2022年廣西欽州市東場(chǎng)中考數(shù)學(xué)模擬試卷含解析及點(diǎn)睛

2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1->/16=（）

A.±4B.4C.±2D.2

2.下列計(jì)算正確的是()

A.2x-x=l

C.(m-n)2=m2-n2

3.如圖圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

D?翅

x,X,

4.設(shè)XI,X2是方程好-2%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則二■+」的值是（）

x,x2

A.-6B.-5C.-6或-5D.6或5

5.下列說法正確的是（）

A.“買一張電影票，座位號(hào)為偶數(shù)”是必然事件

B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為S甲2=O.3,SY=o.i,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

C.一組數(shù)據(jù)2,4,5,5,3,6的眾數(shù)是5

D.一組數(shù)據(jù)2,4,5,5,3,6的平均數(shù)是5

6.如圖，AB//CD,CE交AB于俄E，族平分ZBEC,交CO于尸.若NECF=50。，則NCFE的度數(shù)為

()

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kix+2（k#0）與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=4在第

X

二象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C,連接OC,若SAOBC=LtanNBOC=g,則k2的值是（）

2

8.如圖1,在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā),沿AB^BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E做尸E_LAE,

交Q9于尸點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x,FC=y,如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在8c上運(yùn)

9.如圖，等腰直角三角形的頂點(diǎn)A、C分別在直線a、b±,若2〃》Zl=30°,則N2的度數(shù)為（）

A.30°B.15°C.10°D.20°

10.計(jì)算（ab2）3的結(jié)果是（）

A.ab5B.ab6C.a3bsD.a3b6

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.方程77三=2的解是.

12.已知函數(shù)y=k-x-2|,直線y=kx+4恰好與y=k-x-2|的圖象只有三個(gè)交點(diǎn)，則k的值為.

13.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向60。，距離燈塔為4海里的點(diǎn)A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的

正東位置，海輪航行的距離AB長海里.

▲北

B

14.如圖，在RSAOB中，ZAOB=90°,OA=3,OB=2,將RtAAOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得RtAFOE,將

線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得線段ED,分別以O(shè),E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,

則圖中陰影部分面積是.

D

15.如圖，邊長為6的菱形ABCD中，AC是其對(duì)角線，ZB=60°,點(diǎn)P在CD上，CP=2,點(diǎn)M在AD上，點(diǎn)N在

AC上，則4PMN的周長的最小值為.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ADEF可以看作是△ABC經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))得

到的，寫出一種由△ABC得到ADEF的過程：.

17.(8分)問題探究

(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC邊上存在點(diǎn)P,使AAPD為等腰三角形，那么請(qǐng)畫出滿足

條件的一個(gè)等腰三角形4APD,并求出此時(shí)BP的長;

(2)如圖②，在△ABC中，ZABC=60°,BC=12,AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6

時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q,使NEQF=90。，求此時(shí)BQ的長;

問題解決

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用

來監(jiān)視邊AB,現(xiàn)只要使NAMB大約為60。，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=4（）0m,ED=285m,CD=340m,問在線段CD上是否存在點(diǎn)M,使NAMB=6（）。？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM

的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.（8分）（1）計(jì)算：卜3|+（石+n）1）-2-2cos60°；

⑵先化簡(jiǎn)‘再求值―"磬

19.（8分）如圖1,NBAC的余切值為2,AB=2不，點(diǎn)D是線段A3上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)

D為頂點(diǎn)的正方形。EFG的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線AC上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)BG,并延長BG,交射

線EC于點(diǎn)P.

（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列的線段和角中，_______是始終保持不變的量（填序號(hào)）；

①AE；②FP；③BP；④NBDG；⑤NGAC；⑥NBPA；

（2）設(shè)正方形的邊長為x,線段AP的長為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（3）如果APFG與AAFG相似，但面積不相等，求此時(shí)正方形的邊長.

