4.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的概念、等比數(shù)列的性質(zhì)．課時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過(guò)程.靈活應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣形式及變形．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)1.探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2.運(yùn)用通項(xiàng)公式解決實(shí)際問(wèn)題.2、教學(xué)難點(diǎn)1.等比數(shù)列的運(yùn)算、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．2.掌握等比數(shù)列的判斷與證明方法．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺(jué)得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺(jué)得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流．教師提示，類比已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)好方法，比如“等差數(shù)列”；然后指引學(xué)生回顧等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，確定新數(shù)列的研究問(wèn)題：相鄰兩項(xiàng)比是固定常數(shù)．意在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度，類比已有研究對(duì)象的主要特征，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的特殊數(shù)列作為研究對(duì)象，這樣的過(guò)程有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力．問(wèn)題2：“請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列”，類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過(guò)怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？學(xué)生獨(dú)立觀察，充分思考，交流討論．根據(jù)學(xué)生交流討論情況，教師可以適時(shí)地選擇以下問(wèn)題進(jìn)行追問(wèn)．請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列．1．兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：； ①； ②； ③古巴比倫人用60進(jìn)制計(jì)數(shù)，這里轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制．2．《莊子?天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開(kāi)始，各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是 ④3．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過(guò)分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開(kāi)始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是 ⑤4．某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是． ⑥追問(wèn)：（1）你能用自然語(yǔ)言歸納每組數(shù)列的特征嗎？（從相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系分析）（2）請(qǐng)歸納概括上述四個(gè)具體例子的共同特點(diǎn)．（類比等差數(shù)列的過(guò)程）（3）類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎可以用符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生梳理觀察、討論、分析的結(jié)果，抽象概括成數(shù)學(xué)定義，給出等比數(shù)列的定義．讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過(guò)程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論．這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時(shí)機(jī)．復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念探究：類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過(guò)怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?我們可以通過(guò)除法運(yùn)算探究以上數(shù)列的取值規(guī)律．如果用表示數(shù)列①，那么有，，……，．這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于9．其余幾個(gè)數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出相應(yīng)的規(guī)律．問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合上述實(shí)例子的運(yùn)算特點(diǎn)和等差數(shù)列的定義總結(jié)等比數(shù)列的定義。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考：類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎?一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列（geometricprogression）．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（commonratio），公比通常用字母q表示（顯然)．例如，數(shù)列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，．問(wèn)題4：結(jié)合等比數(shù)列的定義，觀察等比數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？讓學(xué)生獨(dú)立閱讀這段內(nèi)容，然后分別提出自己的新發(fā)現(xiàn)．教師根據(jù)學(xué)生的回答情況，可以選擇以下問(wèn)題進(jìn)行追問(wèn)．追問(wèn)：（1）等比數(shù)列相鄰三項(xiàng)有什么代數(shù)關(guān)系？（2）類比等差中項(xiàng)，你能得到等比中項(xiàng)的定義嗎？能夠用符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？根據(jù)學(xué)生探究的情況，教師引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立等比中項(xiàng)的定義．【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于難度不大的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的方法去找到等比數(shù)列中相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，并抽象概念得到等比數(shù)列的定義．問(wèn)題5：回憶等差中項(xiàng)的定義？ 追問(wèn)1類比等差中項(xiàng)的定義，能否總結(jié)出等比中項(xiàng)的定義？與等差中項(xiàng)類似，如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)（geometricmean）．此時(shí)，．追問(wèn)2如何求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題:5通過(guò)類比等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)一步解析等比數(shù)列。問(wèn)題6：請(qǐng)同學(xué)們回憶等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法有哪些呢？追問(wèn)：你能等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念探究：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得．