2023年江西省五市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）

2023年江西省五市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={%|2"+%-3>0},B={x|4-%>1],則4nB=（）

A.{x|l<%<3}B.{x|-3<%<1}

C.{x\x>-3}D.{x\x>1}

2.若復(fù)數(shù)z滿足擊=2i,則|z+l|=（）

A.V-5B.V~T7C.5D.17

3.函數(shù)用）={瑟禧m：，則/V（D）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（x-卷）8的展開式中含爐項的系數(shù)是（）

A.-112B.112C.-28D.28

5.已知非零向量五與3滿足@=2|孫且|五+2方|=，3|百一2石|，則向量日與3的夾角是（）

A.B.IC.vD.I

60

6.在直三棱柱ABC—4B1C1中，△4BC是等邊三角形，441=24B,D,E,尸分別是棱當(dāng)?shù)模?/p>

“1，441的中點，則異面直線BE與。F所成角的余弦值是（）

A.手B.穿「V10D*

7.某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9,8.7,9.3,x,y.已知這5名參賽選

手的得分的平均數(shù)為9,方差為0.1,則|x-y|=（）

A.0.5B,0.6C.0.7D,0.8

8.設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,若f（x）在其定義域內(nèi)存在沏，使得/（沏）=f（x0）.則稱f（x）

為“有源”函數(shù),已知/（x）=，nx—2%—a是“有源”函數(shù)，則a的取值范圍是（）

A.(-00,-1]B.(-1,4-00)c.(-00,-/n2-1]D.(-/n2-l,4-oo)

9.已知函數(shù)/(x)=—2cos(2x+g)sin2x-?，貝！1()

A.y(x)的最小正周期是兀

B.f(x)在礙用上單調(diào)遞增

C.f(x)的圖象關(guān)于點亭+芻0)(keZ)對稱

D./(x)在［一也°］上的值域是［一L?］

10.如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古

代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域

不能涂同一種顏色，且每個區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則

恰用4種顏色的概率是()

23045

A.7-7-7-7-

11.已知拋物線C：y2=8x的焦點為凡過點產(chǎn)作兩條互相垂直的直線21，12,且直線小，2分

別與拋物線C交于A,B和D,E,則四邊形4DBE面積的最小值是()

A.32B.64C.128D.256

12.在銳角△力BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=1,且bcosA-cosB=1,

則+2sin2A的取值范圍是()

A.(0,AT3+1)B.(2,C+1)C.(1,3］D.(2,3］

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知雙曲線C：攝一，=1(0>0/>0)的離心率是2,實軸長為2,則雙曲線C的焦距

是一.

14.己知cos(a+看)=竽，則sin(2a—看)=.

15.已知/(x)是定義在［-4,4］上的減函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，則關(guān)于x的不等

式f(2x)+/(x-3)+3%-5>0的解集為一.

16.在棱長為3的正方體4BCD-&B1C1D1中，點P在平面BCi。上運(yùn)動，則|&P|+|。/|的

最小值為一.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

設(shè)數(shù)列｛斯｝的前幾項和為右，且為=2,登±1=爭+1.

an+lun

(1)求｛Qn｝的通項公式；

(2)若求數(shù)列｛%｝的前n項和

18.(本小題12.0分)

某企業(yè)為鼓勵員工多參加體育鍛煉，舉辦了一場羽毛球比賽，經(jīng)過初賽，該企業(yè)的4B,C三

個部門分別有3,4,4人進(jìn)入決賽.決賽分兩輪，第一輪為循環(huán)賽，前3名進(jìn)入第二輪，第二輪

為淘汰賽，進(jìn)入決賽第二輪的選手通過抽簽確定先進(jìn)行比賽的兩位選手，第三人輪空，先進(jìn)

行比賽的獲勝者和第三人再打一場，此時的獲勝者贏得比賽.假設(shè)進(jìn)入決賽的選手水平相當(dāng)(

即每局比賽每人獲勝的概率都是：).

(1)求進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門的概率；

(2)記進(jìn)入決賽第二輪的選手中來自B部門的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題12.0分)

己知橢圓C：，+，=l(a>b>0)的離心率是?，點M(2,G2)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)直線1：丫=依與橢圓。交于4B兩點，在y軸上是否存在點P(點P不與原點重合)，使得直

線P4PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值？若存在，求出P的坐標(biāo)：若不存在，請

說明理由.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形4BCD是直角梯形，4D14B,AB//CD,PD=「iAB，

PB=CD=2AB=2AD,PC1DE,E是棱PB的中點.

