4.2.1等差數(shù)列的概念（第1課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

.2.1等差數(shù)列的概念第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容等差數(shù)列的概念,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo).課時(shí)教學(xué)目標(biāo)理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、理解等差數(shù)列及等差中項(xiàng)的概念．難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)及應(yīng)用、掌握等差數(shù)列的判定方法.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題【實(shí)際情境】（1）1896年，雅典舉行了第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)，到2008年的北京奧運(yùn)會(huì)已經(jīng)是第29屆奧運(yùn)會(huì)。觀察奧運(yùn)會(huì)舉辦的年份所對(duì)應(yīng)的數(shù)列：

1896，1900，1904，…，2008，2012，（

）

你能預(yù)測(cè)出第33屆奧運(yùn)會(huì)的時(shí)間嗎？學(xué)生口答：2024.2024如何預(yù)測(cè)出來(lái)的？

根據(jù)已有數(shù)的規(guī)律，每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間相差4，而且后一個(gè)數(shù)總比前一個(gè)數(shù)多4.

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)奧運(yùn)會(huì)的數(shù)學(xué)情境，以問(wèn)題為導(dǎo)向，這樣的導(dǎo)入貼近學(xué)生的實(shí)際生活，引起學(xué)生極大的興趣.用這一實(shí)例，借助于實(shí)際意義讓學(xué)生感受“等差數(shù)列”的問(wèn)題是自然、清楚、明白的.【實(shí)際情境】下面，我們?cè)賮?lái)觀察幾個(gè)生活當(dāng)中的數(shù)列.引入三個(gè)生活問(wèn)題中的數(shù)列：

(2)2000年女子舉重4個(gè)體重級(jí)別：48,53,58,63.(3)各年末本利和（存100元）：104.25,108.5,112.75,117,121.25，……(4)氣溫隨高度的變化/km：28,21.5,15,8.5,2,-4.5.【設(shè)計(jì)意圖】由生活情境的多個(gè)數(shù)列引出下面的探究問(wèn)題.我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)．在函數(shù)的研究中，我們?cè)诶斫饬撕瘮?shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究?jī)?nèi)容（如單調(diào)性、奇偶性等）后，通過(guò)研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對(duì)函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型．類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用．下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡(jiǎn)單的數(shù)列入手．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列．1．北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是38，40，42，44，46，48． ②3．測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③4．某人向銀行貸款萬(wàn)元，貸款時(shí)間為年．如果個(gè)人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開(kāi)始，每月應(yīng)還本金元，每月支付給銀行的利息（單位：元）依次為，，，，…． ④如果按月還款，等額本金還款方式的計(jì)算公式是每月歸還本金=貸款總額÷貸款期總月數(shù)，利息部分=（貸款總額一已歸還本金累計(jì)額）×月利率．對(duì)于①，我們發(fā)現(xiàn)，，…，，換一種寫法，就是，，…，．改變表達(dá)方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了．如果用表示數(shù)列①，那么有，，…，．這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)．?dāng)?shù)列②~④也有這樣的取值規(guī)律．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過(guò)運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律．例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A，B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律．類似地，你能通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？問(wèn)題1：什么是等差數(shù)列？一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmeticprogression），這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（commondifference），公差通常用字母表示．例如，數(shù)列①的公差．由三個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，叫做與的等差中項(xiàng)（arithmeticmean）．根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，．在日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列．例如，在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)（如前面例子中的上衣尺碼）．你能舉出一些例子嗎？問(wèn)題2：如何求an？探究你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？

追問(wèn)1：如果已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公差是d

，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)an能求出來(lái)嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得，就是等差數(shù)列的遞推公式．所以，，，…．于是……歸納可得．當(dāng)時(shí)，上式為．這就是說(shuō)，上式當(dāng)時(shí)也成立．注：需要特別強(qiáng)調(diào)的是，由猜想歸納得出這個(gè)通項(xiàng)公式的方法稱作不完全歸納法，這種方法僅僅是猜想出來(lái)的結(jié)論，沒(méi)有說(shuō)服力，嚴(yán)格的證明需要——數(shù)學(xué)歸納法，將在以后學(xué)習(xí).

因此，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．這種求通項(xiàng)公式的方法叫累加法,是探討數(shù)列通項(xiàng)的一種常見(jiàn)方法.后續(xù)的學(xué)習(xí)還會(huì)繼續(xù)研究.我們?cè)谶@里的要求是:需要你記住這個(gè)公式，它是解決等差數(shù)列通項(xiàng)公式的主要方法.

說(shuō)明：通項(xiàng)公式中，有四個(gè)量:首項(xiàng)a1，公差d，序號(hào)n和第n項(xiàng)an，知道其中的任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量，即知三求一

.

環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念思考觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？由于，所以當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的第項(xiàng)是一次函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，即．如圖4.2-1，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，就得到一條斜率為，截距為的直線．在這條直線上描出點(diǎn)，，…，，…，就得到了等差數(shù)列的圖象．事實(shí)上，公差的等差數(shù)列的圖象是點(diǎn)組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線上．反之，任給一次函數(shù)（為常數(shù))，則，，…，，…，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為．下面，我們利用通項(xiàng)公式解決等差數(shù)列的一些問(wèn)題．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的公差和首項(xiàng)．（2）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)．分析：（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由即可求出公差；（2）可以先根據(jù)數(shù)列的兩個(gè)已知項(xiàng)求出通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求數(shù)列的第20項(xiàng)．解：（1）當(dāng)時(shí)，由的通項(xiàng)公式，可得．于是．把代入通項(xiàng)公式，得．所以，的公差為，首項(xiàng)為3．（2）由已知條件，得．把，代入，得．把代入上式，得．所以，這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是．說(shuō)明：這道題是在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的四個(gè)量中，知道a1，d,n,求an.體現(xiàn)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式中“知三求一”的方程思想例2是不是等差數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)?分析：先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，它是一個(gè)關(guān)于的方程，再看是否能使這個(gè)方程有正整數(shù)解．解：由，，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為令解這個(gè)關(guān)于的方程，得．所以，是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng)．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)并總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)，只須令通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)，得到關(guān)于n的方程。若方程有正整數(shù)解，則它就是，否則不是。

環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問(wèn)題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．知識(shí)清單：(1)等差數(shù)列的有關(guān)概念．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)等差數(shù)列的判定與證明．2．方法歸納：列方程組法、迭代法、構(gòu)造法．3．常見(jiàn)誤區(qū)：在具體應(yīng)用問(wèn)題中項(xiàng)數(shù)不清．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：教材第15頁(yè)第123題練習(xí)（第15頁(yè)）1．判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列．如果是，寫出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；（3）1，，3，，5，；（4）1，，，，，，．解：（1）由，即該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；（2）通過(guò)觀察可知，，，…，該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差不是同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；（3）通過(guò)觀察可知，，，…，該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差不是同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列不是等差數(shù)列；（4）由，即該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)，所以由等差數(shù)列的定義知該數(shù)列為等差數(shù)列，公差為．2．求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng)：（1）647和895； （2）和．2．解析：（1）等差中項(xiàng)為；（2）等差中項(xiàng)為．3．已知是一個(gè)等差數(shù)列，請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù)．82解：對(duì)第一行：由題意得，，，，利用等差數(shù)列性質(zhì)知，解得：；又，解得：．對(duì)第二