20.（8分）一名在校大學(xué)生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)10元/件，已知銷售價(jià)不低于

成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于16元/件，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量曠（件）與銷售價(jià)x

（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.求）'與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量K的取值范圍；求每天的銷售利潤W

（元）與銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多

少？

2（件）

~dio_16~t件）

21.（8分）二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且a,l）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表

X-1113

y-1353

下列結(jié)論：

①ac<l；

②當(dāng)x>l時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.

③3是方程ax2+（b-1）x+c=l的一個(gè)根；

④當(dāng)-1<XV3時(shí)，ax2+（b-1）x+c>l.

其中正確的結(jié)論是一.

22.（10分）已知二次函數(shù)y=ox2-2or-2（aH0）.

（1）該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是；

（2）若該二次函數(shù)的圖象開口向上，當(dāng)-1W5時(shí)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為",

2

求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)4（石,,），B?,%），設(shè)，+當(dāng)々23時(shí)，均有弘之必，請(qǐng)結(jié)合圖象,

直接寫出f的取值范圍.

23.（12分）己如：OO與。。上的一點(diǎn)A

（1）求作：。。的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）

（2）連接CE,BF,判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由.

24.已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在AB,CD邊上，BE=DF,連接CE,AF.求證：AF=CE.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解析】

J1石表示16的算術(shù)平方根，為正數(shù)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).

【詳解】

解：V16=4，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根，本題難點(diǎn)是平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系，一個(gè)正數(shù)算術(shù)平方根有一個(gè)，而平方根有兩

個(gè).

2、D

【解析】

根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)塞的乘法的性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】

解：A、2x-x=x,錯(cuò)誤；

B、x2*x3=x5,錯(cuò)誤；

C、(m-n)2=m2-2mn+n2,錯(cuò)誤；

D、(-xy3)2=x2y6,正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】

考查了整式的運(yùn)算能力，對(duì)于相關(guān)的整式運(yùn)算法則要求學(xué)生很熟練，才能正確求出結(jié)果.

3、A

【解析】

A.是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

B.是中心對(duì)稱圖，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.不是中心對(duì)稱圖，是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。

故選A.

4、A

【解析】

試題解析：???xi,X2是方程x2-2x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.,.XI+X2=2,xrx2="l

.々+X](%+*2)2—2%14+2

々X1%2X\X2-1

故選A.

5,C

【解析】

根據(jù)確定性事件、方差、眾數(shù)以及平均數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：A、“買一張電影票，座位號(hào)為偶數(shù)”是隨機(jī)事件，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為2=0.3,S/=(M,則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、一組數(shù)據(jù)2,4,5,5,3,6的眾數(shù)是5,此選項(xiàng)正確；

25

D、一組數(shù)據(jù)2,4,5,5,3,6的平均數(shù)是丁，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了必然事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條

件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件

下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

6、D

【解析】

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)求得NBEC的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)即可求得NCFE的度數(shù).

詳解：

NECF=50。,AB//CD

：.NEb+NBEC=180

N3EC=130°

又TEF平分NBEC,

NCEF=NBEF=-ZBEC=65'.

2

故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

7、C

【解析】

如圖，作CHLy軸于H.通過解直角三角形求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問題.

【詳解】

,:LOBCH=1,

2

/.CH=1,

..,CH1

?tanNBOC=-----=一,

OH3

AOH=3,

：.C(-1,3),

把點(diǎn)C(-1,3)代入y=8,得到k2=-3,

x

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)于一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三

角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

8、B

【解析】

CFCE

易證ACFEsZiBEA,可得==二百，根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得E在5c中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值，列出方程式即

BEAB

可解題.

