2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)?？键c精練（蘇科版）：專題02 截長補短證全等（原卷版）

專題02截長補短證全等類型一截長證全等1．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．2．如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點O求證：．3．如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．4．如圖，，、分別平分、，與交于點O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．5．如圖所示，已知AC平分∠BAD，，于點E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明．6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AC+CD．7．已知：如圖，，，，求證：.8．如圖，，，平分，且是中點試問：、和之間有何關(guān)系？并說明理由.9．如圖，正方形中，是的中點，交外角的平分線于．

（1）求證：；（2）如圖，當(dāng)是上任意一點，而其它條件不變，是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．類型二補短證全等10．已知：如圖所示，在中，為中線，交分別于，如果，求證：．11．如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點，且，．求證：12．在中，，點D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．13．如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．14．本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時平分．他通過觀察、實驗，提出以下想法：延長到點，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請你參考小明的想法，寫出完整的證明過程．②如圖2，當(dāng)時，請你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點分別為、，點在線段上，且，請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．類型三截長補短證全等16．（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．17．在數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點，是的平分線，．求證：．小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長、交于點．方法2：