用二分法求方程的近似解

跟蹤知識(shí)梳理1、二分法直觀想法：知道函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，我們可以逐步將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小，根據(jù)精確度要求，我們可以得到零點(diǎn)的近似值。為此，我們可以采用分段截取的辦法，可以選取中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、……定義:(取中點(diǎn))對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間縮小，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸接近，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.2.二分法及步驟對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，，驗(yàn)證·，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點(diǎn)；（3）計(jì)算：eq\o\ac(○,1)若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；eq\o\ac(○,2)若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；eq\o\ac(○,3)若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（4）判斷是否達(dá)到精度；即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.核心能力必練一、選擇題1.下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是()A．f(x)＝3x?1B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx【答案】C【解析】結(jié)合函數(shù)f(x)＝|x|的圖象可知，該函數(shù)在x＝0左右兩側(cè)函數(shù)值的符號(hào)均為正，故其不能用二分法求零點(diǎn)．2.已知在區(qū)間(1，2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0，若用二分法求x0的近似值(精確度為，則最少需要將區(qū)間等分的次數(shù)為()A．3B．4C．5D．6【答案】A3．函數(shù)f(x)＝2x＋m的零點(diǎn)落在(?1，0)內(nèi)，則m的取值范圍為()A．(?2，0)B．(0，2)C．[?2，0]D．[0，2]【答案】B【解析】由題意知f(?1)·f(0)＝(m?2)m<0，∴0<m<2.4.關(guān)于用二分法求近似解的精確度ε的說(shuō)法，正確的是()A．ε越大，零點(diǎn)的精確度越高B．ε越大，零點(diǎn)的精確度越低C．重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是εD．重復(fù)計(jì)算次數(shù)與ε無(wú)關(guān)【答案】B【解析】由精確度ε的定義知，ε越大，零點(diǎn)的精確度越低．5.若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是()A．若f(a)f(b)<0，則不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，則存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，則不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)>0，則有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0【答案】D【解析】由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B可通過(guò)反例“f(x)＝x(x?1)(x＋1)在區(qū)間[?2，2]上滿足f(?2)f(2)<0，但其存在三個(gè)零點(diǎn)：?1，0，1”推翻；選項(xiàng)C可通過(guò)反例“f(x)＝(x?1)(x＋1)在區(qū)間[?2，2]上滿足f(?2)f(2)>0，但其存在兩個(gè)零點(diǎn)：?1，1”推翻，故選D.6.設(shè)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，則所在的區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】C7.用二分法求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，，則函數(shù)的一個(gè)精確度為的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為()【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，又精確度為，所以為.8．已知x0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【解析】，f(x)由兩部分組成，y=2x在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，y=?eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．∵x1<x0，∴f(x1)<f(x0)＝0，又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0，故選B.二、填空題9．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，4]上零點(diǎn)的近似解，經(jīng)驗(yàn)證有f(2)·f(4)<0.取區(qū)間的中點(diǎn)x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)<0，則此時(shí)零點(diǎn)x0∈________(填區(qū)間)．【答案】(2，3)【解析】∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2，3)．10．用二分法求方程lnx?2＋x＝0在區(qū)間[1,2]上根的近似值，先取區(qū)間中點(diǎn)c＝eq\f(3,2)，則下一個(gè)含根的區(qū)間是________．【答案】11．用二分法求方程x2?5＝0在區(qū)間(2，3)內(nèi)的近似解，經(jīng)過(guò)________次二分后精確度能達(dá)到.【答案】7【解析】區(qū)間(2，3)的長(zhǎng)度為1，當(dāng)7次二分后區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(1,27)＝eq\f(1,128)<eq\f(1,100)＝.三、解答題12.利用計(jì)算器，求方程lgx＝2?x的近似解(精確度．【答案】5（不唯一）【解析】作出y＝lgx，y＝2?x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx＝2?x有唯一解，設(shè)為，設(shè)f(x)＝lgx＋x?2，用計(jì)算器計(jì)算得f(1)<0，f(2)>0?∈(1，2)；f<0，f(2)>0?∈，2)；f<0，f(2)>0?∈，2)；f<0，f>0?∈，；f<0，f5)>0?∈，5)．因?yàn)閨5－|＝5<，所以方程的近似解可取為5.13.在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘門到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條長(zhǎng)10km的線路，電線桿的間距為100m．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，能夠迅速查出故障所在.【答案】略【解析】如圖所示，首先從AB線路的中點(diǎn)C開始檢查，當(dāng)用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中點(diǎn)D檢查，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障出在CD段；再到CD段中點(diǎn)E來(lái)檢查……每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半．要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到100m左右，查7