2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)常考點(diǎn)精練（蘇科版）：專(zhuān)題42 一次函數(shù)中的全等（解析版）

專(zhuān)題42一次函數(shù)中的全等1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得到，取的中點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)求出直線(xiàn)的解析式，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線(xiàn)與分別過(guò)點(diǎn)A，作x軸的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E，MN與y軸交于點(diǎn)C，如下圖．∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴(AAS)，∴，，∴，，∴，取的中點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把B、K坐標(biāo)代入得，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，將直線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立組成方程組，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)yx+4與x軸，與y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線(xiàn)AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．(1)求AB的長(zhǎng)與點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接DP，求使∠ADP＝45°時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下直接寫(xiě)出△ADP的面積．【答案】(1)5，(2)(3)或(4)15或45【分析】（1）利用直線(xiàn)與x軸，與y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B、求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求得AB的長(zhǎng)與點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)OD=x，則，在中，，據(jù)此求出x的值從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）過(guò)A作，在直線(xiàn)l上取AM=AD，AN=AD，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)軸，過(guò)M作，垂足為，過(guò)D作，垂足為，再證明，得到M的坐標(biāo)與直線(xiàn)MD的解析式，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)，同理得到N的坐標(biāo)與直線(xiàn)DN的解析式，由此即可求解；（4）由（3）的結(jié)論即可求解．（1）在直線(xiàn)上，令y=0，則x=3，令x=0，則y=4，，，△DAB沿直線(xiàn)AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處，，．（2）設(shè)OD=x，則，在中，，解得：x=6．（3）過(guò)A作，在直線(xiàn)l上取AM=AD，AN=AD，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)軸，過(guò)M作，垂足為，過(guò)D作，垂足為，，，，，，在中，，，而∴,設(shè)，，解得：，，令x=0，則y=-2，，同理：可以證明，進(jìn)而即可得到，設(shè)，，解得：，，令y=0，則x=18，綜上：或．（4）由（3），有：或15，且OD=6，，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，翻轉(zhuǎn)折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，能準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形并構(gòu)造出全等三角形是關(guān)鍵．3．如圖1，已知直線(xiàn)AB：（）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C（1，0）作CE上x(chóng)軸，與AB交于點(diǎn)D，與直線(xiàn)AE：交于點(diǎn)E．①求證：CD＝2DE；②如圖3，若，點(diǎn)F坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)F作FG上x(chóng)軸，點(diǎn)Ｍ是直線(xiàn)FG上一點(diǎn)，∠AMF＝∠AEC－∠BAO，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3m，0）；點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2m）(2)①見(jiàn)解析；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）在中，令得，令得，即可求解；（2）①由點(diǎn)C（1，0），軸，得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出CD和DE，即可求解；②過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為H，連接BE，根據(jù)和勾股定理求出A、B、E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AE和BE，從而得到，結(jié)合點(diǎn)F的坐標(biāo)易得，然后利用全等三角形的性質(zhì)求解．（1）解：∵在中，令時(shí)，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2m）．∵令時(shí)，，即．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3m，0）；（2）①證明：∵點(diǎn)C（1，0），軸，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），∴，，∴；②∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3m，0）、（0，2m），∴，．∵在中，，∴，即，∴．∵，∴舍去，即．∴A、B、E的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，4）、（1，5），∴，，，，∴在中，．過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸，垂足為H，連接BE．∴，．∴在中，．∵，∴，∴．∵軸，∴．∵點(diǎn)F坐標(biāo)為，∴．∵軸，，∴．∵，∴．在和中，∴，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)點(diǎn)且a、b滿(mǎn)足．______；______．