拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)學(xué)案

第7課時拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.掌握拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何圖形.能用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.理解標(biāo)準(zhǔn)方程中“p”與拋物線的開口方向、焦點位置的關(guān)系.3.親自體驗由具體的演示實驗探尋出一般數(shù)學(xué)結(jié)論的過程,體會探究的樂趣,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.學(xué)習(xí)運用類比的思想探尋另三種標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖,把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直尺l的位置上,截取一根繩子的長度等于AC的長度,現(xiàn)將繩子的一端固定在三角板的頂點A處,另一端用圖釘固定在F處;用一支粉筆扣著繩子,緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊,然后使三角板緊靠著直尺上下滑動,這樣粉筆就描出一條曲線.問題1:在上述情境中,點M到點F與點M到直線l的距離.(填相等或不相等),理由是.

問題2:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過F)的距離的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的,定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.如果定義中不加上條件“l(fā)不經(jīng)過F”,即若點F在直線l上,滿足條件的動點P的軌跡是,而不是拋物線.

問題3:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式:標(biāo)準(zhǔn)方程圖象焦點F坐標(biāo)準(zhǔn)線l方程y2=2px(p>0)

x=-p(續(xù)表)標(biāo)準(zhǔn)方程圖象焦點F坐標(biāo)準(zhǔn)線l方程y2=-2px(p>0)

x=p

(0,p2y=-p

(0,-p2y=p問題4:已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,如何得到焦點坐標(biāo)?先觀察方程的結(jié)構(gòu),一次項變量為x(或y),則焦點在(或y)軸上;若系數(shù)為正,則焦點在半軸上;系數(shù)為負(fù),則焦點在半軸上;若一次項變量為x,則焦點的橫坐標(biāo)是一次項系數(shù)的,縱坐標(biāo)為;若一次項變量為y,則焦點的縱坐標(biāo)是一次項系數(shù)的,橫坐標(biāo)為0.

1.拋物線y2=-8x的焦點坐標(biāo)是().A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0)2.拋物線y2=8px(p>0),F是焦點,則p表示().到準(zhǔn)線的距離 到準(zhǔn)線距離的1到準(zhǔn)線距離的18 到y(tǒng)3.拋物線y=4x2的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.

4.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程是y=3;(2)過點P(-22,4);(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為2.求拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知拋物線的焦點在y軸上,并且經(jīng)過點M(3,-23),求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知拋物線的焦點在坐標(biāo)軸上,且拋物線過點(-3,2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.求動點的軌跡方程動點M(x,y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,求動點M(x,y)的軌跡方程.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下,分別求其焦點和準(zhǔn)線方程:(1)y2=6x;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a≠0).如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為60°的直線l,交拋物線于A、B兩點,且|FA|=3,則拋物線的方程是.

已知點A(0,-2),B(0,4),動點P(x,y)滿足PA·PB=y2-8.(1)求動點P的軌跡方程;(2)設(shè)(1)中所求軌跡與直線y=x+2交于C、D兩點.求證:OC⊥OD(O為原點).1.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),到點(1,1)和直線x+2y=3距離相等的點的軌跡是().A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線2.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為().A.18 183.已知圓x2+y2+6x+8=0與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線相切,則p=.

4.已知拋物線的方程是y=ax2,求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2013年·江西卷)已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點N,則|FM|∶|MN|=().∶5 ∶2 ∶5 ∶3考題變式(我來改編):