所以由此可得又，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)上式也成立．因此，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為．方法有兩種，分別是不完全歸納法和疊加法，類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也有兩中推導(dǎo)方法。教師和學(xué)生共同完成等比數(shù)列的兩種推導(dǎo)方法：設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為不完全歸納法：疊乘法，共有（n-1）個(gè)等式將這（n-1）個(gè)等式左右兩邊相乘得到讓學(xué)生先獨(dú)立思考，教師展示學(xué)生推導(dǎo)并規(guī)范解答．【設(shè)計(jì)意圖】?jī)?nèi)容難度不大，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行推導(dǎo)，并得到等比數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式．這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的時(shí)機(jī)．問(wèn)題:7：在等差數(shù)列中，公差的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，通過(guò)類比，等比數(shù)列可以與那個(gè)函數(shù)建立聯(lián)系？單調(diào)性如何？這里讓學(xué)生“類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)明公比的等比數(shù)列的單調(diào)性”．類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，由可知，當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列的第項(xiàng)是函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，即（如圖4.3-1所示）．類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)說(shuō)公比的等比數(shù)列的單調(diào)性．公比且的等比數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)?反之，任給函數(shù)（為常數(shù)，，且），則，，…，，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為．學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流．教師提示，類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)明公比的等比數(shù)列的單調(diào)性．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析的過(guò)程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論．下面，我們利用通項(xiàng)公式解決等比數(shù)列的一些問(wèn)題．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為8和12，求的第5項(xiàng)．分析：等比數(shù)列由，唯一確定，可利用條件列出關(guān)于，的方程（組），進(jìn)行求解．解法1：由，，得②的兩邊分別除以①的兩邊，得．解得或．把代入①，得此時(shí)．把代入①，得此時(shí)．因此，的第5項(xiàng)是24或．解法2：因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以．所以．因此，的第5項(xiàng)是24或．學(xué)生分析解題思路，給出解答并討論交流，教師進(jìn)行展示總結(jié)．【設(shè)計(jì)意圖】例1與4．2節(jié)的例7類似，也給出了兩個(gè)獨(dú)立的條件．根據(jù)兩個(gè)給定條件得到的關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組的解法往往不唯一，有時(shí)會(huì)得到兩個(gè)的值，也就是得到兩個(gè)不同的等比數(shù)列．此例題可以讓學(xué)生掌握分類討論的方法．例1也可以直接利用等比中項(xiàng)的定義進(jìn)行解決，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考問(wèn)題．例2已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項(xiàng)表示．解：由題意，得， ①． ②②的兩邊分別除以①的兩邊，得．所以等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示．學(xué)生獨(dú)立思考，教師給出解答示范．【設(shè)計(jì)意圖】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，給你兩個(gè)條件與可以表示數(shù)列的每一項(xiàng)，同時(shí)等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示．例3 數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132．求這個(gè)數(shù)列．分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列方程組求解．解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為，后三項(xiàng)的公差為，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為，，80，，．于是得解方程組，得 或所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．學(xué)生獨(dú)立思考，教師給出解答示范．【設(shè)計(jì)意圖】例3安排了一道綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問(wèn)題的題目．根據(jù)條件包含的等量關(guān)系，列出關(guān)于數(shù)列相關(guān)量的方程組是解決這類問(wèn)題的常用策略．本題利用中間量去表示其他各項(xiàng)，可以減少所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)．通過(guò)此題提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問(wèn)題81.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)已知首項(xiàng)a1和公比q，可以確定一個(gè)等比數(shù)列．(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，可以求得第四個(gè)量．2．判定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(1)定義法；(2)等比中項(xiàng)法；(3)通項(xiàng)公式法．【設(shè)計(jì)意圖】梳理本節(jié)課的研究問(wèn)題和研究思路，讓學(xué)生熟練掌握知識(shí)和技能，完善知識(shí)體系。環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：解決生活中的實(shí)際問(wèn)題教材31頁(yè)練習(xí)1,2,3.練習(xí)（第31頁(yè)）1．判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列．如果是，寫(xiě)出它的公比．（1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3），，，，，； （4）4，，16，，64，．1．【解析】（1）3，9，15，21，27，33；因?yàn)椋什皇堑缺葦?shù)列；（2），，，，；所以，所以是等比數(shù)列，公比；（3），，，，，；顯然，故不是等比數(shù)列；（4）因?yàn)?，，，，，；所以，所以是等比?shù)列，公比．2．已知是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，在下表中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)．a(chǎn)1a3a5a7q2820．22．解析：第一行：，，所以，．第二行：，，，．3．在等比數(shù)列中，，．求和公比．3．解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)椋?，由等比?shù)列的性質(zhì)可得，，又，，，，解得：，當(dāng)時(shí)，由，所以；當(dāng)時(shí)，由，所以．所以或．4．對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