(1)證明：PO_L平面ABC。；

(2)若標(biāo)=4四(0<；lW1),求平面CEF與平面P4B夾角的余弦值的最大值.

FB

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=2lnx-ax+

(1)當(dāng)aNO時，討論f(x)的單調(diào)性.

證明：①當(dāng)時，

(2)x>0ln(l+i)<-^==;

@ln(n+1)<

Vn2+n,nEN*.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為以坐標(biāo)原點。為極

點，工軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線[的極坐標(biāo)方程是2pcos。-psinO-1=0.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線2與曲線C交于4,B兩點，點P(0,-l),求向+向的值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=|x-2|+|x+3|.

(1)求/(%)的最小值;

(2)若%e[-3,2],不等式f(x)>|x+國恒成立，求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：構(gòu)造函數(shù)/(x)=2、+x-3,

因函數(shù)y=2Hy=x-3均在R上單調(diào)遞增，

則/(x)在R上單調(diào)遞增，

又/⑴=0，

則2工+》一3>0?x>1,

故A={x|x>1},

B={x\x<3},

則ZCiB={x|l<%<3}.

故選：A.

構(gòu)造函數(shù)/(x)=2X+尢-3,利用其單調(diào)性可化簡集合4,后化簡集合8,后由交集定義可得答案.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：???齊=22,

Az=2i(2-0=2+4i,

??.|z+1|=|3+4i|=V32+42=5.

故選：C.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計算公式即可得出.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由=-

''(40521^1+1,x<0

得/(1)=1-2—1=-2,

則/(/(1))=/(-2)=1+1=2.

故選：D.

根據(jù)函數(shù)解析式，先求出f(l),進(jìn)而可求.

本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由題意可得,其通項公式為Tr+1=qx8-r(-^=)r=(-2)rc^x8_5r,o<r<8,re/v，

令8—~r=5,可得r=2,

所以含/項的系數(shù)是(一2)2或=112.

故選：B.

根據(jù)題意，得到二項式的通項公式，代入計算即可得到結(jié)果.

本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：非零向量，與南茜足m=2|山，且|五+2旬=/司方—2司，

可得片+4a-K+49之—3(a2-4a-b+4石2)，

可得蒼-b=b2,

向量也與坂的夾角是。，

_1石_52_1

COS0==-7=77'

同也12b2

所以向量值與附夾角是余

故選：D.

利用已知條件求解向量的數(shù)量積，然后求解向量的夾角.

本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量的夾角的求法，是中檔題.

6.【答案】4

【解析】解：取等邊AABC的4C邊的中點0,連接。8,則。B_LAC,

過。作的平行線，

則以。為原點，分別以0B、0C、0z為x軸、y軸、z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)等邊AABC的邊長為2,則根據(jù)題意可得：

B(C,O,O),E(0,l,2),D(y[,4),F(0,—1,2),

???麗=(-Cl,2)，而=

\BEDF\4_￡14

/.|cos<DF>\=

\BE\\DF\—7

???異面直線BE與DF所成角的余弦值為手,

故選：A.

取等邊△ABC的4C邊的中點。，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用異面直線所成角的計算公式

即可得結(jié)果.

本題考查向量法求解異面直線所成角問題，向量夾角公式的應(yīng)用，屬中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：因為平均數(shù)為空吟之=9,

所以x+y=18,

因為方差為(9-9)2+(8.7-9)2+(9.3-9)2+(x-9)2+(y-9)2=01，

所以(x-9)2+(y-9)2=x2+y2-18x-18y+162=0.32,

所以/+y2=162.32,

又因為(x+y)2=x2+y2+2xy=324,

所以2孫=161.68,

所以(x-y)2=x2+y2-2xy=0.64,

所以|x-y|=V(x—y)2=0.8.

故選：D.

先由平均數(shù)和方差分別得到x+y和/+y2的值，再整體代入計算|x-y|的值即可.

本題主要考查了數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

［解析］解：/(%)=Inx-2x-a,f'(x)=g-2,

由“有源”函數(shù)定義知，存在%0，使得欣0-2&-a=；-2,即。="無0-2*0-白+2有解,

記9(&)=lnx0-2x0-^-+2,(x0>0),所以a的取值范圍是函數(shù)g(x())的值域，

*0

則g'Oo)=--2+4=3崢蟲=_(2x0+i*T),

xo蛤蛤好

r

當(dāng)0cxo<1時,g(x0)>0,此時g(&)單調(diào)遞增,

r

當(dāng)g>1時,g(x0)<0,此時g(x())單調(diào)遞減，

所以g(x(j)<g(l)=Znl-2-1+2=-1,所以a<-1,

即a的取值范圍是(一北一1］.