點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的右側(cè)，且，若點(diǎn)P在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____；若為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖2，在的條件下，且點(diǎn)P在第四象限，AP與y軸交于點(diǎn)M，BP與x軸交于點(diǎn)N，連接求證：提示：過(guò)點(diǎn)P作交x軸于【答案】（1），4；（2）；或；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1），根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）①點(diǎn)P在x軸上，則OP=OB=4，即可求解；②分∠BAP=90°、∠ABP=90°兩種情況，求解即可；通過(guò)證明△MEP≌△HFP（AAS）得：∠2=∠FHP，證明△MNP≌△HNP（SAS），∠1=∠NHP，即可求解．【詳解】解：，即：，，故答案是，4；點(diǎn)P在x軸上，則，故：答案是；當(dāng)時(shí)，，，，，又，，≌，，，，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；過(guò)點(diǎn)P作交x軸于H，過(guò)點(diǎn)P分別作x、y軸的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)F、E，由知，，，，，又，≌，，，，又，≌，，．故答案為（1）-2,4；（2）①（4，0）；②（2，-2）或（4,2）；（3）見(jiàn)解析.【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查三角形全等、等腰直角三角形的性質(zhì)、因式分解等知識(shí)點(diǎn)．5．直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，以為邊在第一象限內(nèi)作正方形，(1)求頂點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在x軸上，且的面積是正方形面積的一半，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)從而得到OA=2，OB=1，然后證明△AED≌△BOA得到AE=OB=1，DE=OA=2，則OE=3，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，同理即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P是直線(xiàn)AC與x軸的交點(diǎn)時(shí)，兩種情況討論求解即可．(1)解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，∵直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∴OA=2，OB=1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAE+∠BAO=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAE=∠ABO，∵∠AED=∠BOA=90°，∴△AED≌△BOA（AAS），∴AE=OB=1，DE=OA=2，∴OE=3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），同理可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）；(2)解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴，即，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），連接AC并延長(zhǎng)交x軸于，連接BD交AC于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，CD=CB，∴又∵，∴（SSS），∴，∵，∴，∴,∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．6．（1）基本圖形的認(rèn)識(shí)：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AB＝EC，BE＝CD，連結(jié)AE、DE，求證：△AED是等腰直角三角形．（2）基本圖形的構(gòu)造：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，3），連結(jié)AB，過(guò)點(diǎn)A在第一象限內(nèi)作AB的垂線(xiàn)，并在垂線(xiàn)截取AC＝AB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）基本圖形的應(yīng)用：如圖3，一次函數(shù)y＝－2x＋2的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，直線(xiàn)AC交x軸于點(diǎn)D，且∠CAB＝45°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）；（3）（6，0）【分析】（1）證明△ABE≌△ECD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，則可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，證明△AOB≌△CHA，從而得到AH、CH，則可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OD，交OD于點(diǎn)F，由一次函數(shù)解析式求出OA＝2，OB＝1，證明△AOB≌△BFE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線(xiàn)AC的解析式，則可得出答案．【詳解】證明：在△ABE和△ECD中，∵∴

∴，∵∴∴∴∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖2，則∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°?90°?∠HAC＝90°?∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，∵，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA＋AH＝5，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2）；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OD，交OD于點(diǎn)F，把x＝0代入y＝?2x＋2中，得y＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝?2x＋2，得?2x＋2＝0，解得x＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO＋∠EBF＝90°，又∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，，∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1），設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx＋b，由題意可得：，解得：，∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝x＋2，令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．7．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，：交x軸于A，交y軸于B．另一直線(xiàn)：交x軸于C，交y軸于D，交于E．已知≌．(1)求解析式．