高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題3.3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講1．橢圓的范圍設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍.(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.

(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．橢圓的對(duì)稱性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫作橢圓的中心.3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)為例.

(1)頂點(diǎn)

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

這說(shuō)明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓與它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).

(2)長(zhǎng)軸、短軸

線段，分別叫作橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.

長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a，短軸長(zhǎng)=2b，a和b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫(huà)了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.5．橢圓的幾何性質(zhì)的挖掘(1)橢圓的通徑：過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑，通徑長(zhǎng)為=.

說(shuō)明：無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，橢圓的通徑長(zhǎng)均為.

(2)橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).(3)橢圓的焦半徑

a.焦半徑定義：橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑.

b.焦半徑公式：

已知點(diǎn)P在橢圓上，且，分別是左(下)、右(上)焦點(diǎn)，

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，=a+，=a-；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，=a+，=a-.【題型1利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【方法點(diǎn)撥】(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：a.確定焦點(diǎn)的位置；b.設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；c.根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù).列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有，e=等.(2)在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè).【例1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C:x2a2+y2A．x22+y2=1 B．x【變式1-1】（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13，A1,A．x218+y216=1 B．【變式1-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，離心率為35的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

A．x2100+C．x225+【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為32，且過(guò)點(diǎn)2,0的橢圓方程是（

A．x24+y2C．x24+y2【題型2橢圓的焦距與長(zhǎng)軸、短軸】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的焦距與長(zhǎng)軸、短軸等知識(shí)，進(jìn)行求解即可.【例2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓C:x216A．8，4，(±23,0) B．8，4，(0,±23) C．4，2，(±23,0) 【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓x2+2y2=2A．有相同的長(zhǎng)軸與短軸 B．有相同的焦距C．有相同的焦點(diǎn) D．有相同的離心率【變式2-2】（2021·重慶市高二階段練習(xí)）橢圓x237+A．23 B．5 C．43 【變式2-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓x225+y2A．有相等的長(zhǎng)軸長(zhǎng) B．有相等的焦距C．有相等的短軸長(zhǎng) D．長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之比相等【題型3求橢圓的離心率或其取值范圍】【方法點(diǎn)撥】求橢圓的離心率通常有如下兩種方法：①若給定橢圓的方程，則根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置確定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若橢圓方程未知，則根據(jù)條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關(guān)系式，化為a，c的齊次方程，得出a，c的關(guān)系或化為e的方程求解，此時(shí)要注意e∈(0,1).【例3】（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）已知橢圓C:x2m+yA．55 B．12或55 C．12或32【變式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若橢圓C:x2a2+y2A．0,55 B．55,1 C．【變式3-2】（2022·江西省高二階段練習(xí)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)MA．24 B．12 C．62【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上存在點(diǎn)A．0,14 B．14,1 C．【題型4根據(jù)橢圓的離心率求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)橢圓的離心率和已知條件及幾何圖形建立a，b，c，e滿足的關(guān)系式，得出含有參數(shù)的有關(guān)a，c的關(guān)系式或化為e的方程，即可求解，此時(shí)要注意e∈(0,1).【例4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若橢圓x2a2+y2=1(a>0)A．2 B．12 C．2或22 D．2【變式4-1】（2022·甘肅定西·高二開(kāi)學(xué)考試（理））如果橢圓x2k+8+y29=1(k>?8)A．4 B．4或?54 C．?45 【變式4-2】（2021·甘肅·高二階段練習(xí)（理））“m=8”是“橢圓x2m+y2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)e是橢圓x2k+y2A．0,3 B．3,C．0,2 D．0,3【題型5橢圓中的最值問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】求解此類問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.【例5】（2020·廣西·高二階段練習(xí)（文））若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：x29+y2b2=1b>0A．1 B．2 C．3 D．6【變式5-2】（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C:x24+yA．2 B．23 C．4 D．【變式5-3】（2022·河南洛陽(yáng)·三模（理））已知點(diǎn)M是橢圓C：x24+y23=1上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為MF1A．1 B．2 C．3 D．2【題型6橢圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】對(duì)于橢圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合具體條件建立坐標(biāo)系，得出橢圓的基本量或基本量之間的關(guān)系，利用橢圓的性質(zhì)進(jìn)行求解，注意要滿足實(shí)際情況.【例6】（2021春?浙江期中）如圖所示，一個(gè)圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個(gè)乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計(jì)），一個(gè)平面與兩個(gè)乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率為（）A．154 B．32 C．26【變式6-1】（2021春?山東期末）國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于?5A．34 B．58 C．74【變式6-2】（2021·江蘇南通·高二期中）某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長(zhǎng)1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個(gè)橢圓形狀（如圖所示