故選：A.

根據(jù)“有源”函數(shù)概念，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)值域即可得到參數(shù)a的范圍.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：/(x)=—2(|cos2x—sin2x)sin2x—=V-3sin22x—sin2xcos2x—

=-----cos4x--sin4x——=—sin(4x+-)>

對于A,f(x)的最小正周期7=與=*4錯誤；

對于B,當(dāng)x6售幣時，4x+g€［兀,等，此時y=sin(4x+/單調(diào)遞減,

在《，白上單調(diào)遞增，8正確；

對于C,令4x+/=/OT(kez),解得％=與一行(kez),此時f(x)=o,

???/(X)的圖象關(guān)于點(第一自0)(卜ez)對稱，C錯誤；

對于O,當(dāng)無€［―*,0］時，4x+g€［-.,§,貝!lsin(4x+今6

???/?(%)在［—a0］上的值域為［-?,1］,。錯誤.

故選：B.

利用兩角和與差的余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡f(x)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)判

斷各選項即可.

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解：若按要求用5種顏色任意涂色：

先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇，

再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇：

若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇，

則共有5x4x(lx3x3+3x2x2)=420種方法，

若恰只用其中4種顏色涂色：

先在5種顏色中任選4種顏色，有CJ種選擇，

先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇，再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊

有2種選擇;

為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇，

若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇，

則共有廢.4x3x(1x2x14-2x1x1)=240種方法，

故恰用4種顏色的概率是孤=點

故選：C.

先求用5種顏色任意涂色的方法總數(shù)，再求恰好用完4種顏色涂色的方法總數(shù)，最后按照古典概型

求概率即可.

本題主要考查組合及簡單計數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得F(2,0),顯然5％斜率存在且不為0，

設(shè)直線h方程為y=kQ-2),設(shè)B(x2ty2V

由匕2^；：-2)，得上2%2-(4/+8)x+41=0,

OO

*,?/&=4+E|J\AB|=%I+%2+4=8+

以一j弋替上式中的k，可得|CD|=&+刀4+4=8+81,

.-.S=1|?lfi||CD|=i(8+^)(8+8fc2)=32(2+/c2+^)>32(2+2

當(dāng)且僅當(dāng)42=二，即卜=±1時等號成立,

k

四邊形4DBE面積的最小值是128.

故選：C.

兩條直線的斜率都存在且不為0,因此先設(shè)一條直線斜率為匕寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立

求出相交弦長，同理再得另一弦長，相乘除以2即得四邊形面積，再由基本不等式求得最小值.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，焦點弦問題，四邊形面積的最值的求解，函數(shù)思想，基本不

等式的應(yīng)用，屬中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：bcosA-cosB=1,即bcosA=cosB+1,a=1,

???bcosA=(cosB+l)a,

二由正弦定理得：sinBcosA=(cosB+l)sinA,即sinBcosA=sbiAcosB+sinA,

???sin(B—A)=sinA,

?■B-A=4或B-A+A=ir,解得B=24或B=兀(舍去)，

又???△ABC為銳角三角形，則C=;r-4-8=兀-34

/0<4<為TC(0<A<^TC

.??<OV8<3=，OV2/<3,解得:<A<1，

LILO4

I0<C<I0<7T-3/1<

???y/~3sinB+2sin2A=V~3sin2A4-1—cos2A=2sin(2A—7)+1,

o

又喂“可

A71It

/.-7T</2cA—<

663，

???!<sin(2A-^)<?，

2<2sin(2A—^)+1<+1,即1乳inB+Zsi/a的取值范圍(2,，石+1).

故選：B.

由正弦定理邊化角可得B=24由AABC為銳角三角形可得看<4<,，運(yùn)用降次公式及輔助角公

式將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)y=2sin(24—令+1在京,力上的值域.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：因為雙曲線C：/1缶>0/>0)的離心率是2,實軸長為2,

所以5=2,2a=2,解得a=l,c=2,

所以雙曲線C的焦距是4.

故答案為：4.

根據(jù)已知條件，結(jié)合離心率的公式，以及實軸的定義，即可求解.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】招

【解析】解:因為sin(2a-^)=sin［2(a+1)-^］=-cos2(a+^)=1-2cos2(a+［)=-；.

