2023年河北省廊坊市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考真題(含答案)

2023年河北省廊坊市普通高校對口單招高

等數(shù)學一自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（20題）

1.

設z=F,則生=

oy

A.B.yx3>-1

C.x3>\nxD.3-lnx

2.當x-0時,x+x2+x3+x，為x的

A.等價無窮小B.2階無窮小C.3階無窮小D.4階無窮小

3.前饋控制、同期控制和反饋控制劃分的標準是（）

A.按照時機、對象和目的劃分B.按照業(yè)務范圍劃分C.按照控制的順序

劃分D.按照控制對象的全面性劃分

4.

設>=/-2x+%則點x=M

A.為y的極大值點民為）的極小值點

C.不為y的極值點D.是否為］的報值點與“有關

2

曲線？=匕￡

5.一e

A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近

線，又有鉛直漸近線

6.微分方程yy，=l的通解為

A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.l/2y2=Cx

D.l/2y2=x+C

7.

設f(幻為連續(xù)函數(shù)，則為

A.f(t)B./(r)—/(a)

C.7(x)D./(x)—/(a)

8.當x-0時與x等價的無窮小量是

sinz

A.A,丘

B.ln(l+x)

2（—八一工）

D.x2(x+1)

下列命題正確的是

A.函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加且在(a,b)內(nèi)可導，則必有f(x)>0

B.函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極大值必大于極小值

C.函數(shù)在(a,b)內(nèi)單調(diào)非噌，則必有f(x)WO

9.D.函數(shù)的極值點處必有二階導數(shù)不等于零

A.21nhl|.CB.噸7"

10?一告"D/"

A.A.21nlz|+C

Bln|x+l|+C

C.一磊7記

—J+c

D.(x+!)2

設收斂,s"=’則Hms?

/■1

A.必定存在且值為0B.必定存在且值可能為0

C.必定存在且值一定不為0D.可能不存在

■JL?

12.

設/(X)=cos!，則f(—)=

XK

A-fR-f7

D--T

13.設f(x)在點xO處連續(xù)，則下面命題正確的是()

lim/陞)可能不存在

A.A.1工。

1im/(4)必定存在，但不一定等于/(%)

B.I。

必定存在，且等于/(%)

Q^140

/(*0)在點*0必定可導

D?

14卜os(x-1)dx=().

A.A.sin(x-1)+C

B.-sin(x-l)+C

C.sinx+C&nbsbr;

D.-sinx+C

?sin'x

x#0

/(x)=(x2

15.設函數(shù)&,二°在x=0處連續(xù)，則等于（）。

A.2B.l/2C.lD.-2

16.函數(shù)z=x2-xy+y2+9x-6y+20有()

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值

f(-4,1)=-1

17.

極限lim（左七：=

A8\X/

A.B.e

C.e2D.1

1-V&K等于（）'A-~~~~+C

JLd.JsenxA?sinx

C.-cotx+C

D.cotx+C

8

（-1）7

z"（k為非零正常數(shù)）（）.

19.級數(shù)"=i

A.A.條件收斂B.絕對收斂C.收斂性與k有關D.發(fā)散

20.

「而g：i-2i+3:+I=0.

2…2=0-

A.盛直B.斜交

二、填空題（20題）

21.

設I=f（z~）dy,則轉(zhuǎn)化為極坐標后，1=.

設的）=息，則｛）=------------

22.

ffx-2+-^d.t=_______.

23.」I'J

24.

函數(shù)/1(幻=23?：31刀-；11)(1+"2)的單調(diào)增區(qū)間是

25.fx(x2-5)4dx=o

26.

Jxe^dx=.

27.設f(x,y)=sin(xy2),則df(x,y)=

設f(x)=sinx,則f"(x)=__________.

28.

f'dxf'dy=_______.

29.Jo

30.

設/(x)dx=F(x)4-C，!)l<Jj/(sinz)cosxdx=

設limf--ol=0.貝ija=.

31.

32.

設函數(shù)y=x21nx,貝IJy=.

33.

設y=f(x)可導，點xo=2為f(x)的極小值點，且f(2)=3.則曲線y=f(x)在

點(2,3)處的切線方程為.

產(chǎn)=+/),

、凡rIdy

設(r,則：=

=Isinu'du,d.T

34.Jo

35.

設f(x)是連續(xù)函數(shù)且f(l)=3,貝ijlim」一rf(t)dt=________.

Ilx-lJI

36.

設f(x)在x=0處可導，且lim坨二打二型=1,則八0)=

設：=jT3*_y+2：/—y,則今十常=

38.

通解為+。2尸酎的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是

若limW—-=2.則必有a=__________.

39.n

40.

計算/a

三、計算題（20題）

41.研究級數(shù)二的收斂性（即何時絕對收斂，何時條件收斂，何

時發(fā)散，其中常數(shù)a>0.

