高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題7.7 復(fù)數(shù)的運(yùn)算大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）（教師版）

專題7.7復(fù)數(shù)的運(yùn)算大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）【人教A版2019必修第二冊(cè)】姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=?21+3【解題思路】由題知z=?1+3i2，z2【解答過程】解：因?yàn)閦=?2所以z所以z所以，z+z所以1+z+2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1【解題思路】設(shè)z1=a+bi,z而z1z2=a+bic+di=【解答過程】設(shè)zz1+則(a+c)化簡得ac+db=0∴z又bc?ad≠0，否則z1則z1z23．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、z2?i均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)(z+a【解題思路】設(shè)z=x+yix、y∈R，化簡z+2i、z2?i并根據(jù)其均為實(shí)數(shù)求得參數(shù)x，y，化簡【解答過程】設(shè)z=x+yix、y∈R，∵z+2i=x+y+2i為實(shí)數(shù)，∴∵z2?i=x?2i2?i∵z+ai2=4+a?2i∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,6．4．（2022春·陜西榆林·高二?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z=bi（b∈(1)求b的值；(2)若復(fù)數(shù)m?z2?8m在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）利用復(fù)數(shù)的除法可求z+31?i，再結(jié)合其為實(shí)數(shù)可求（2）利用復(fù)數(shù)的乘方可求m?z2?8m，再由它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所處的象限可求【解答過程】（1）∵z=bi，∴∵z+31?i是實(shí)數(shù)，∴b+3=0（2）由（1）知z=?3i∴m?z2∵復(fù)數(shù)m?z2∴m2?8m?9<06m>0故實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,9.5．（2022春·廣西桂林·高二?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z=m2?2m?15+(1)若z為實(shí)數(shù)，求m的值；(2)若z為純虛數(shù)，求z1+【解題思路】（1）由題意得m2（2）先由題意求得z=16i，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡復(fù)數(shù)z【解答過程】（1）若z為實(shí)數(shù)，則m2?9=0，解得（2）若z為純虛數(shù)，則m2?2m?15=0m2?9≠0，解得故z1+6．（2022·高一單元測(cè)試）設(shè)復(fù)數(shù)z1(1)若z1+z(2)若z1z2【解題思路】(1)根據(jù)z1+z2是實(shí)數(shù)，求得(2)由z1z2是純虛數(shù)，可得a=?34【解答過程】（1）解：∵z∴4+a=0,a=?4,z∴z（2）解：∵z所以3+4a=04?3a≠0，解得a=?所以z1故z1的共軛復(fù)數(shù)為1?7．（2022春·重慶酉陽·高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=1+bi（i為虛數(shù)單位，b>0，且z(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)ω=z1?i【解題思路】（1）由z2為純虛數(shù)，結(jié)合題意可求出b=1，即可求出復(fù)數(shù)z（2）由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)ω，再由復(fù)數(shù)的模長公式即可求出答案.【解答過程】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1+bi，則z因?yàn)閦2為純虛數(shù)，所以1?b2=02b≠0所以z=1+i（2）ω=z1?i8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)ω=?1(1)ω，ω2(2)1+ω+ω【解題思路】（1）寫出復(fù)數(shù)的三角形式，利用三角形式進(jìn)行計(jì)算即可證明；（2）利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算求出ω2，進(jìn)而可得1+ω+【解答過程】（1）∵ω=?∴ω(ω13所以ω，ω2（2）∵ω∴1+ω+ω9．（2022春·重慶沙坪壩·高一期中）已知a，bR，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z1=a?i與z2(1)判斷復(fù)平面內(nèi)z2(2)計(jì)算(a+bi【解題思路】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求得a,b，得復(fù)數(shù)z2（2）由復(fù)數(shù)的乘方法則計(jì)算．【解答過程】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=a?i與z則a=2，b=1，z2=2+i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1)故在第一象限;（2）(a+bi10．（2023·高一單元測(cè)試）已知fz=z?1，且(1)求復(fù)數(shù)z1的三角形式與arg(2)求z1【解題思路】（1）求出復(fù)數(shù)z1的模和輻角主值后，可得復(fù)數(shù)z（2）根據(jù)fz=z?1，fz1?z2=4+4i【解答過程】（1）因?yàn)閦1=2?2i，所以其模r=則cosθ=22因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=2?2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,?2)在第四象限，所以arg所以復(fù)數(shù)z1的三角形式為z（2）因?yàn)閒z=z?1，所以fz因?yàn)閦1=2?2i，所以2+2所以z2=?3?2i所以z1?z2z1+11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=3x?x2?x(1)若f(x)=8，且x>0，求復(fù)數(shù)iz(2)當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，求復(fù)數(shù)z1+2【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的運(yùn)算，可得f(x)=x2+2x，再結(jié)合題意可得x=2（2）先求出函數(shù)取最小值時(shí)x對(duì)應(yīng)的值，再結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得解.