的k值．14．（2020秋·福建漳州·九年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┪覀兛梢岳门浞椒ㄇ笠恍┒囗?xiàng)式的最值．如：，，．當(dāng)時(shí)，有最小值且最小值為2；再如：，，，．當(dāng)時(shí)，有最大值且最大值為．通過閱讀，試求代數(shù)式的最小值或最大值．三、用公式法求解一元二次方程15．（2023秋·湖北荊門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知m，n，5分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m，n分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則k的值等于16．（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是關(guān)于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象上的“不動(dòng)點(diǎn)”，例如：直線，上存在“不動(dòng)點(diǎn)”．若函數(shù)的圖象上存在唯一“不動(dòng)點(diǎn)”，則．17．（2023秋·江西贛州·九年級(jí)贛州市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)為最大正整數(shù)時(shí)，求方程的根．18．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考請閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：一元二次方程根的兩個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用我們知道，一元二次方程的求根公式是，由公式可知，一元二次方程的根是由它的系數(shù)決定的，即它的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，那么一元二次方程的根與系數(shù)有何關(guān)系?下面介紹一元二次方程的兩個(gè)根與系數(shù)關(guān)系的另外兩個(gè)性質(zhì)（非根與系數(shù)的關(guān)系定理，即非韋達(dá)定理）：性質(zhì)1：在一元二次方程中，若（即各項(xiàng)的系數(shù)和為0），則一元二次方程的兩個(gè)根分別是，．下面我們給出它的證明過程：證明：∵，∴，∴，∴，．性質(zhì)2：在一元二次方程中，若，則一元二次方程的兩個(gè)根分別是，．證明：……．任務(wù)：(1)填空：下列方程的根是的是__________，根是的是__________．（填序號(hào)）A．；B．；C．；D．．(2)請參考小論文中性質(zhì)1的證明過程，寫出性質(zhì)2的證明過程．19．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)證明：無論取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；(2)等腰三角形中，，、的長是此方程的兩個(gè)根，求的值．20．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)?？计谥校┮阎宏P(guān)于的方程．(1)求證：無論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)若等腰三角形的底邊長為，另兩邊的長恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長．21．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，，，、、在同一條直線上．

(1)若，，連接，求的長．(2)如圖2，設(shè)、、是和三邊的邊長，由（1）易得，這對(duì)我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾股方程”．①判斷關(guān)于的“勾股方程”根的情況并說明理由；②若是“勾股方程”的一個(gè)根，且的面積是9，求四邊形的周長．22．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：要解方程，我們發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，我們可以這樣做：解：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根，，，．我們把以上這種解決問題的方法叫做換元法．任務(wù)：(1)上述解方程的過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是（

）A．分類討論思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．公理化思想(2)仿照上面的方法，解方程；(3)若實(shí)數(shù)m、n滿足，則的值是．四、用因式分解法求解一元二次方程23．（2023秋·山東青島·九年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三角形的兩邊的長分別為2和10，第三邊是方程的兩根之一，則此三角形的周長是（

）A．19 B．22 C．13 D．19或2224．（2023秋·湖南常德·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，則的值為．25．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連接、．若四邊形是菱形，則等于．

26．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．27．（2023春·吉林長春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：示例：分解因式：．

