第10講 等腰三角形中的分類討論（解析版）

第10講等腰三角形中的分類討論（解析版）類型一與邊分類討論1．若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【思路引領】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3cm和5cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：當3cm是腰長時，3，3，5能組成三角形，當5cm是腰長時，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D．總結提升】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．2．（2023春?新城區(qū)校級期末）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰△ABC的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（）A．12 B．43 C．43或2 D．【思路引領】分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為8時；當?shù)妊切蔚牡走呴L為8時；然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為8時，∵等腰△ABC的周長為20，∴它的底邊長＝20﹣8﹣8＝4，∴它的“優(yōu)美比”=4當?shù)妊切蔚牡走呴L為8時，∵等腰△ABC的周長為20，∴它的腰長=12×（20﹣8∴它的“優(yōu)美比”=8綜上所述：它的“優(yōu)美比”為43或1故選：D．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，分兩種情況討論是解題的關鍵．類型二與角分類討論3．已知等腰三角形中，一個角為70°，則該等腰三角形的底角度數(shù)是70°或55°．【思路引領】根據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結合三角形內角和等于180°，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，一個等腰三角形的一個角等于70°，①當這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是70°，②設該等腰三角形的底角是x，則2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是55°；故答案為70°或55°總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，及三角形內角和定理；通過三角形內角和，列出方程求解是正確解答本題的關鍵．4．（2022秋?朔城區(qū)校級期末）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，則它的特征值k等于（）A．1013 B．58 C．1310或58 D【思路引領】分兩種情況：當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°；當?shù)妊切蔚囊粋€底角為50°時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°，∴等腰三角形的兩個底角都=12×（180°﹣50∴這個等腰三角形的“特征值”k=50°當?shù)妊切蔚囊粋€底角為50°時，那么另一個底角也是50°，∴等腰三角形的頂角＝180°﹣2×50°＝80°，∴這個等腰三角形的“特征值”k=80°綜上所述：1013或8故選：D．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，分兩種情況討論是解題的關鍵．類型三與高分類討論5．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則等腰三角形的底角度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°【思路引領】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，討論：當BD在△ABC內部時，如圖1，先計算出∠BAD＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠ACB；當BD在△ABC外部時，如圖2，先計算出∠BAD＝30°，再根據(jù)等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高，∠ABD＝40°，當BD在△ABC內部時，如圖1，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；當BD在△ABC外部時，如圖2，∵BD為高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB＝∠BAD＝15°，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為75°或15°．故選：C．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．6．（2023?海曙區(qū)校級開學）△ABC中，AB＝AC，CD為AB上的高，且△ADC為等腰三角形，則∠BCD等于（）A．67.5°或45° B．22.5°或45° C．36°或72° D．67.5°或22.5°【思路引領】根據(jù)題意，應該考慮兩種情況，①CD在△ABC內部；②CD在△ABC外部．分別結合已知條件進行計算即可．【解答】解：①如圖所示，CD在△ABC內部，∵AB＝AC，CD為AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣45°）＝∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；②如圖所示，CD在△ABC外部，∵AB＝AC，CD為AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12×45∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；所以∠BCD等于22.5°或67.5°．故選：D．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質、三角形外角的性質、角的計算．注意分類討論．此類題一般是利用等腰三角形的性質得出有關角的度數(shù)，進而求出所求角的度數(shù)．類型四與垂直平分線分類討論7．已知線段AB垂直平分線上有兩點C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，則∠ACB＝（）A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°【思路引領】如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，則根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出∠DAB＝∠DBA＝50°，當C點在線段DE上，∠CAD＝10°時，則∠CAB＝40°，則根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算∠ACB＝100°；當C′點在ED的延長線上，∠C′AD＝10°時，則∠C′AB＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質易得∠AC′B＝60°．【解答】解：如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣∠ADB）＝×（180°﹣80°）＝50°，當C點在線段DE上，∠CAD＝10°時，則∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；當C′點在ED的延長線上，∠C′AD＝10°時，則∠C′AB＝50°+10°＝60°，∵CA＝CB，∴∠AC′B＝60°，綜上所述，∠ACB的度數(shù)為60°或100°．故選：C．總結提升】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．也考查了等腰三角形的性質．8．（2022秋?武漢期末）已知，在△OPQ中，OP＝OQ，OP的垂直平分線交OP于點D，交直線OQ于點E，∠OEP＝50°，則∠POQ＝．【考點】等腰三角形的性質；線段垂直平分線的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】65°或115°．