2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十二講基本不等式（原卷版）

第二十二講：基本不等式【教學(xué)目標(biāo)】1.了解基本不等式的證明過程.2.能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小．【基礎(chǔ)知識】基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．（2）變形：，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．【題型目錄】考點一：基本不等式的理解考點二：基本不等式性質(zhì)考點三：基本不等式證明不等式（一）考點四：基本不等式證明不等式（二）【考點剖析】考點一：基本不等式的理解例1．設(shè)，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．下列不等式恒成立的是（） A．； B．； C．； D．．變式訓(xùn)練2．設(shè)，則下列不等式中成立的是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．若且，則，，，中的最大值的是（） A． B． C． D．考點二：基本不等式性質(zhì)例2．若且，則下列不等式中恒成立的是（）． A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．已知，且，則下列結(jié)論恒成立的是（）． A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．已知、，若，則下列不等式： =1\*GB3①； ②； ③； ④．其中恒成立的不等式序號是（） A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④變式訓(xùn)練3．已知，則下列不等式中不成立的是（）． A． B． C． D．考點三：基本不等式證明不等式（一）例3．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．對任意實數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立變式訓(xùn)練2．?dāng)?shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（）． A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（） A．（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）考點四：基本不等式證明不等式（二）例4．已知，，，求證：.變式訓(xùn)練1．已知實數(shù)均大于0，證明：.變式訓(xùn)練2．（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：.變式訓(xùn)練3．已知，，，且．求證：．【課堂小結(jié)】1．知識清單：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比較大?。?3)利用基本不等式證明不等式．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區(qū)：一正、二定、三相等，常因缺少條件導(dǎo)致錯誤．【課后作業(yè)】1、．若，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P3、小明騎自行車從甲地前往乙地，前一半路程以速度騎行，后一半路程以速度騎行，且，其全程的平均速度為，則下列關(guān)系中不正確的是（） A． B． C． D．4、若，，且，則下列代數(shù)式中最大的是（） A． B． C． D．5、若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6、（多選）下列命題中正確的是（） A．當(dāng)時， B．當(dāng)時， C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，7、．若a，，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8、若為非零實數(shù)，則以下不等式：①；②；③；④.其中恒成立的個數(shù)是（） A．4 B．3 C．2 D．19、已知a＞0，b＞0，給出下列三個不等式：①；②；.其中正確的個數(shù)是（） A．0 B．1 C．2 D．310、三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理進行證明時繪制了弦圖，其大致圖像如圖所示．以下選項中，可利用該圖作為幾何解釋的是（） A．如果，，那么； B．如果，那么； C．對任意實數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立； D．如果，那么．11、若，則下列關(guān)系正確的是（） A． B． C． D．12、《幾何原本》卷的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（） A． B． C． D．13、已知，，均為正實數(shù)，求證：若，則．14、已知正數(shù)滿足，證明；15、證明下列式子（1）已知,證明：；（2）已知,證明：．16、已知，，，且.證明：（1）若，，，證明：；（2）設(shè)，，，且，證明：.17、我