安徽省合肥市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研與診斷(三)數(shù)學(xué)試題

合肥四中高三學(xué)情調(diào)研與診斷（三）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（共8小題）1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集，補(bǔ)集，并集的定義判斷A，C，D；由集合間的關(guān)系判斷B.【詳解】由，則，解得：，所以，由可得，即，則，解得：，故，故B錯(cuò)誤；故A或，故A錯(cuò)誤；或，，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.若“，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為，使成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，求導(dǎo)確定最值即可求解.【詳解】若“，使成立”是假命題，則“，使成立”是真命題，即，；令，則，則在上單增，，則.故選：C.3.已知函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的定義域可排除A；證明是奇函數(shù)可排除B；當(dāng)且趨近于時(shí)，可排C，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)椋逝懦x項(xiàng)A；定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除選項(xiàng)B；當(dāng)且趨近于時(shí)，，故排除選項(xiàng)C，故選：D4.某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)t之間滿足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶超過(guò)30000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，列出方程組求得，由不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的預(yù)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，可得，所以，則，故，所以教師用戶超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)天.故選：C5.，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，比較出b和c的大??；再找中間值和，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，證明，判斷，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性判斷，于是證明，即可求得a、b、c的大小關(guān)系.【詳解】令則，顯然即單調(diào)遞減，所以，即，.令則，即在上單調(diào)遞增所以，即，所以令則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增又，所以當(dāng)時(shí)，所以，即即，又，所以，即.綜上：.故選：C.6.已知函數(shù)，給出下面三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f（x）沒(méi)有最大值，而有最小值；②函數(shù)f（x）在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，也不存在極值點(diǎn)；③設(shè)，則，其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①③ B.①② C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合函數(shù)的圖象和導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷①；由函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)法判斷②③.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，如圖所示：函數(shù)在（0，0）處的切線的斜率為，則，所以，故f（x）無(wú)最大值，當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)，作的切線，y軸右側(cè)的第一個(gè)切點(diǎn)為，則，所以f（x）有最小值，故①正確；因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，所以，即，所以在上遞減，又故②正確③錯(cuò)誤，故選：B7.已知△ABC滿足，，則△ABC面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用面積公式和余弦定理表示出三角形的面積為，根據(jù)的范圍即可討論最大面積.【詳解】設(shè)，所以，又由余弦定理得，所以，由三角形的三邊關(guān)系可得解得，所以當(dāng)時(shí)，面積有最大值為，故選：B.8.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.7 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)t為在上的零點(diǎn)，可得，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上，根據(jù)的幾何意義，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得答案.【詳解】設(shè)t為在上的零點(diǎn)，則，所以，即點(diǎn)直線，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，則，即，令，可得，因?yàn)?，所以，可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)t=0，，所以，即最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)的幾何意義，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求距離問(wèn)題，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，分析、計(jì)算難度大，屬難題.二.多選題（共4小題）9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.圖象的一條對(duì)稱軸方程是C.圖象的對(duì)稱中心是，D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象知：，所以；即，解得，所以，因?yàn)?，所以，，即，，因?yàn)?，所以?對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確．對(duì)選項(xiàng)C，令，k∈Z，解得，，所以的對(duì)稱中心是，，故C錯(cuò)誤．對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，則的定義域?yàn)镽，，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：BD10.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.是奇函數(shù) D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法，可判斷A項(xiàng)；令，可判斷B項(xiàng)；令并結(jié)合奇函數(shù)的定義可判斷C項(xiàng)；令可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以令，得，故A正確；令，得，所以，令，得，所以，故B錯(cuò)誤；令，得，又，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；令，得，又，，所以，故D正確；故選：ACD.11.任取多組正數(shù)，通過(guò)大量計(jì)算得出結(jié)論：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．若，根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是（）A. B. C.5 D.3【答案】BD【解析】【分析】利用已知結(jié)論求出的最大值進(jìn)行判斷，為此需湊出三個(gè)正數(shù)的和為定值．【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最大值為4．從而AC不可能，BD可以?。蔬x：BD．12.已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，得到，推得為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，則，可得，可得，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又由，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即時(shí)，單調(diào)遞減，由不等式，可得，即所以不等式恒成立，即恒成立，所以解集為，所以且，解得，結(jié)合選項(xiàng)，可得BC適合.