一統(tǒng)天下工作室

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運(yùn)行時(shí),點(diǎn)擊“費(fèi)馬引理”可顯示費(fèi)馬簡(jiǎn)介.第七節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束一、Z

=X

+Y

的分布二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三章運(yùn)行時(shí),點(diǎn)擊“費(fèi)馬引理”或“費(fèi)馬”按鈕,或相片,可顯示費(fèi)馬簡(jiǎn)介,并自動(dòng)返回一、Z=X+Y的分布證:因?yàn)閄

和Y

相互獨(dú)立,故所以費(fèi)馬 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束1、離散型例1:設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為例2:設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，證明:證:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束2、連續(xù)型：設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y)，Z=X+Y的分函數(shù)為這里積分區(qū)域G

:x

+y

≤z

是直線(xiàn)x+y

=z

及其左下方的半平面固定z

和y

對(duì)積分作變量代換，令x

=u–y

,得于是機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束特別，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，設(shè)(X,Y

)關(guān)于X,Y這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束的邊緣概率密度分別為

fX

(x)

,

fY

(

y

)

,則有例3：設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。它們服從N(0,1)分布，其概率密度為解：即Z

服從N

(0,2)分布。一般，設(shè)X

,Y相互獨(dú)立且則若且它們相互獨(dú)立，則更一般地，有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布。例4.在一簡(jiǎn)單電路中,兩電阻R1和R2串聯(lián)聯(lián)接,設(shè)R1,R2相互獨(dú)立,它們的概率密度均為求總電阻R=R1+R2的概率密度.解:R的概率密度為易知僅當(dāng)

即時(shí)上述被積函數(shù)不等于零.

當(dāng)當(dāng)

時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束運(yùn)行時(shí),點(diǎn)擊“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按鈕，或相片可顯示.拉格朗日的簡(jiǎn)介，運(yùn)行結(jié)束可自行返回。當(dāng)10≤z≤20時(shí)，當(dāng)z>20故拉氏 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束二、M=max

(X,Y)及N=min

(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為由于M=max(X

,Y

)不大于z

等價(jià)于X

和Y

都不大于z

，故有又由于X

和Y

相互獨(dú)立即有類(lèi)似地，可得N

=min(X,Y

)的分布函數(shù)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束推廣：設(shè)X1,X2

,…,Xn

是n

個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量特別，當(dāng)X1,X2

,…,Xn

相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)有例5.

設(shè)隨機(jī)變量（X

，Y）的分布律（1）求V=max{X,Y}的分布律；（2）求U=min

{X,Y}的分布律。解：P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0.10P{V=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=1}=0.09機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束類(lèi)似地：P{V=2}=0.25

,

P{V=3}=0.40

,

P{V=4}=0.10(2)例6.設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2聯(lián)接組成，聯(lián)接的方式分別為（1）串聯(lián)，（2）并聯(lián)，（3）備用（當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開(kāi)始工作）。設(shè)L1，L2的壽命分別為X，Y，已知它們的概率密度分別為Z=min(X,Y)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束其中

試分別就以上三種聯(lián)接方式寫(xiě)出L的壽命Z的概率密度。解：（1）串聯(lián)的情況—由于當(dāng)L1，L2中有一個(gè)損壞，系統(tǒng)L就停止工作，所以L(fǎng)的壽命為而X,Y的分布函數(shù)分別為運(yùn)行時(shí),點(diǎn)擊標(biāo)題“三、柯西----”或“柯西”按鈕,或相片,可顯示柯西簡(jiǎn)介,并自動(dòng)返回.故Z=min(X,Y)的分布函數(shù)為于是Z=min(X,Y)的概率密度為（2）并聯(lián)情況—由于當(dāng)且僅當(dāng)L1，L2都損壞，系統(tǒng)L于是Z=max(X,Y)的概率密度為柯西 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束才停止工作，所以這時(shí)L的壽命Z為故Z=max(X,Y)的分布函數(shù)為Z=max(X,Y)當(dāng)z≤0時(shí)，f(z)=0，于是Z=X+Y的概率密度為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束(3