【詳解】

若點(diǎn)E在8C上時(shí)，如圖

D_________FC

a

AB

VZEFC+ZAEB=90°,NFEC+NEFC=9Q°,

：.ZCFE=ZAEB,

\?在△?？?和4BEA中，

NCFE=NAEB

NC=N8=90°，

:.△CFEs^BEA,

5

x

CFCE5cmy~2

由二次函數(shù)圖象對(duì)稱性可得E在8C中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值，此時(shí)—9BE—CE—x~，即--仁,

BEAB255

X—

22

:.y=—（X--）2,

52

237

當(dāng)時(shí)，代入方程式解得：處=5（舍去），x2=~,

5

：.BE=CE=1,：.BC=2,AB=~,

2

二矩形ABCD的面積為2x-=5；

2

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)問題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了矩形面積的計(jì)算，本題中由圖象得出E為3c

中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

9、B

【解析】

分析：由等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出ZACD=60°,即可得出N2的度數(shù).

詳解：如圖所示：

VAABC是等腰直角三角形，

.,.ZBAC=90°,ZACB=45°,

AZl+ZBAC=30o+90°=120°,

?；a〃b,

.,.ZACD=180°-120°=60°,

oo

二Z2=ZACD-ZACB=60-45°=15;

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)求出

ZACD的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

10、D

【解析】

試題分析：根據(jù)積的乘方的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然后直接選取答案即可.

試題解析：(ab2)3=a3?(b2)3=a3bl.

故選D.

考點(diǎn)：幕的乘方與積的乘方.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11、x=l

【解析】

將方程兩邊平方后求解，注意檢驗(yàn).

【詳解】

將方程兩邊平方得x-3=4,

移項(xiàng)得:x=L

代入原方程得萬b=2,原方程成立，

故方程Jx—3=2的解是x=l.

故本題答案為：x=l.

【點(diǎn)睛】

在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，解得答案時(shí)一定要注意代入原方程檢驗(yàn).

12、1-1夜或-1

【解析】

直線y=kx+4與拋物線y=-xi+x+l(-lWxWl)相切時(shí)，直線y=kx+4與y=k-x-l|的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，即-x1+x+l=kx+4

有相等的實(shí)數(shù)解，利用根的判別式的意義可求出此時(shí)k的值，另外當(dāng)y=kx+4過(1,0)時(shí)，也滿足條件.

【詳解】

解：當(dāng)y=0時(shí),x'-x-l=0,解得xi=-Lxi=l,

則拋物線y=xLx-l與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),(1,0),

把拋物線y=x,-x-l圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，

則翻折部分的拋物線解析式為y=-x'+x+l(-1<X<1),

當(dāng)直線y=kx+4與拋物線y=-x1+x+l(-1<X<1)相切時(shí)，

直線y=kx+4與函數(shù)y=|xi-x-l|的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，

即-x1+x+l=kx+4有相等的實(shí)數(shù)解，整理得x1+(k-1)x+l=0,A=(k-1)'-8=0,

解得k=l±10,

所以k的值為1+1血■或1-1歷.

當(dāng)k=l+10時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-0<-l不符合題意，舍去.

當(dāng)丫=1?+4過(1,0)時(shí)，k=-l,也滿足條件，

故答案為1-175或-I.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：翻折變化不改變圖形的大小，故|a|不變，利用頂點(diǎn)式即可求得翻折后的二次函數(shù)

解析式；也可利用絕對(duì)值的意義，直接寫出自變量在-IWxWl上時(shí)的解析式。

13、1

【解析】

分析：首先由方向角的定義及已知條件得出NNPA=60。，AP=4海里，ZABP=90°,再由AB〃NP,根據(jù)平行線的性質(zhì)

得出NA=NNPA=60。.然后解RtAABP,得出AB=AP?cosZA=l海里.

詳解：如圖，由題意可知NNPA=60。，AP=4海里，ZABP=90°.

VAB/7NP,

.?.NA=NNPA=60°.

在RtAABP中，VZABP=90°,NA=60°,AP=4海里,

AB=AP?cosZA=4xcos60°=4x—=1海里.

2

故答案為1.

點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義是解題

的關(guān)鍵.