第6課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用知識體系梳理問題1:xa±yb=0接近0問題2:2a2b2a2be=ca(0<e<1)e=ca(e>y=±ba問題3:(1)mx2+ny2=1(mn<0)(2)x2a2-y2b2(3)m2x2-n2y2=λ(λ≠0)問題4:①無公共點②一個③一支④兩支基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流∵ba=43,∴b2a2=169=c2-a2a2=c2a2-1,∴(設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>∵△MF1F2為等腰三角形,∠F1MF2=120°,∴∠MF1F2=30°,∴tan30°=bc=33,b2c2-a2c2=1-(ac)2=13,(c3.5雙曲線的漸近線為y=±bax.直線x+2y-1=0的斜率為-12.因為y=bax與直線x+2y-1=0垂直,所以ba·(-12)=-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=4.解:橢圓的焦點F1(-7,0),F2(7,0),即為雙曲線的頂點.∵雙曲線的頂點和焦點在同一直線上,∴雙曲線的焦點應(yīng)為橢圓長軸的端點A1(-4,0),A2(4,0),∴c=4,a=7,∴b=c2-a故所求雙曲線的方程為x27-y2實軸長為2a=27,虛軸長為2b=6,離心率e=ca=477,漸近線方程為重點難點探究探究一:【解析】由雙曲線的方程,知a=3,b=4,所以c=5.由雙曲線的定義得,||PF1|-|PF2||=2a=6.上式兩邊平方得,|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=100,由余弦定理得,cos∠F1PF2=|=100-1002所以∠F1PF2=90°.【小結(jié)】在雙曲線的焦點三角形中,經(jīng)常運用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來解題,解題過程中,常對定義式兩邊平方探求關(guān)系.探究二:【解析】由聲速為340m/s可知,F1、F2兩處與爆炸點的距離差為340×30017=6000(m),因此爆炸點在以F1、F2為焦點的雙曲線上設(shè)爆炸點P的坐標(biāo)為(x,y),則|PF1|-|PF2|=6000,即2a=6000,∴a=3000,而c=5000,∴b2=50002-30002=40002.∵|PF1|-|PF2|=6000>0,∴x>0,∴所以所求雙曲線的方程為x230002-y24000【小結(jié)】在F1處聽到爆炸聲的時間比在F2處晚30017s,相當(dāng)于爆炸點離F1的距離比F2遠(yuǎn)6000m,這是解應(yīng)用題的第一關(guān)——審題關(guān);根據(jù)審題結(jié)合數(shù)學(xué)知識知爆炸點所在的曲線是雙曲線,這是解應(yīng)用題的第二關(guān)——文化關(guān)(用數(shù)學(xué)文化反映實際問題);借助雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出爆炸點的軌跡方程是解決應(yīng)用題的第三關(guān)——數(shù)學(xué)關(guān)(用數(shù)學(xué)知識解決第二關(guān)提出的問題)探究三:【解析】由題意知a=1,b=3,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),又直線AB方程為y=x+2,且A(x1,y1),B(x2,y2),如圖,由y=x+2,x2-y23=1,得2x2-4x-7=0,∴x1(1)|AB|=1+k2·(x1+x2(2)由雙曲線的定義:|AF2|-|AF1|=2,|BF2|-|BF1|=2,兩式相加得:|AF2|+|BF2|=4+|AF1|+|BF1|=4+|AB|=10.∴△F2AB的周長是|AB|+|AF2|+|BF2|=16.[問題]弦AB在雙曲線的一支上?還是在雙曲線的兩支上?還是兩種情況都有可能?[結(jié)論]由于思路不暢,上面的解法誤認(rèn)為弦AB在雙曲線的一支上,實際上由x1x2=-72<0知,A,B兩點不在同一支上,也可根據(jù)雙曲線的漸近線的斜率為±3,而直線AB斜率為1,∵1<3,故直線AB應(yīng)與左,右兩支均相交于是,正確解答為:(1)同錯解部分.(2)x1x2=-72<0知,弦AB與雙曲線左,右兩支均相交,如圖,由2x2-4x-7=0得x1=2-322,x2=2+322,所以A(2-32|AF2|=(2-322-2)|BF2|=(2+322-2)2+∴△F2AB的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=6+62.【小結(jié)】解決直線與圓錐曲線的弦長問題,常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,利用兩點間距離公式得到弦長公式|AB|=1+k2·(x1+x2思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:由題意知:c=13,設(shè)橢圓的長半軸長為a,雙曲線的實半軸長為a1,則a-a由余弦定理、橢圓、雙曲線的定義,得|?|?cos∠F1PF2=45應(yīng)用二:設(shè)M是界線上的任意一點,則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值),∴所求界線是以A、B為焦點的雙曲線的一支.若以直線AB為x軸,線段AB的中點O為坐標(biāo)原點,建立直角坐標(biāo)系,則所求雙曲線為x2a2-y2b2=2c=|AB|=10=507,∴c=257,b2=c2-a2=3750.故雙曲線方程為x2625-y23750=1(25≤x≤35,y≥應(yīng)用三:(1)y=±2x(2)x24-y25=1(1)根據(jù)已知|PF1|=2b2a且|PF2|=b2a,故2b2a-b2∴其漸近線方程為y=±2x.(2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(由題意知c=3,a2+b2=9,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有:x兩式作差得:y1-y2x1-又直線AB的斜率是-15-0所以將4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24-y2基礎(chǔ)智能檢測a2-k>0,b2+k>0,所以a2-k+b2+k=a2+b2=c2.所以兩雙曲線有相同的焦點.由題意可設(shè)直線l的方程為y=b,代入x24-y2=1得x2=4(1+b2),所以x1=4(1+b2)=21+b2,x2=-21+b2,所以|AB|=|x1-x2|=41+b2,所以|AB|=3.±2雙曲線x2-y2=1的漸近線為y=±x,不妨取y=x,若直線y=x與圓相切,則有圓心(a,0)到直線x-y=0的距離d=|a|2=1,即|a|=2,所以4.解:設(shè)MF1的中點為P,在Rt△PMF2中,|PF2|=|MF2|·sin60°=2c·32=3c.