高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題2.2 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型檢測（教師版）

專題2.2等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?洮南市校級月考）下列說法正確的是（）A．某人月收入x元不高于2000元可表示為“x＜2000” B．小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮可表示為“x＞y” C．變量x不小于a可表示為“x≥a” D．變量y不超過a可表示為“y＞a”【解題思路】某人月收入x元不高于2000元可表示為“x≤2000”，小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮可表示為“x＜y”，變量x不小于a可表示為“x≥a”，變量y不超過a可表示為“y≤a”．【解答過程】解：由題意知，某人月收入x元不高于2000元可表示為“x≤2000”，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮可表示為“x＜y”，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；變量x不小于a可表示為“x≥a”，故選項(xiàng)C正確；變量y不超過a可表示為“y≤a”，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．2．（3分）（2022?義烏市模擬）已知實(shí)數(shù)a，b，a＞0，b＞0，則“a+b＜2”是“a＜A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】從充分性和必要性兩個(gè)角度分別判斷即可得出結(jié)論．【解答過程】解：∵a＞0，b＞0，a+b＜2，∴0＜a＜2﹣b，則a＜若a＜2?b，則兩邊同時(shí)平方可得，a＜2﹣b，即a+b＜∴“a+b＜2”是“a＜故選：C．3．（3分）（2022秋?南昌月考）若ab＞0，且a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．1a＞1b C．ba【解題思路】舉反例a＝﹣1，b＝﹣2可判斷ABD錯(cuò)誤，利用基本不等式可判斷C正確．【解答過程】解：對于A，若a＝﹣1，b＝﹣2，則a2＜b2，故A錯(cuò)誤，對于B，若a＝﹣1，b＝﹣2，則1a＜1對于C，∵ab＞0，∴ba＞0，ab＞0∴ba+ab對于D，若a＝﹣1，b＝﹣2，則a+b2＜ab故選：C．4．（3分）（2021秋?張掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)，b大小不確定【解題思路】利用作差法得到a﹣b＝﹣x2﹣4x﹣5，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答過程】解：∵a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，∴a﹣b＝（x+1）（x+3）﹣2（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣[（x+2）2+1]＜0，∴a＜b，故選：B．5．（3分）（2021秋?洪山區(qū)校級月考）如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖（2）是一個(gè)矩形，從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種關(guān)系用含字母a，b（a≠b）的不等式表示出來（）A．12(a2+C．12(a2【解題思路】利用三角形的面積計(jì)算公式、矩形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，面積S1=12a2+1圖（2）是一個(gè)矩形，面積S2＝ab．可得：12（a2+b2）＞ab（a≠b故選：A．6．（3分）（2022?連云區(qū)校級開學(xué)）設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，x＝a2﹣2b+π3，y＝b2﹣2c+π6，z＝c2﹣2a+π2，則A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0【解題思路】求出x+y+z，再利用反證法假設(shè)x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，推出x+y+z的值大于0，出現(xiàn)矛盾，從而得到假設(shè)不正確，即可求解．【解答過程】解：∵x+y+z＝a2﹣2b+π3+b2﹣2c+π6+c2﹣2a+π2=（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1假設(shè)x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，根據(jù)同向不等式的可加性可得x+y+z≤0①，又x+y+z＞0與①式矛盾．所以假設(shè)不成立，即原命題的結(jié)論x，y，z中至少有一個(gè)大于0．故選：A．7．（3分）（2021秋?河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，則xx?2yA．（110，14） B．（14，23） C．（15，1） D【解題思路】把xx?2y變形為1【解答過程】解：xx?2y∵2＜x＜4，∴14又﹣3＜y＜﹣1，∴2＜﹣2y＜6，∴12＜則32＜1?故選：B．8．（3分）（2022春?海淀區(qū)校級期末）若a、b為實(shí)數(shù)，則下列命題正確（）A．若a＞b且ab≠0則1aB．若a＞b且ab≠0，則baC．若a＞b＞0，則a+1D．