14、8-7T

【解析】

分析：

如下圖，過點(diǎn)D作DH_LAE于點(diǎn)H,由此可得NDHE=NAOB=90。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得DE=EF=AB,OE=BO=2,

OF=AO=3,ZDEF=ZFEO+ZDEH=90°,ZABO=ZFEO,結(jié)合NABO+NBAO=90?？傻肗BAO=NDEH,從而可證

得ADEH0Z\BAO,即可得到DH=BO=2,再由勾股定理求得AB的長，即可由S陰影=SAOF+SAOEF+SAADE-SS?DEF

即可求得陰影部分的面積.

詳解：

如下圖，過點(diǎn)D作DH_LAE于點(diǎn)H,

.,.ZDHE=ZAOB=90°,

VOA=3,OB=2,

AB=J32+2?=-713?

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合已知條件易得：DE=EF=AB=JI5，OE=BO=2,OF=AO=3,ZDEF=ZFEO+ZDEH=90°,

ZABO=ZFEO,

又；ZABO+ZBAO=90°,

.".ZBAO=ZDEH,

.,.△DEH^ABAO,

.,.DH=BO=2,

S陰影=SmAOF+SAOEE+SAADE-S南形DEF

_Wx3290萬x（屈）2

H—x3x2H—x5x2一

36022360

二8一".

故答案為：8—zr.

F

點(diǎn)睛：作出如圖所示的輔助線，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得△DEH^^BAO,由此得至IJDH=BO=2,從而將陰影部分的面積

轉(zhuǎn)化為：S陰影=S扇彩AOF+SAOEF+SAADE-S南形DEF來計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵.

15>2721

【解析】

過P作關(guān)于AC和AD的對(duì)稱點(diǎn)，連接6和鳥，過P作鳥C_L8C,q和鳥，M,N共線時(shí)最短，根據(jù)對(duì)稱性得知

△PMN的周長的最小值為［6.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，AD是對(duì)角線，可以求得NOb=60。，根據(jù)特殊三角形

函數(shù)值求得CF=1,PF=6，PE=26,再根據(jù)線段相加勾股定理即可求解.

【詳解】

過P作關(guān)于AC和AD的對(duì)稱點(diǎn)，連接匕和鳥，過P作6cJ_BC,

???四邊形ABCD是菱形，AD是對(duì)角線,

NB=NBAC=ZBCA=ZDCA=ZDAC=ND=60°，

???ZBCD+NDC尸=180°,

ZDCF=180°-l20°=60°,

CFPF

—=cos60°,—=sin60°

CPCP

CF=1,PF=6

PE

?;PD=CD—CP=4,—=sin60°

PD

PE=2G

又由題意得PE=gE,gP=PE+=4上

：.FP2=FP+PP2=5上

-,P}F=PXC+CF^3

???優(yōu)=J(咐)2+(R)2=2。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)稱性質(zhì)，菱形性質(zhì)，內(nèi)角和定理和勾股定理，熟悉掌握定理是關(guān)鍵.

16、平移，軸對(duì)稱

【解析】

分析：根據(jù)平移的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到由4OCZ)得到AAOB的過程.

詳解：△ABC向上平移5個(gè)單位，再沿y軸對(duì)折，得到AOEV,

故答案為：平移，軸對(duì)稱.

點(diǎn)睛：考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移，軸對(duì)稱，解題時(shí)需要注意：平移的距離等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的長度，對(duì)稱軸為

對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，旋轉(zhuǎn)角為對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角的大小.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)1；2-77;幣;(1)4+^/3；(4)(200-25百-400)米.

【解析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可

解決問題.

(1)以EF為直徑作。O,易證。O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過添加輔助線，借助于正方

形、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)即可求出BQ長.

(4)要滿足NAMB=40。，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然

后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，就可算出符合條件的DM長.

【詳解】

(1)①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P,如圖①，

貝！JPA=PD.