(1)嘗試：分解因式：．(2)應(yīng)用：①請用上述方法解方程：．②如圖，在中，，且的長是方程的一個(gè)根，求等腰三角形的面積．28．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出的值．【問題】解方程：[提示]可以用“換元法”解方程．解：設(shè)，則有，原方程可化為：(1)續(xù)解：(2)用上面的思想方法解方程：29．（2023秋·湖北荊門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的兩邊，的長是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，第三邊的長是10．(1)求證：無論n取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)n為何值時(shí)；為等腰三角形？并求的周長．(3)當(dāng)n為何值時(shí)，是以為斜邊的直角三角形？30．（2023秋·陜西咸陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，例如：，若，求x的值．31．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）觀察下列方程及其解的特征：①的解為；②的解為，；③的解為，；?解答下列問題：(1)請猜想：方程的解為；(2)請猜想：關(guān)于x的方程的解為，；(3)請以解方程為例，驗(yàn)證（1）中猜想結(jié)論的正確性，下面給出了驗(yàn)證的部分過程，請把剩余部分補(bǔ)充完整．解：原方程可化為．32．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，若關(guān)于x的分式的值為零，則解得，．又因?yàn)?，所以關(guān)于x的方程的解為，．(1)理解應(yīng)用：方程的解為：______，______；(2)知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程的解為，，求的值；(3)拓展提升：若關(guān)于x的方程的解為，，且，求k的值．五、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系33．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽縣懷文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的兩根為，，則方程的兩根之和為．34．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值：(1)；(2)．35．（2023秋·福建廈門·九年級(jí)廈門市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論a為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為和，且滿足，求a的值．36．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)家對(duì)一元二次方程經(jīng)過漫長的探索．我國數(shù)學(xué)家趙爽在他的著作《勾股圓方圖注》對(duì)給出兩根和、積的關(guān)系．請你跟隨他的腳步開始你的探索之旅．(1)用表示一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，填寫表格．一元二次方程0①②③(2)數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)規(guī)律進(jìn)行歸納；對(duì)于，若，則；．（用含的代數(shù)式表示）．(3)設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，利用上述結(jié)論求的值．(4)類比探索，若一元三次方程可以轉(zhuǎn)化為，則；（用含的代數(shù)式表示）．37．（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么，，這一結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，它的應(yīng)用很多，請完成下列各題：(1)已知a、b是方程的兩根，求的值．(2)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知和是關(guān)于x，y的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得？若存在，求出該式的k值，若不存在，請說明理由．六、應(yīng)用一元二次方程38．（2023春·安徽宣城·八年級(jí)校考期中）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出，問戶斜幾何．意思是：一根竿子橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺，斜放恰好能出去，則竿長（

）尺．A．10 B．8 C．10或2 D．8或239．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一塊長92m寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為的6個(gè)矩形小塊，水渠應(yīng)挖的寬為．

40．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)于2月4日至2月20日在北京師和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會(huì)吉祥物為“冰墩墩”．因此“冰墩墩”玩偶暢銷一時(shí)，已知某商店“冰墩墩”玩偶平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利40元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，則每個(gè)“冰墩墩”玩偶應(yīng)降價(jià)多少元？

41．（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．(1)求該商品每次降價(jià)的百分率．(2)若該商品的進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此商品100件，且兩次降價(jià)銷售的總利潤為3228元，問第一次降價(jià)后售出該商品多少件？42．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價(jià)格購進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；(2)經(jīng)市場預(yù)測，7月份的銷售量將與6月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價(jià)促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件，當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元？43．（2023秋·山東青島·九年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)即停止，點(diǎn)、的速度都是．連接、、．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)當(dāng)__________時(shí)，四邊形是矩形；(2)當(dāng)__________時(shí)，四邊形是菱形；(3)是否存在某一時(shí)刻使得，如果存在，請求出的值，如果不存在，請說明理由．(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，沿著把翻折，當(dāng)為何值時(shí)，翻折后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．44．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）某流感病毒的轉(zhuǎn)染性很強(qiáng)，某一社區(qū)開始有2人感染發(fā)病，未加控制，結(jié)果兩天后發(fā)現(xiàn)共有50人感染發(fā)病．(1)每位發(fā)病者平均每天傳染多少人？(2)按照這樣的傳染速度，再過一天發(fā)病人數(shù)會(huì)超過200人嗎？45．（2023秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日舉行，某商店銷售亞運(yùn)會(huì)文化衫，每件進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不超過，試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10件．設(shè)每天銷售量為件，銷售單價(jià)上漲元．(1)則與的函數(shù)關(guān)系式是__________．(2)每件文化衫銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商店每天獲利2400元？46．（2023秋·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，要利用一面墻（墻長為60米），用100米的圍欄建菜園（圍欄無剩余），基本結(jié)構(gòu)為三個(gè)大小相同的矩形．

(1)如果圍成的總面積為400平方米，求菜園的邊、的長各為多少米？(2)保持菜園的基本結(jié)構(gòu)，菜園總面積是否可以達(dá)到840平方米？請說明理由．47．（202