42.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e025P,當p=10時，若價格上漲

1%,需求量增（減）百分之幾？

43.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點（1,1）處的切線1的

方程.

44.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為15x2+y2W4,x>0,y>0,

其面密度

u（x,y）=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.

45.計算片也

46.求-階線性微分方程滿足初始條件>I1=。的特解,

47.求微分方程、"+3<+2>=。的通解.

40n.計算I七r.

49.證明:當*>1時.x>l+lnx.

50.求曲線'=9+2在點(1,3)處的切線方程.

51.求函數(shù)f(x)=x3-3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

52計算［arcsinxdx.

53.設？=z(7)是由方程/+)1=0所確定的隱函虬求青,

54.設拋物線Y=Lx2與x軸的交點為A、B,在拋物線與x軸所圍成的

平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2-1所

示).設梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(x)的表達式;

(2)求S(x)的最大值.

55.求微分方程yn-4y'+4y=e-2x的通解.

56.

設區(qū)域D為:丁+丁44,?20,計算『"Tydrdy.

57.將f(x)=e-2X展開為x的塞級數(shù).

求觸級數(shù)￡2叮2"的收斂區(qū)間(不考慮端點).

58.

59.當x—0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，貝！j

60.求函數(shù)f(x)='-=一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

四、解答題(10題)

一計算［

62.1

63.

求，+H2y2)"dy,其中D由y=工2,y=4/,y=1圖成.

判定級數(shù)￡一，g）仆）的斂敢性.

64.

65.

設Z=X,yx，求H登+y至.

求fln(l+/)d.r.

66.J

67.

已知》=2xarctan子,求，.

求parcsin^dr

68.J4(1-2

69.

里,X=0】-J1/力1的嘉級數(shù).

4v..x-sinx

*hm----5-

70.i°x

五、高等數(shù)學（0題）

71.曲線y=x3—12x+l在區(qū)間（0,2）內(nèi)（）。

A.凸且單增B.凹且單減C.凸且單增D.凹且單減

六、解答題（0題）

72.

要造一個容積為321r立方厘米的圓柱形容器,其側(cè)面與上底面用同一種材料，下底面用

另一種材料.已知下底面材料每平方厘米的價格為3元，側(cè)面材料每平方厘米的價格為I元.

問該容器的底面半徑r與高入各為多少時，造這個容器所用的材料費用最??？

參考答案

1.D解析

Z=求生時，認定X為常數(shù)，因此Z為y的指數(shù)函數(shù)，可知

■lnjc(3y)*=3JC3,1JIX

蘇

所以選D.

2.A

本題考查了等價無窮小的知識點。

j+j2+j3+x<

lim=lim(I+x+x2+x3)=l,故工+/+^+/是工的等價無窮小.

3.A解析：根據(jù)時機、對象和目的來劃分，控制可分為前饋控制、同期

控制和反饋控制。

4.B

J-Uf為一元函數(shù)的極值.

'Ah0-：-?勺：先求出函收的一階導致.令偏導數(shù)等于零,確定函數(shù)的駐點.再依極值的

一.戈在點是否為極僮點.

:產(chǎn)=--11?%可由

1'=2A-2=0.

b,TW駐點”I.又由于>”=2,可油知、”=2>0.

I??）

氣值的充分條件可知X=I為y的極小值點..故應選B.

--*利用配方法,可得V=（T-I）：+O-I-I.JIV=。T,由極值的定義可知X=|

.'乃極小值點.因此選B.

5.D

本題考查了曲線的漸近線的知識點，

因limL±±4Z=1,所以》=1為水平漸近線,.又因lim】+e：=8,所以N=°為鉛直漸近線..

X-oo]_e-XL01—e-

6.D

由微分方程yy'=l,

分離變量ydy=dx,

兩端分別積分卜砂=Jdr,；/=x+C,故選D.

7.C

8.B

本題考查了等價無窮小量的知識點

sinx

對于選HA,lim=lim封竽=lim=8.故舊”是在n->。時的比z低階的無窮小j對

x*°nxTxT五

于選項B,lim”,1+1)=lim1：—T—=1,故ln(14-x)是z->0時與z等價的無窮?。粚τ谶x項C,

■r~?0JCx-?01十X

lim2('1+』一/1二三2二limZV.G?—=.-：------1一=2,故

-QxL°x?(+工+y/l—x)a*0J\+z+-J\—x

2(y/\4-x—\/l—JC)是N--0時與x網(wǎng)階非等價的無窮??；對于選貨D.lim/'*+1)=1)==0,故

x-M)Xx-*0

1+1)是z-o時的比］高階的無窮小.

9.D

10.A

f-^-j-dr=f-^yd(x+l)=21n|x+l|+C,故選A.

11R［解析］由級數(shù)收斂的定義可知應選B.