【解答過程】（1）由題意可得f(x)=3x+x因?yàn)閒(x)=8，所以x2又x>0，所以x=2，即z=6?2i則iz=所以復(fù)數(shù)iz的虛部為6（2）因?yàn)閒(x)=x2+2x=(x+1)2此時(shí)，z=?3?2i則z1+2所以z1+2i的實(shí)部為12．（2022春·廣西玉林·高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=1?(1)求z的共軛復(fù)數(shù)；(2)若az+b=1?i，求實(shí)數(shù)a，b【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘方、除法的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）z=1?所以z的共軛復(fù)數(shù)為1?i（2）az+b=1?i13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=(1+i)(1)求z及z；(2)若z2+az+b=2+3i【解題思路】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解出復(fù)數(shù)z，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解z；（2）首先將z=?1+3i代入等式，然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實(shí)數(shù)a，b【解答過程】（1）∵z=(1+∴z=（2）由（1）可知z=?1+3i，由z2+az即(?8?a+b)+(?6?3a)i=2+3i，∴14．（2022秋·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i（i為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，且z+(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(z+ai)2【解題思路】（1）設(shè)z=c+di（c，d∈R（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出.【解答過程】（1）根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)z=c+di（c，d∈R則z+2i=c+(d+2)i為實(shí)數(shù)，即d+2=0所以z=c?2i，z又∵z+z=c+2i+c?2i=8所以復(fù)數(shù)z=4?2i（2）由（1）知，(z+ai所以16?a?22>0,8a?2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?2,2).15．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標(biāo)明的ICME—14下方的“”是用中國古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3744，也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100，換算成十進(jìn)制的數(shù)是n，求(1+i)2n及【解題思路】利用進(jìn)位制求出n的值，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可求出結(jié)果.【解答過程】∵11111100100=1×210+1×∴n=2020，∴(1+i1+i16．已知z=1+i(1)設(shè)ω=z2+3(2)如果z2+az+bz2?z+1=1?【解題思路】（1）求出z=1+i的共軛復(fù)數(shù)，代入ω=z2+3z（2）根據(jù)z2+az+bz2?z+1【解答過程】（1）已知z=1+i，∴∴ω=1+i2+31?i?4=2i+3?3i?4=?1?i，∴ω對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(?1,?1)，ω對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)輻角為θ，故（2）∵z∴a+b∴a+b=1a+2=1，解得17．（2022春·河南鄭州·高二期中）已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且z(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1=m(2)設(shè)復(fù)數(shù)z2=a-i【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的定義，求出m，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【解答過程】（1）∵z=1+mi，∴z(3+∵z?∴3+m=01-3故z=1-3z1則|z（2）∵i∴z∵復(fù)數(shù)z2∴a+110>0故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞).18．（2022春·浙江·高一期中）已知復(fù)數(shù)z使得z+2i∈R，z(1)求復(fù)數(shù)z的模；(2)若復(fù)數(shù)z+mi2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，a,b∈R，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件，虛部為0，解方程即可得到復(fù)數(shù)（2）計(jì)算復(fù)數(shù)(z+mi)2，由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，可得m【解答過程】（1）解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，a,b∈根據(jù)題意，z+2i所以b+2=0，即b=?2；又z2?