若a＞b，則a（a2+b2）＞b（a2+b2）【解題思路】取反例即可判斷選項(xiàng)ABC的正誤；對于D，易知a2+b2＞0，再由不等式的性質(zhì)可判斷．【解答過程】解：對于A，取a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b且ab≠0，但此時(shí)1a＞1對于B，取a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b且ab≠0，但此時(shí)ba=a對于C，取a=1，b=12，滿足a＞b＞0，但此時(shí)對于D，由于a＞b，則a2+b2＞0，于是a（a2+b2）＞b（a2+b2），故選項(xiàng)D正確．故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?朝陽月考）已知P＝a2+b2，Q＝2ab，R=(a+b)A．P≥R B．Q≥R C．P≤R D．P≥Q【解題思路】利用作差法可比較出大?。窘獯疬^程】解：P﹣R＝a2+b2?(a+b)則P≥R，故A正確，C錯(cuò)誤，R﹣Q=(a+b)22?所以R≥Q，故B錯(cuò)誤，因?yàn)镻≥R，R≥Q，所以P≥Q，故D正確，故選：AD．10．（4分）（2021秋?大同期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中，p是q的充分不必要條件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3 B．p：x＞3，q：x＞2 C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5 D．p：a＞b＞0，m＞0，q：b【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)判斷A，利用子集思想結(jié)合充分必要條件的定義判斷B，利用舉實(shí)例判斷CD．【解答過程】解：對于A，∵x＞y?x3＞y3，∴p是q的充分必要條件，∴A錯(cuò)誤，對于B，∵（﹣∞，3）?（﹣∞，2），∴x＞3是x＞2的充分不必要條件，∴B正確，對于C，當(dāng)2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1時(shí)，則2＜2a+b＜5成立，反之，當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，滿足2＜2a+b＜5，∴p是q的充分不必要條件，∴C正確，對于D，當(dāng)a＞b＞0，m＞0時(shí)，則b+ma+m?ba反之，當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣1，m＝3時(shí)，b+ma+m=2，ba=12，滿足b+ma+m故選：BCD．11．（4分）（2021秋?儀征市校級月考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，則（）A．x的取值范圍為（﹣1，2） B．y的取值范圍為（﹣2，1） C．x+y的取值范圍為（﹣3，3） D．x﹣y的取值范圍為（﹣1，3）【解題思路】根據(jù)﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，分別求出各選項(xiàng)中參數(shù)的范圍即可．【解答過程】解：﹣3＜x+2y＜2，﹣2＜4x﹣2y＜8，則﹣5＜5x＜10，即﹣1＜x＜2，故A正確；﹣4＜﹣2x﹣4y＜6，﹣1＜2x﹣y＜4，即﹣5＜﹣5y＜10，故﹣2＜﹣5y＜1，故B正確；x+y=3(x+2y)+(2x?y)5∈（﹣2，2x?y=?(x+2y)+3(2x?y)5∈（﹣1故選：ABD．12．（4分）（2022?沈河區(qū)校級模擬）下列說法正確的是（）A．若a＞b＞0，則1aB．若a＞b＞0，m＞0，則b+ma+mC．a(chǎn)＞b＞0，則a3﹣b3＞a2b﹣ab2 D．若a＞b＞0，則ac2＞bc2【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合作差法，以及特殊值法，即可求解．【解答過程】解：對于A，∵a＞b＞0，∴1a?1b=對于B，∵a＞b＞0，m＞0，∴b+ma+m?b對于C，∵a＞b＞0，∴a3﹣b3﹣a2b+ab2＝a2（a﹣b）+b2（a﹣b）＞0，故C正確，對于D，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?和碩縣校級月考）用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于216m2，靠墻的一邊長為xm，其中的不等關(guān)系可用不等式（組）表示為0＜x?18【解題思路】由條件，可知0＜x?18，然后根據(jù)菜園的面積不小于216，可得x?【解答過程】解：由條件，可知0＜x?18，因?yàn)橐蟛藞@的面積不小于216，所以x?30?x2故答案為：0＜14．（4分）（2021秋?清遠(yuǎn)期末）已知M＝a2+4a+1，N=2a?12，則M【解題思路】直接利用作差法比較代數(shù)式的大小關(guān)系．【解答過程】解：已知M＝a2+4a+1，N=2a?則M﹣N=a2故M＞N．故答案為：＞．15．（4分）（2021秋?鎮(zhèn)江期中）已知0＜α＜π2，π2＜β＜π，則2α?β3的取值范圍是【解題思路】首先，確定2α與?β3的范圍，然后求解2α【解答過程】解：∵0＜α＜π∴0＜2α＜π，∵π2＜β＜∴?π∴?π3＜2故答案為：（?π3，16．（4分）（2022春?安康期末）若a、b、c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是②．（填序號）①若a＞b，c＞d，則ac＞bd②若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2③若a＜b＜0，則1④若a＜b＜0，則b【解題思路】對于①，只有當(dāng)a＞b＞0，c＞d＞0時(shí)才成立；對于②③由不等式性質(zhì)可判斷正誤；對于④作差，通分可得到結(jié)果．