(2)P，Q分別在線(xiàn)段AB和CD上，且，當(dāng)軸時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由的解析式求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)全等條件求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中求出的值，回代入解析式即可；（2）當(dāng)軸時(shí)，連接PQ，交y軸于點(diǎn)H，過(guò)Q作軸于點(diǎn)M，過(guò)P作軸于點(diǎn)N，可得，，，；設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，代入求得P點(diǎn)坐標(biāo)，軸，有相同的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解點(diǎn)坐標(biāo)即可．(1)解：的坐標(biāo)分別為將坐標(biāo)代入得解得∴的坐標(biāo)分別為∵∴∴，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得解得∴的解析式為：．(2)解：如圖當(dāng)軸時(shí)，連接PQ，交y軸于點(diǎn)H，過(guò)Q作軸于點(diǎn)M，過(guò)P作軸于點(diǎn)N在和中∵∴∴，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，代入的解析式中得解得∴點(diǎn)坐標(biāo)為把代入中得解得∴點(diǎn)坐標(biāo)為∴兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等，一次函數(shù)解析式，平行直線(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的求值．8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)AC：y＝2x－6，交直線(xiàn)AO：y＝x于點(diǎn)A．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)________；（2）若點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，當(dāng)S△AOE＝6時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)B在x軸正半軸上，當(dāng)△BOC的面積等于△AOC的面積一半時(shí)，求∠ACO＋∠BCO的大?。敬鸢浮浚?）A（4，2）；（2）E（2，－2）或（6，6）；（3）∠ABO＋∠DBO＝45°【分析】（1）聯(lián)立方程組可求解；（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，b)，分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)上方時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)下方時(shí)求解即可；（3）由面積關(guān)系可求OB的長(zhǎng)，由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）聯(lián)立方程組可得：，解得：，∴點(diǎn)A（4，2），故答案為（4，2）；（2）∵直線(xiàn)y=2x-6與y軸交于點(diǎn)M，令2x-6=0，解得：x=3，∴點(diǎn)M（3，0），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，b)，當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)上方時(shí)，則==6，解得：b=6,把b=6代入y=2x-6得：x=6,∴E的坐標(biāo)為(6，6)，當(dāng)點(diǎn)E在A點(diǎn)下方時(shí)，則==6，解得：b=-2或2（舍去）,把b=-2代入y=2x-6得：x=2,∴E的坐標(biāo)為(2，-2)，綜上：E（2，－2）或（6，6）（3）由（2）得：C（0，-6），∵△BOC的面積等于△AOC面積的一半，∴×OC×OB=××OC×4，∴BO=2，如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'C，AB'，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于H點(diǎn)，∴OB=OB'=2，BB'⊥CO，∴BC=B'C，又∵BB'⊥CO，∴∠BCO=∠B'CO，∵AH=B'O=2，B'H=6=CO，∠AHB'=∠B'OC=90°，∴△AHB'≌△B'OC（SAS），∴∠AB'H=∠B'CO，AB'=B'C，∴∠AB'H+∠CB'O=∠B'CO+∠CB'O=90°，∴∠B'CA=∠ACO+∠B'CO=45°，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上時(shí)，∠ACO+∠BCO=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系中，AB交y軸和x軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)和，且m，n滿(mǎn)足．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作，截取，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作軸于C，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿y軸向下運(yùn)動(dòng)，連接DP、DO，若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，三角形PDO的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．（3）在（2）的條件下，連接AC，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使與全等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，S=；當(dāng)t＞2時(shí)，S=；（3）存在，M（3，0）或M（0，3）或M（1，4）【分析】（1）解二元一次方程組求出m和n的值，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意當(dāng)0≤t＜2和t＞2時(shí)，分別表示出OP的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)題意分3種情況討論，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，解得，∴A（0，4），B（-3，0）．（2）作DH⊥AO于H，∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠ADH．在△DAH和△ABO中，，∴△DAH≌△ABO（AAS），∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1．∴①當(dāng)0≤t＜2時(shí)，∵AP=2t，OP=4-2t，∴S=．②當(dāng)t＞2時(shí)，∵AP=2t，OP=2t-4，∴S=．（3）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=45°．∵∠DCO=90°，∴∠DCA=45°．∴如圖所示，當(dāng)△ACD≌△ACM時(shí)，∠ACM=∠ACD=45°，∴∠DCM=90°，∴點(diǎn)M在x軸上．∵DC=CM=1，∴OM=3，∴M（3，0）．當(dāng)△ACD≌△CAM時(shí)，點(diǎn)M在y軸上時(shí)，∠ACD=∠CAM=45°，∵AM=CD=1，∴OM=3，∴M（0，3）．