故答案為：-

首先將sin(2a-6化簡為sin［2(a+$—今，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可得到答案.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】［-1,1)

【解析】解：?.?函數(shù)f(%)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱,

.??函數(shù)/?(》)―1的圖象關(guān)于原點對稱，

令g(x)=f(x)+x-1,則g(x)為奇函數(shù)，

又/(x)是在［-4,4］上的減函數(shù)，

g(x)也是在［-4,4］上的減函數(shù)，

又/(2x)+/(x-3)+3%-5>0等價于：

g(2x)+g(x-3)>0,又g(x)為奇函數(shù)，

???g(2x)>g(3-x),又g(x)是在［-4,4］上的減函數(shù),

(2x<3—x

???j-4<2x<4，解得一13％<1,

1―4<3—%<4

.??原不等式的解集為［一1,1).

故答案為：［—1,1).

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=/(x)+x-1,根據(jù)題意可易得g(x)為［-4,4］上的減函數(shù)和奇函數(shù)，

再利用其奇函數(shù)和增函數(shù)的性質(zhì)求解不等式，即可得解.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和對稱性，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬中檔題.

16.【答案】V33

【解析】解：如下圖所示:

設(shè)41c與平面Be】。交于點E,易知4clBO,_L平面ABC。，

由BCu平面4BCD,所以J.BD,又A41nAe=4，AC,AArc,^^AA^C,

所以BDJ■平面44修，41cu平面A&C,所以BD1&C,同理可證BC】1ArC,

由BDCBG=B,BD,u平面所以41cl平面BCR.

因為UQ-BCD=I-^ABCD-CCr=~ShBCD-CE,所以CE=?CCi=131rgX3=U,

0°]X3V2X2

又因為&C=732+32+32=3，？，所以CE=；&C.

倍長EC至F,則EF=2CE=陶傳=&E,

故點F是點4關(guān)于平面BG。的對稱點.

那么有|&P|=\FP\.

所以MiP|+RP|=\FP\+\DrP\>\DrF\.

如下圖，以C為原點，CD,CB,CG分別為x軸、y軸、z軸建系，

則5(3,0,3),人(3,3,3),CF=-ic^=(-1.-1.-1),即尸(一1,一1,-1).

所以|2F|=J(3++(0+1產(chǎn)+(3+1產(chǎn)=<33.即|4P|+|。/|的最小值為，

故答案為：V^3.

根據(jù)正方形體對角線41c與平面BCi。垂直，找到點兒關(guān)于平面BC1。的對稱點F,將4P轉(zhuǎn)化為FP,

再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得|4P|+|DiP|的最小值為|D/|,最后通過建系利用坐標(biāo)計算得QF的長

度即可.

本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，兩點間的距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為爭出=爭+1,

an+lan

所以a-掃=:，

an+lan2

所以數(shù)列｛*｝是以2=1為首項，9為公差的等差數(shù)列，

anU1乙

所以衿竽，則%=亨斯，

anL/

當(dāng)nN2時，Sn_i=]cin-1，

兩式相減得與=寫冊即B；=3，

LL"九一1**?

所以即=w?吧?一??…絲?％=TN.?…2=2n；

%1-1an-2an-3aln~^n—21

(2)由(1)得上=亨an=n(n+1).

所以為=2=島五=:備

所以〃=i曰+A：+…+>+=i一六

【解析】(1)先根據(jù)生旦=爭+1,可得數(shù)列心｝是以〈為公差的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列｛河的通

a

n+lanan乙an

項，再根據(jù)廝與S”的關(guān)系結(jié)合累乘法即可得解：

(2)先求出數(shù)列｛b｝的通項，再利用裂項相消法即可得解.

本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了裂項相消法求和，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門為事件A,

_36

則P(4)

55,

故進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門的概率為

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)=梟各P(X=1)=警=||,P(X=2)=警=||,P(X=3)=^=急,

則X的分布列為：

X0123

4

p72814

335555165

所以E(X)=°x,+lx||+2x裝+3'展=號

【解析】(1)進(jìn)入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門分為來自A,B,C三個部門，分別求

出其概率，由分類加法計數(shù)原理即可得出答案;

(2)求出X的可能取值及每個變量X對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出E(X).

本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴由題意可得:=年去+1=1，a2=b2+c2,

聯(lián)立解得a2=8,b2=4,

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+[=1.

84

(2)設(shè)4(x1%),B(尤2/2)，

假設(shè)在y軸上存在點P(0,t)(tR0),使得直線P4PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值.

直線P4的方程為+與x軸交點為M(B~,O)；

XIC

直線PB的方程為y=+t,與x軸交點為N(夸■,()).

x21及

把y=kx代入方程誓+q=1，解得/=湛區(qū)=-X1X2,y2==一y/2，%+，2=

-8心

.|rv|_t2|xiX2|_12|犯型|_1+2J(2_I?_?-8,

"即孫?一I(t-yi)(t-y2)l-M+yM一「2」已一?(1+2/片_8m—?(2-72+/，

￡

令2=0,解得t=±2,

???在y軸上存在點P(0,±2),使得直線P4PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值8.