【思路引領】△OPQ為銳角三角形時，根據(jù)線段垂直平分線的定義得到∠ODE＝∠PDE＝90°，從而求得∠OED=∠PED=12∠OEP，繼而可得∠EOD＝90°﹣25°＝65°，問題得解；△OPQ為鈍角三角形時，同理可得∠EOD＝90°﹣25°＝65°，即∠POQ＝180【解答】解：①如圖1，△OPQ為銳角三角形時，∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE＝∠PDE＝90°，OE＝PE，∴∠OED=∠PED=1又∵∠OEP＝50°，∴∠OED＝∠PED＝25°，∴∠EOD＝90°﹣25°＝65°；②如圖2，△OPQ為鈍角三角形時，∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE＝∠PDE＝90°，OE＝PE，∴∠OED=∠PED=1又∵∠OEP＝50°，∴∠OED＝∠PED＝25°，∴∠EOD＝90°﹣25°＝65°，∴∠POQ＝180°﹣65°＝115°．故答案為：65°或115°．總結提升】本題考查的是線段垂直平分線的定義以及等腰三角形的性質、三角形的內角和定理，掌握這些性質及定理，準確作出圖形是解題的關鍵．類型五與中線分類討論9．已知等腰三角形的底邊長為10cm，一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長5cm，那么這個三角形的腰長為15cm．【思路引領】兩部分之差可以是底邊與腰之差，也可能是腰與底邊之差，解答時應注意．設等腰三角形的腰長是xcm，根據(jù)其中一部分比另一部分長5cm，即可列方程求解．【解答】解：如圖，設等腰三角形的腰長是xcm．當AD+AC與BC+BD的差是5cm時，即x+x﹣（x+10）＝5，解得：x＝15，15，15，10能夠組成三角形；當BC+BD與AD+AC的差是5cm時，即10+x﹣（x+x）＝5，解得：x＝5，5，5，10不能組成三角形．故這個三角形的腰長為15cm．故答案為：15．總結提升】本題考查等腰三角形的性質：等腰三角形有兩邊相等，同時考查了三角形的三邊關系．10．已知一個等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為3：2的兩部分，則這個等腰三角形的腰長為18cm或12cm．【思路引領】本題可分別設出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結果是否滿足三角形的三邊關系．【解答】解：設該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個三角形的周長分為27和18兩部分，∴或，解得或，經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關系．因此這個等腰三角形的腰長為18cm或12cm．故答案為：18cm或12cm．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確3：2兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．類型六與動點、動線段需分類討論11．如圖，直線a，b相交于點O，∠1＝50°，點A是直線a上的一個定點，點B在直線b上運動，若以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，則∠OAB的度數(shù)是50°或65°或80°或25°．【思路引領】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當OB＝AB時，②當OA＝AB時，③當OA＝OB時，分別求得符合的點B，即可得解．【解答】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：①當OB1＝AB1時，∠OAB＝∠1＝50°；②當OA＝AB2時，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°；③當OA＝OB3時，∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣50°）＝65°；當OA＝OB4時，∠OAB＝∠OBA＝∠1＝25°；綜上所述，∠OAB的度數(shù)是50°或65°或80°或25°，故答案為：50°或65°或80°或25°．總結提升】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．12．（2020?江西模擬）如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．當α＝100或130或160°時，△AOD是等腰三角形．【思路引領】要使△AOD為等腰三角形，應有OA＝OD，或OD＝DA或OA＝AD，只要相關角相等由已知條件利用等邊三角形的性質即可結論．【解答】解：∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，∴△COD為一等邊三角形，∴∠COD＝60°假設OD＝OA，則α+100°+60°+∠AOD＝360°，∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∵△COD為一等邊三角形，∴∠ADO＝α﹣60°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝α﹣60°，∴∠AOD＝180°﹣2（α﹣60°），解得α＝100°，當OD＝AD時，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD=180°-(α-60°)2，解得α＝當OA＝AD時，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD＝α﹣60°，解得，α＝130°，綜上所述，滿足條件的α的值為100°或160°或130°．故答案為100或160或130．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質及等腰三角形的判定；要熟練掌握等邊三角形的性質及等腰三角形的判定．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，邊BA繞點B順時針旋轉m°（0＜m＜180）得到線段BD，連接AD、DC．若△ADC為等腰三角形，則m所有可能的取值是130或100或160．【思路引領】由旋轉的性質可知BD＝AB＝BC，結合△ADC為等腰三角形，分三種情況求解，①當DA＝DC時，求出m即可；②當AD＝AC時，③當CA＝CD時，分別求出m即可．【解答】解：由旋轉的性質可知BD＝AB＝BC，∵△ADC為等腰三角形，∴分三種情況：①當DA＝DC時，∠ABD＝∠CBD=12（360°﹣∠ABC）＝∴m＝130．②當AD＝AC時，∠ABD＝∠ABC＝100°，∴m＝100．③當CA＝CD時，∠CBD＝∠ABC＝100°，∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°，∴m＝160．綜上所述：m所有可能的取值為130或100或160．故答案為：130或100或160．總結提升】本題主要考查等腰三角形的性質，旋轉的性質，掌握和理解旋轉的性質和等腰三角形的性質是解題的關鍵．類型七構造等腰三角形需分類討論14．有一三角形紙片ABC，∠A＝80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是25°或40°或10°．【思路引領】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對于△ABD可能有①AB＝BD，此時∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，∠C＝（180°﹣100°）＝40°，②AB＝AD，此時∠ADB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，∠C＝（180°﹣130°）＝25°，③AD＝BD，此時，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，∠C＝（180°﹣160°）＝10°，綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°．故答案為：25°或40°或10°．總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于分情況討論．15．如圖，有一個三角形紙片ABC，∠C＝30°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得的兩紙片均為等腰三角形，則∠A的度數(shù)可以是37.5°或15°或60°．【思路引領】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三種情況，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠A即可得解．【解答】解：由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，①BC＝CD，此時∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝37.5°；②BC＝BD，此時∠CDB＝∠C＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，AD＝B