高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題4.12 數(shù)學(xué)歸納法（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）（學(xué)生版）

專題4.12數(shù)學(xué)歸納法（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）【人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+?+1A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k?1項(xiàng) D．22．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+???+n2A．k2+12 B．k2+1 3．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，用f(n)表示這n個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系為（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n?14．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n?2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將A．55k?C．5?25k?5．（3分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n>1324A．增加了一項(xiàng)1B．增加了兩項(xiàng)12k+1，C．增加了兩項(xiàng)12k+1，12(k+1)D．增加了一項(xiàng)12(k+1)，又減少了一項(xiàng)6．（3分）（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋n(n?1)2d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，則Sk＝（

A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k?1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)7．（3分）（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）對(duì)于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）當(dāng)n＝1時(shí)，12（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即k2+k＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法（

）A．過程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確8．（3分）（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”，在假設(shè)A．3×7k+6 B．3×7k+1+6二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于不等式n2+n≤n+1n∈N?，某同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)n=1時(shí)，12+1≤1+1，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈NA．過程全部正確 B．n=1時(shí)證明正確C．過程全部不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確10．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=kk∈N?時(shí)命題成立，則可得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，若已知當(dāng)n=5A．當(dāng)n=4時(shí)，命題不成立B．當(dāng)n=1時(shí)，命題可能成立C．當(dāng)n=6時(shí)，命題不成立D．當(dāng)n=6時(shí)，命題可能成立也可能不成立，但若當(dāng)n=6時(shí)命題成立，則對(duì)任意n≥6，命題都成立11．（4分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明2n?12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．412．（4分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選題）數(shù)列an滿足an+1=?anA．0<B．a(chǎn)C．對(duì)任意正數(shù)b，都存在正整數(shù)m使得11?D．a(chǎn)三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為.14．（4分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時(shí)，用到f(k＋1)＝f(k)＋15．（4分）（2022·遼寧·高二期中）證明不等式1+12+13+14+?+1216．（4分）（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+?+2n?1=（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋?＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k＝1?2k+11?2＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由此可知對(duì)于任何n∈N*，等式都成立.上述證明的錯(cuò)誤是四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1218．（6分）（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)n,419．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．20．（8分）（2022·河南南陽·高二期末（理））設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng)為4，滿足a(1)求a2，a(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．21．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里？（1）求證：當(dāng)n∈N?時(shí)，n=n+1．證明：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時(shí)，等式成立，即k=k+1．則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=k+1=(k+1)+1=右邊．所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由此得出，對(duì)任何n∈N?，等式n=n+1都成立．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn證明，①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S1=a②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時(shí)，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面兩式相加并除以2，可得Sk+1即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由①②可知，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是S22．（8分）（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）漢諾塔問題是源于印度一個(gè)古老傳說的益智游戲.這個(gè)游戲的目的是將圖（1）中按照直徑從小到大依次擺放在①號(hào)塔座上的盤子，移動(dòng)到③號(hào)塔座上，在移動(dòng)的過程中要求：每次只可以移動(dòng)一個(gè)盤子，并且保證任何一個(gè)盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個(gè)直徑不同的盤子從①號(hào)塔座移動(dòng)到③號(hào)塔座所需要的最少次數(shù)為an.（1）試寫出a1，a2，a