當(dāng)△ACD≌△CAM時(shí)，點(diǎn)M在第一象限時(shí)，∠ACD=∠CAM=45°，∴∠OAM=90°，∴AM⊥y軸．∵AM=CD=1，∴M（1，4）．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，解二元一次方程組的方法．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝x＋6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交直線(xiàn)y＝﹣2x＋9于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是．（2）點(diǎn)M是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N是直線(xiàn)y＝﹣2x＋9上一點(diǎn)，連接線(xiàn)段MN，若MNx軸，且MN＝6，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，平面上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（1，7）（2）M（-3，3）或M（5，11）（3）P（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，4）【分析】（1）聯(lián)立兩直線(xiàn)即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，分別求出M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)MN＝6，得到故可求解；（3）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，得到MN=OB=6，故當(dāng)△BOP和△MNC全等時(shí)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，求出MC，NC，設(shè)點(diǎn)P（x1，x2），得到BP=，OP=，根據(jù)BP=NC，OP=MC或BP=MC，OP=NC分別列出方程即可求解．【詳解】（1）聯(lián)立兩直線(xiàn)解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，7）故答案為：（1，7）；（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，則M（a，a+6），∵M(jìn)Nx軸∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a+6，代入直線(xiàn)y＝﹣2x＋9∴a+6＝﹣2x＋9∴x=∴N（，a+6）∵M(jìn)N＝6，∴解得a=-3或a=5∴M（-3，3）或M（5，11）（3）存在令直線(xiàn)y＝x＋6中x=0，y=6故B（0，6）∴OB=6故MN=OB=6故當(dāng)△BOP和△MNC全等時(shí)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等①當(dāng)M（-3，3）、N（3，3）時(shí)在△MNC中，MC=，NC=，設(shè)點(diǎn)P（x1，x2），故BP=，OP=當(dāng)BP=NC，OP=MC時(shí)，則，解得或；當(dāng)BP=MC，OP=NC時(shí)，則，解得或；∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）；②當(dāng)M（5，11）、N（-1，11）時(shí)，四種情況與①一致；綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）．【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿(mǎn)足，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線(xiàn)AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）A的坐標(biāo)為_(kāi)________，B的坐標(biāo)為_(kāi)________．（2）如圖2，連結(jié)BP，當(dāng)t為何值時(shí)，BP平分∠ABO．（3）過(guò)P作PD⊥AB交直線(xiàn)AB于D，交y軸于Q，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使POQ與AOB全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，或【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性求出的值即可；（2）作，根據(jù)平分，得出，設(shè)，則，根據(jù)，即：，即可解出；（3）當(dāng)時(shí)，得，又根，得，即，，；當(dāng)時(shí)，得，同理可得：，即可解出．【詳解】解：（1），根據(jù)非負(fù)性得，，，，，故答案是：，；（2）作，平分，，，則，，即：，，，當(dāng)秒時(shí)，平分，（3）如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，同理可得：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)、三角形全等、非負(fù)性、一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想及分類(lèi)討論的思想求解．12．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上，將△AOB沿AC翻折，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)D處，直線(xiàn)DC交AB于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)DC上，點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），當(dāng)△CPQ和△CBE全等時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不包括這兩個(gè)三角形重合的情況）．【答案】（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，設(shè)OC＝x，則BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可；（2）首先可證∠BEC＝∠COD＝90°，分當(dāng)點(diǎn)D與P重合，當(dāng)CQ＝BC＝時(shí)，當(dāng)PC＝BE＝2，，時(shí)，再分別根據(jù)圖形性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1），令則令則A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝，∵將△AOB沿AC翻折，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)D處，∴AD＝AB＝5，∴OD＝2，設(shè)OC＝x，則，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴C（0，）；（2）設(shè)為解得：所以直線(xiàn)CD的解析式為，∵將△AOB沿AC翻折，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)D處，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠BCE＝∠DCO，∴∠B