.'.△PAD是等腰三角形.

?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AB=DC,ZB=ZC=90°.

VPA=PD,AB=DC,

RtAABPgRtADCP(HL).

.\BP=CP.

VBC=2,

.,.BP=CP=1.

②以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，，如圖①,

則DA=DPf.

4:D

BP'P-P"C

國①

...△P&D是等腰三角形.

?四邊形ABCD是矩形，

.,.AD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

/.DC=4,DPr=2.

.?.CP."-32=77.

.?.BP，=2-77.

③點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P”,如圖①,

則AD=AP".

.?.△P"AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=V7.

綜上所述：在等腰三角形AADP中,

若PA=PD,則BP=1；

若DP=DA,貝!|BP=2-V7；

若AP=AD,貝!|BP="

(1)VE,F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，

，EF〃BC,EF=-BC.

2

VBC=lb

.\EF=4.

以EF為直徑作。O,過點(diǎn)。作OQ_LBC,垂足為Q,連接EQ、FQ,如圖②.

圖②

VAD±BC,AD=4,

.?.EF與BC之間的距離為4.

.*.OQ=4

.*.OQ=OE=4.

二。0與BC相切，切點(diǎn)為Q.

??,EF為。O的直徑，

:.ZEQF=90°.

過點(diǎn)E作EGJ_BC,垂足為G,如圖②.

VEG±BC,OQ±BC,

.?.EG〃OQ.

VEO/7GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,

???四邊形OEGQ是正方形.

.,.GQ=EO=4,EG=OQ=4.

VZB=40°,NEGB=90。，EG=4,

-,.BG=73.

...BQ=GQ+BG=4+G

...當(dāng)NEQF=90。時(shí)，BQ的長為4+6.

(4)在線段CD上存在點(diǎn)M,使NAMB=40。.

理由如下：

以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG,

作GP_LAB,垂足為P,作AK_LBG,垂足為K.

設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑作。O,

過點(diǎn)O作OH_LCD,垂足為H,如圖③.

,.,△ABG是等邊三角形，GP±AB,

1

.?.AP=PB=-AB.

2

VAB=170,

；.AP=145.

VED=185,

.?.OH=185-145=6.

ABG是等邊三角形，AK±BG,

.?,ZBAK=ZGAK=40°.

.,.OP=AP?tan40°

=145X@

3

=253

.".OA=lOP=90V3.

.*.OH<OA.

...(DO與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M,連接MA、MB,如圖③.

:.NAMB=NAGB=40。，OM=OA=9073..

VOH±CD,OH=6,OM=905

???HM=yJoM2-OH2=7(9OV3)2-1502=40夜.

VAE=200,OP=25百，

.,.DH=200-25V3.

若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM=DH+HM=200-2573+4072.

：200-256+4()&>42(),

.\DM>CD.

.,.點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去.

若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DM=DH-HM=200-25G-40&.

V200-2573-4072<420,

.,.DMVCD.

...點(diǎn)M在線段CD±.

綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M,使NAMB=40。，

此時(shí)DM的長為(200-25石-40&)米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周

角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，考查了操作、探

究等能力，綜合性非常強(qiáng).而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵.

18、(1)-1；(2)_26+18^?..

7

【解析】

(1)根據(jù)零指數(shù)塞的意義、特殊角的銳角三角函數(shù)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義即可求出答案；

(2)先化簡(jiǎn)原式，然后將。的值代入即可求出答案.

【詳解】

⑴原式=3+1-(-2)2-2X-=4-4-1=-1；

2

/、24+2。

(2)原式=-------------+--------------

(4Z-1)(Q+I)(〃+1)(61-1)

_6+2〃

-21

國、/-p,后/2+2夜26+18五

當(dāng)q=-2+，2時(shí)，原式=-----7==---------.

5-4V27

【點(diǎn)睛】

本題考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

2x73

19、(1)④⑤；(2)y=----(l?x<2)；(3)-或一.