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)，從而得到，證明其為偶函數(shù)，則得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.三?填空題（共4小題）.13.已知為銳角，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的正切公式求得正確答案.【詳解】由于為銳角，所以，，所以.故答案為：14.函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再結(jié)合求出即可求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因此函?shù)是以3為周期的周期函數(shù)，且，即，由，得，又，，從而，所以.故答案為：215.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由且，可求得，則，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而可求出的范圍，進(jìn)而可得的取值范圍【詳解】解：，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的取值范圍為，故答案為：16.已知函數(shù)，，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求得函數(shù)和的值域構(gòu)成的集合，結(jié)合題意，得到，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即函數(shù)的值域構(gòu)成集合，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即函數(shù)的值域構(gòu)成集合，又由，，使成立，即,則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．四?解答題（共6小題）17.計(jì)算求值：（1）；（2）已知，均為銳角，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）發(fā)掘角關(guān)系再利用誘導(dǎo)公式，降冪公式化簡(jiǎn)求值即可.（2）先將用來(lái)表示，代入，利用兩角和差公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】∵、都為銳角，∴，又，∴，，∴.18.為響應(yīng)國(guó)家“降碳減排”號(hào)召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來(lái)的歷史性機(jī)遇，決定開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不足45臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量不少于45臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)與銷售量的關(guān)系式為萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.（1）求年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為49臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利潤(rùn)最大，最大為701萬(wàn)【解析】【分析】（1）根據(jù)題目給出的函數(shù)解析式，利用收益減去成本，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，可求得最值，可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；綜上所述：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為650；當(dāng)，時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）；∴當(dāng)年產(chǎn)量為49臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利潤(rùn)最大，最大為701萬(wàn).19.在中，角的對(duì)邊分別為，向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）設(shè)的中點(diǎn)為，且，求的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）由向量共線可得到坐標(biāo)間的關(guān)系，即三角形邊角的關(guān)系式，結(jié)合余弦定理可求得的大??；（2）由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角表示，借助于三角函數(shù)單調(diào)性可求得最大值.解：（1）因?yàn)?，所?由正弦定理可得，即.由余弦定理可知.因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則在中，由，可知.由正弦定理及，有，所以，所以，從而，由，可知，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.點(diǎn)睛：本題是向量與解三角形的結(jié)合，解答題中的向量運(yùn)算以坐標(biāo)運(yùn)算為主，在解三角形問(wèn)題中常利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角，利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值，利用余弦定理由邊可求得角的大小.20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若邊的中線長(zhǎng)為，求面積的最大值.【答案】（1）的最小正周期，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)得，再由三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的肯定答案；（2）由函數(shù)解出，利用、余弦定理，結(jié)合基本不等式解出，由此利用三角形的面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，故最小正周期，由，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，即，，又，，，，當(dāng)僅時(shí)取等號(hào)，面積，面積的最大值為.21.已知函數(shù)，.（1）若存在極值，求m的取值范圍.（2）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求導(dǎo)，再對(duì)m進(jìn)行分類討論單調(diào)性，最后極值的概念求m的范圍.（2）)先討論當(dāng)時(shí)a的取值范圍,再分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值,即可得出a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增，不存在極值.當(dāng)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在存在一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).綜上所述，m的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由題知原不等式，可化為，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處有最小值1，，即，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】該題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于恒成立問(wèn)題的方法如下:(1)若，恒成立，則只需.(2)若，恒成立，則只需.(3)若，恒成立，則只需.(4)若，恒成立，則只需.(5)若，恒成立，則只需.(6)若，恒成立，則只需.(7)若，恒成立，則只需.(8)若，恒成立，則只需.22.已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性．（2）已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】（1）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；（2）（i）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對(duì)數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過(guò)分析法可知只需證即可，令，構(gòu)造函數(shù)，利用