又由雙曲線的定義得|PF2|-|PF1|=2a,所以a=3-12c,e=ca=2全新視角拓展根據(jù)雙曲線方程,a2=1,b2=m>0,則c2=1+m,因為雙曲線的離心率大于2,所以ca>2即c2a2>2,所以1+m>2,2.3+1設(shè)|F1F2|=2c,則|PF2|=c,|PF1|=3c,|PF1|-|PF2|=2a?3c-c=2a,∴e=ca=23-1=第7課時拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識體系梳理問題1:相等由|AC|=|MC|+|AM|,|AC|=|MF|+|AM|,得|MC|=|MF|問題2:相等焦點過點F且垂直于l的直線問題3:(p2,0)(-p2,0)x2=2py(p>0)x2=-2px(p>問題4:x正負(fù)140基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流依題意,拋物線開口向左,焦點在x軸的負(fù)半軸上,由2p=8,得p2=2,故焦點坐標(biāo)為(-2,0),化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)2=2×(4p)x(p>0),則4p就是焦點F到準(zhǔn)線的距離,所以p表示焦點F到準(zhǔn)線的距離的143.(0,116)y=-116將拋物線方程y=4x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=14y,易知:拋物線開口向上,焦點在y軸的正半軸上,由2p=14,得p2=116,故焦點坐標(biāo)為(0,4.解:(1)由準(zhǔn)線方程為y=3知,拋物線的焦點在y軸負(fù)半軸上,且p2=3,則p=6,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12(2)∵點P(-22,4)在第二象限,∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),將點P(-22,4)代入y2=-2px,得p=22;代入x2=2py,得p=1.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-42x或x2=2y.(3)由焦點到準(zhǔn)線的距離為2,得p=2,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=22x,y2=-22x,x2=22y或x2=-22y.重點難點探究探究一:【解析】(1)因為p=7,所以焦點坐標(biāo)是(-72,0),準(zhǔn)線方程是x=7(2)拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=25y,因為p=15,所以焦點坐標(biāo)是(0,110),準(zhǔn)線方程是(3)由a>0知,p=a2,所以焦點坐標(biāo)是(a4,0),準(zhǔn)線方程是x=-【小結(jié)】1.當(dāng)拋物線方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式時,先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,第(3)小題規(guī)定“a>0”,如果去掉“a>0”,并不影響結(jié)果,表示是一樣的.2.求拋物線焦點、準(zhǔn)線方程的方法首先要將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,求出p后根據(jù)拋物線的位置寫出焦點和準(zhǔn)線方程,注意準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸垂直,垂足與焦點關(guān)于原點對稱,它們與原點的距離等于一次項系數(shù)的絕對值的14探究二:【解析】(1)∵拋物線的焦點在y軸上,并且經(jīng)過點M(3,-23),∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0).又∵點M在拋物線上,∴(3)2=-2p(-23),即p=34,∴所求方程是x2=-32y.(2)設(shè)所求的拋物線方程為y2=-2px或x2=2py(p>∵拋物線過點(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=23或p=94,故所求拋物線方程為y2=-43x或x2【小結(jié)】求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:(1)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)根據(jù)已知條件求得p;(3)得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究三:【解析】∵動點M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,∴動點M到定點(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離相等.∴動點M的軌跡是以(2,0)為焦點,x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,且p=4.∴拋物線的方程為y2=8x,此即為所求動點M的軌跡方程.[問題]上述解答完整嗎?[結(jié)論]錯解只考慮了一種情況.在此題中,(2,0)到y(tǒng)軸的距離為2,∴x軸上原點左側(cè)的點也滿足題中條件.于是,正確解答為:∵動點M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(2,0)的距離小2,∴動點M到定點(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離相等.∴動點M的軌跡是以(2,0)為焦點,x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,且p=4.∴拋物線的方程為y2=8x.又∵x軸上(0,0)點左側(cè)的點到y(tǒng)軸的距離比它到(2,0)點的距離小2,∴M點的軌跡方程為y=0(x<0).綜上,動點M的軌跡方程為y=0(x<0)或y2=8x.【小結(jié)】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷動點M到定點(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離相等是解題的關(guān)鍵.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)∵2p=6,∴p=3.又∵開口向右,∴焦點坐標(biāo)是(32,0準(zhǔn)線方程為x=-32(2)將2y2+5x=0變形為y2=-52∴2p=52,p=54,∴焦點為(-58,0),準(zhǔn)線方程為x=5(3)∵原拋物線方程為y2=1ax,∴2p=1當(dāng)a>0時,p2=14a,拋物線開口向右,焦點坐標(biāo)為(14a,0當(dāng)a<0時,p2