2-x54

【解析】

(1)作于M,交OG于N,如圖，利用三角函數(shù)的定義得到4"=2,設(shè)=則40=2/,利用

BM

勾股定理得(2/)2+/=(2百)2,解得/=2,即8W=2,AM=4,設(shè)正方形的邊長為x,則他=2x,AF=3x,

GF1

由于tan/GAF=——=-,則可判斷NGAE為定值；再利用OG//A尸得到N」BDG=NB4C,則可判斷NBOG為

AF3

定值；在RtABMP中，利用勾股定理和三角函數(shù)可判斷必在變化，在變化，P尸在變化；

(2)易得四邊形DEMN為矩形,則MW=OE=x,證明AJBOGSA^AP,利用相似比可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；

(3)由于NAFG=NPFG=90°,APFG與AAFG相似，且面積不相等，利用相似比得到尸產(chǎn)=gx,討論：當(dāng)點(diǎn)P

在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則AP=；x,所以a=當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則=所以士-=；x,然

32-x332-x3

后分別解方程即可得到正方形的邊長.

【詳解】

(1)如圖，作BM_LAC于M,交OG于N,

在RtAABM中，VcotABAC==2,

BM

設(shè)=則4"=27,

■:AM2+BM2=AB2，

...(2/)2+/=(2不)2,解得r=2,

**?BM=2fAM=4,

設(shè)正方形的邊長為x,

AP

在RtAADE中，VcotZDAE=—=2,

DE

:.AE=2x9

:.AF-3x,

J-I|

在RtAG/LF中，tan/GAF==—=—,

AF3x3

ANGA尸為定值;

VDG//AP,

:.NBDG=NBAC,

二NBDG為定值;

在RtABMP中，PB=>/22-PM2，

而月W在變化，

:?PB在變化,乙陽M在變化，

:.PF在變化，

所以N8DG和NGAC是始終保持不變的量;

故答案為：④⑤

(2)VMN±AP,DEFG是正方形,

二四邊形OEMN為矩形，

NM=DE=x,

VDG//AP,

：.\BDG^\BAP,

.DGBN

y—~(L,x<2)

2-x

(3),:ZAFG=NPFG=90°，APFG與AAFG相似，且面積不相等,

.以一竺即上.竺

AFGF3xx

二PF=-x,

3

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，AP=AF+PF=-x+3x=-x,

33

,2x10

?.------=—X,

2-x3

7

解得x=—,

1Q

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AP=AF-PF=3x—x=-x,

33

2x8

------=—x,

2-x3

解得x=g,

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似形綜合題：熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義、正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì).

20、(1)y=-x+40(10<x<16)(2)-(x-25)2+225,x=16,144元

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求解可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)“總利潤=每件的利潤x銷售量，，可得函數(shù)解析式，將其配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得.

【詳解】

(1)設(shè)y與x的函數(shù)解析式的y=kx+b,

/、/、W+b=30

將(10,30)、(16,24)代入，得：,…，

'7。6%+匕=24

k=-1

解得：Lz

所以y與x的函數(shù)解析式為y=—x+40(10i*16)；

(2)根據(jù)題意知，W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-4(X)

=-(x-25『+225,

va=-1<0>

二當(dāng)x<25時(shí)，W隨x的增大而增大，

16,

,當(dāng)x=16時(shí)，W取得最大值，最大值為144,

答：每件銷售價(jià)為16元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)相等關(guān)系列出二次函數(shù)解析式及

二次函數(shù)的性質(zhì).

21、①?④.

【解析】

a-b+c=-l

試題分析：■=-1時(shí)丫=-1,x=l時(shí)，y=3,x=l時(shí)，y=5,.*.{(?=3,

Q+》+C=5

a=-1

解得{c=3,Ay=-x2+3x+3,Aac=-1x3=-3<1,故①正確；

a=3