所以2b+a=0，即a=?2b=4，所以z=4?2i，則z（2）解：由（1）可知z=4?2i所以(z+mi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為16?(m?2)所以8(m?2)>0且16?(m?2)2>0，解得2<m<6，即m19．（2022秋·廣東中山·高二階段練習(xí)）已知z1(1)求z1(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2、z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義求解【解答過程】（1）zz=(1×3?2×4)+(1×4+2×3)i（2）若OZ1若OZ1Z2若OZ3Z1Z20．（2022秋·浙江臺(tái)州·高二開學(xué)考試）復(fù)數(shù)z1=a?i，z2=1?2(1)求復(fù)數(shù)z1(2)若復(fù)數(shù)z1+b+22(b∈R【解題思路】（1）利用純虛數(shù)的定義，由a+25（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由題意得b2【解答過程】（1）z1因?yàn)閦1z2為純虛數(shù)，所以a+2（2）z1由已知b2解得b>1，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為1,+∞21．（2022春·江蘇鹽城·高一期中）若復(fù)數(shù)z1=1+ai(1)若z1+z(2)若a=2，求z1【解題思路】（1）利用復(fù)數(shù)的加法化簡復(fù)數(shù)z1+z2，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)（2）當(dāng)a=2時(shí)，利用復(fù)數(shù)的除法可求得復(fù)數(shù)z1【解答過程】（1）解：由已知z1+z2=4+（2）解：當(dāng)a=2時(shí)，z122．（2022春·福建福州·高一期末）已知?1+2i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(1)求p，(2)記復(fù)數(shù)z=p+qi，求復(fù)數(shù)z【解題思路】（1）將?1+2i代入方程，利用復(fù)數(shù)相等，得到方程，求出p=2,q=5（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到z1+【解答過程】（1）由題意得:?1+2i即1?4i所以?3?p+q+2pi所以?3?p+q=0，2p?4=0，解得：p=2,q=5；（2）z=2+5i，z所以z1+23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知復(fù)數(shù)z=(1?(1)求(z+2)2(2)若?mz+n=1+im,n∈R，求【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得n=?1m=1，進(jìn)而可得【解答過程】（1）z=(1?i（2）由（1）z=?2?i，若?mz+n=1+i則?m?2?故2m+n=1m=1，解得n=?1m=1，故24．（2022秋·山東臨沂·高二開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z=3?(1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)和模；(2)若z2+az+b=za,b∈R.求【解題思路】（1）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡z，從而求得z的共軛復(fù)數(shù)以及模.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程，化簡求得a,b的值.【解答過程】（1）z=3?所以z的共軛復(fù)數(shù)z=1+z=（2）因?yàn)閦2即1?i也即a+b+?2?a所以a+b=1?2?a=1，解得a=?325．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z1=3+4i(1)若z=z1z(2)若復(fù)數(shù)z1+az【解題思路】（1）先由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡求出z，即可得出共軛復(fù)數(shù)；（2）先求出z1【解答過程】（1）由z=z1z（2）由題意，復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2∵復(fù)數(shù)z1∴4?2a>0解得a<2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍?∞26．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z2?2z+4=0，虛數(shù)z1(1)求z；(2)若z1+z【解題思路】（1）解方程即可求解；（2）先化簡zz+z【解答過程】（1）易解得z=2±12i（2）由（1）可知，z1所以z1又z1+z27．（2022春·廣西百色·高二期末）已知復(fù)數(shù)z1=2+(1)求z1(2)求z1【解題思路】（1）先求出z1?z2，再求z1【解答過程】(1)由題可得：z1所以z(2)因?yàn)閦所以z128．（2022春·上海長寧·高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，z2的虛部為(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若Rez>0，設(shè)z、z2、4z?z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、【解題思路】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，結(jié)合條件求a,?b即可得（2）結(jié)合（1）結(jié)論，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得z,z2,4z?z【解答過程】（1）設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則|z|2=a2+b2=2,z2=a2（2）因?yàn)镽ez>0，所以z=1+i，z2=(1+i)2=2i,4z?z2=4+2i.∴點(diǎn)A(1,1),B(0,2),C(4,2)，直線BC:y=2，所以且29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，θ∈0,2π(1)觀察cosθ+isinθ2=cos(2)若復(fù)數(shù)z=3?i【解題思路】（1）觀察規(guī)律即可得；（2）由特殊角三角函數(shù)得z=2cos【解答過程】（1）由觀察得cosθ+（2）z=3由（1）得z======512+512330．（2022春·上