【解析】⑴由題意可得*早盤+城=1，a2=b2+c2,聯(lián)立解得a2,爐，即可得出橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)4(%,%),B(x2,y2),假設(shè)在y軸上存在點P(0,t)(tO0),使得直線PA,P8與x軸交點的橫

坐標(biāo)之積的絕對值為定值.直線P4的方程為丁=*：￡%+3與x軸交點為M(m,0)；同理可得直

xiLy\

線P8與％軸交點為N(言^,0).把y=依代入方程［+9=1，解得％2=一/％2，y2=一%%?計算

風(fēng)喇=忐段廣禹篇,進(jìn)而得出結(jié)論.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、定值問題，考查推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：取CD中點M,連接BD、BM,設(shè)PB=CD=2AB=2AD=2a,：.DM=CM=

AB—AD-a.

"ADLAB,48〃CD,?,.四邊形ABAW為矩形，

BD=BC=\/~2a,■■BD2+BC2=CD2,:.BD1BC.

PD=y/-2AB=y/-2a=BD,E是棱PB的中點，二DE_LPB.

vPCIDE,PCCPB=P,PC、PBu平面PBC,DEL平面PBC,

又BCu平面PBC,DE1BC.

?：BDCDE=D,BD,OEu平面PBD,二BC_L平面PBD,

?.?又PDu平面P8。，???SCO

vPB2=PD2+BD2,：.PD1BD,BCCBD=B,BC,BDu平面ABC。，二PD_L平面A8CD；

(2)因為ZM,DC,DP兩兩垂直，所以以。為坐標(biāo)原點，以ZM,DC,DP所在直線為x,y,z軸建

則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),D(0,0,0),P(0,0,<7a),E(?子)，

VAF=AAB(0<A<1)，AB=(0,a,0)，BP(xF-a,yFfzF)=A(0,a,0),AF{a,Xa,0).

設(shè)平面DEF的法向量為1=(x,y,z),DF=(a.Aa,0),DE=(瑞,竽)，

"Q+Q7+V_2Qz=0,令“九得平面MF的法向量記=(尢一

Iax+Aay=0V'

設(shè)平面p/B的法向量為沅—Q,u,w),R4=(a,0,-42a),

則pH?P4=0,即—V~2aw=0

、(沅?荏=0Qu=0,令w=l,得平面/MB的法向量沆=(。,0,1),

|mn|_?(入+1)_2+1_>/~3a+i)2_xTi

所以|cos〈沅，孫2

回"川「I3'-2"cj3-—24+333(A+l)-8(A+l)+8-3

1

o~8I8

3一而+而

令「=告€修，1)，則KOS(或?qū)O='?］蔚百=??而扁p

N2

則當(dāng)t=<，B|U=1時，|cos師,孫取得最大值為字.

故平面CEF與平面P4B夾角的余弦值的最大值為容.

【解析】⑴由線線垂直證。E平面PBC,并依次證DE1BC、BCL平面PBD、BC1PD、PD，平

面/BCD；

(2)由向量法求面面角，建立面面角余弦值的函數(shù)，進(jìn)而討論最大值.

本題主要考查直線與平面垂直的判定，平面與平面所成角的求法，考查空間向量法的應(yīng)用，考查

邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.

21.【答案】解:⑴由題可知尸(%)=；_吁*一2藍(lán)T,

當(dāng)a=0時，((曾:專1,令廣。)>0,得在(0,今單調(diào)遞減，在?,+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)a〉0時，4=4—4a,

(i)當(dāng)0<Q<1時，f'(x)零點為%1=1—(1—a,全=1+(1—a，

令/(%)>。解得1—V1—a<x<1+V1—a,

故/(%)在(1一、1一見1+J1一砂單調(diào)遞增,在l—a),(1+“1一a,+8)單調(diào)遞減;

(〃)當(dāng)aNl時，Zl<0,f(x)<0,/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)a=0時，/Q)在(0，)單調(diào)遞減，在弓,+8)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時，f(x)在(1一/1^,1+/=￡)單調(diào)遞增，在(0,1--7=^),(1+

V1—CZ,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)Q21時，/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減.

(2)證明:①金=市=/^7]一啟也(1+3<卷=也(1+3<^771一啟

令J1+[=t,其中te(l,+8)

則不等式解<1一：成立，即函數(shù)/?)=2仇t-t+：在te(1,+8)恒小于零，

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由(1)可知，/(t)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，/(t)</(