【解答過程】解：對于①，只有當(dāng)a＞b＞0，c＞d＞0時(shí)，不等式才成立；對于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，b2＜ab由不等式的傳遞性得到：a2＞ab＞b2，故②正確；③中f(x)=1x在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，因?yàn)閍＜b＜0得f（a）＞f（故得到：1a＞1又ba?ab=b2∴(b+a)(b?a)ab＜0，∴b故答案為：②．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）用不等式表示下列不等關(guān)系：（1）某段高速公路規(guī)定機(jī)動(dòng)車限速80km/h至120km/h；（2）x的5倍與7的差大于3；（3）bg糖水中有ag糖，若再添上mg糖，則糖水變甜了．【解題思路】（1）根據(jù)某段高速公路規(guī)定機(jī)動(dòng)車行駛最快速度和最慢速度列出不等式；（2）先求倍數(shù)后求差；（3）bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），濃度發(fā)生了變化，只要分別計(jì)算出添糖前后的濃度進(jìn)行比較即得．【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，得80≤v≤120；（2）根據(jù)題意，得5x﹣7＞3；（3）∵bg糖水中有ag糖，糖水的濃度為：abbg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），則糖水的濃度為：a+mb+m又糖水變甜了，說明濃度變大了，∴ab18．（6分）下面是甲、乙、丙三位同學(xué)做的三個(gè)題目，請你看看他們做得對嗎？如果不對，請指出錯(cuò)誤的原因．甲：因?yàn)椹?＜a＜8，﹣4＜b＜2，所以﹣2＜a﹣b＜6．乙：因?yàn)?＜b＜3，所以13又因?yàn)椹?＜a＜8，所以﹣2＜ab丙：因?yàn)?＜a﹣b＜4，所以﹣4＜b﹣a＜﹣2．又因?yàn)椹?＜a+b＜2，所以0＜a＜3，﹣3＜b＜0，所以﹣3＜a+b＜3．【解題思路】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答過程】解：甲乙丙做的都不對，甲同學(xué)做的不對．因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有?，但不能相減，甲同學(xué)對同向不等式求差是錯(cuò)誤的．乙同學(xué)做的不對．因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變，由﹣6＜a＜8．不明確a值的正負(fù)．故不能將13＜1b＜12丙同學(xué)做的不對．同向不等式兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形．丙同學(xué)將2＜a﹣b＜4與﹣2＜a+b＜2兩邊相加得0＜a＜3，又將﹣4＜b﹣a＜﹣2與﹣2＜a+b＜2兩邊相加得出﹣3＜b＜0，又將該式與0＜a＜3兩邊相加得出﹣3＜a+b＜3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a+b范圍的擴(kuò)大．19．（8分）（2021秋?碭山縣校級月考）（1）試比較（x+1）（x+5）與（x+3）2的大??；（2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范圍．【解題思路】（1）用作差法可解決此題；（2）根據(jù)不等式性質(zhì)可解決此問題．【解答過程】解：（1）因?yàn)椋▁+1）（x+5）﹣（x+3）2＝x2+6x+5﹣x2﹣6x﹣9＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2；（2）令5a+b＝λ（2a+b）+μ（a﹣b）＝（2λ+μ）a+（λ﹣μ）b．∴2λ+μ=5，λ?μ=1，解得λ=2，μ=1，∴5a+b＝2（2a+b）∵﹣1＜2a+b＜2，∴﹣2＜2（2a+b）＜4．又3＜a﹣b＜4，∴1＜2（2a+b）+（a﹣b）＜8．故5a+b的取值范圍為（1，8）．20．（8分）（2021秋?華龍區(qū)校級月考）（1）a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，其中x，y均為正實(shí)數(shù)，比較a，b的大?。唬?）證明：已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，求證：ca?c【解題思路】（1）利用作差法判斷即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算即可得證．【解答過程】（1）解：因?yàn)閍＝x3+y3，b＝x2y+xy2，則a﹣b＝x3+y3﹣（x2y+xy2）＝x3+y3﹣x2y﹣xy2＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y），因?yàn)閤＞0，y＞0，所以x+y＞0，（x﹣y）2≥0，所以a﹣b≥0，即a≥b．（2）證明：因?yàn)閍＞b＞c，且a+b+c＝0，所以a＞0，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c＞0，所以0＜1所以ca?c21．（8分）（2021秋?天元區(qū)校級月考）甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走向同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，問甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？【解題思路】設(shè)出總路程和甲