JLJL

12.C

13.C

本題考查的知識點有兩個：連續(xù)性與極限的關系；連續(xù)性與可導的關

系.

連續(xù)性的定義包含三個要素：若f(x)在點xO處連續(xù)，則

(l)f(x)在點xO處必定有定義；

iim/(x)

⑵工一10必定存在；

lim/(x)=/(x0).

由此可知所給命題C正確，A,B不正確.

注意連續(xù)性與可導的關系：可導必定連續(xù)；連續(xù)不一定可導，可知命

題D不正確.故知，應選C.

本題常見的錯誤是選D.這是由于考生沒有正確理解可導與連續(xù)的關

系.

若f(x)在點xO處可導，則f(x)在點xO處必定連續(xù).

但是其逆命題不成立.

14.A

本題考查的知識點為不定積分運算.

j,cos(x-1)dx=Jcos(x-1)d(x-1)

=?in(x-I)+C.

可知應選A.

15.C

本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念。

.22

lini/(x)=lim'=lim^y=1,

*—?0x-*0x—*0

由于f(0)=a,

f(x)在點x=0連續(xù)，因此，故a=L應選C。

」，一“++9]一6y+20.于是當=2]-yT9,當=一工+2y—6.

oxdy

噫=噫=彳"—4.1〉.又嗡=2.矗一嗑=2.

我對于點（一4.1）?A=2.8=—1,C=21?-AC=-3V0,

16?D且A>°?因此。=/（］?￥）在點（一4.1）處取得極小值，且極小值為/（-4.1）=一

17.C

18.C本題考查的知識點為不定積分基本公式.

由于[—dx=~cotx+C.

Jsin2x

可知應選C.

19.A

本題考查的知識點為級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.

u=

%=（一1）"?備I-1y?Ep=2t七=￡l%l

nnA

若記，則V.其中k為正常數(shù).由于',為3的威數(shù)，它為發(fā)財數(shù)，因此一,V"為發(fā)散級敢.可以拄

除選項8.

￡（一1）”《

放錯級政，由萊布尼茨判別法可知其收斂.故知"為條件收斂.應選A.

20.A

器匕。青的知識點為兩1t面的關系.

兩平面的關系可由兩平面的法向W?.”川的關累確定

若“一”：.則兩平面必定垂伍

4,B,C,D,

若==石時.兩平面平行.

4?fi?C?j

當?=*?U=U時?即平面代合,

若明與〃既不垂直?也不平行.《!兩平面外交.

由于%=(I?-2.3),/!=(2.1.0)./I-II=0.?jn〃.二工-TT：?應選\.

8?小腮選B.

本的考查的切識點力偏崢蟲士U.

由于：=t?n(xy>.火此

：.H應選\.

21.

rfr2?co^

dj/(rcos5?rsin5)rdr

/(rcos09rsinO)rdr

(1)2

［解析］/(x)=fXx)=J'--Z=TT-^-T.

l-x(l-x)(1-x)

22.

23.

［解析］小一2+Jdr=jxdx-2加+片曲=#一2x4-ln|x|+C.

24.

、2x2-x

f(x)=---7----7=---7

1+x2l+x21+x2

令ra)=O，由2-x=0得“2.

當x<2時，/(x)>0；當x>2時，:(x)<0,所以/Xx)的單調(diào)增區(qū)間是(YO,2).

25.

xCx2—5)4dr—yjcx2—5)*d(x2—5)

6+C=W-5>+C.

26.

4-(e—1)

27.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x

y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也

現(xiàn)，義

可先求出也中，而得出df(x,y).

-sinx

［解析)(sinx)"=cosx.(cosx)*=-sinx.因此，($inx)"=-sinx.

28.

29.1

3O.F(sinx)+C

31.

31

［解析1由于=lim(3.4;_-=3-a?由3-a=0,知a=3.

32.

33.

34.

SIUt

a［1+2z)

本題考查的知識點為兩個：參數(shù)方程形式的函數(shù)求導和可變上限積分

求導.

dy

dy市

dxd*'

dt

x=a(/+r),

y-Isinu'du,

由于當*=w(D,y="(z)時，Jo

dx/1r、dy.2

—=a(1+2/),——=sint

可得：d/山，因此

dy_sint

dxa(1+2z)

Hx-1\

—_IJnn-/-(x-)

d1

p/odz

■c2又f(x)是連續(xù)函數(shù)，liE"*)=7(D=3,故有l(wèi)im/——=3.

35.33解析：e—x-1

36.

2

麗迪二以3=5二"2幻7(叫

［解析］

xx-+0x

=2】im《25°)

=27(0)

x-?o-2x

由￥'(0)=1,得八0)=L

2

37.

51七吁】

38.)'"+3y'+2?=0y"+3?'+2y=0

39.

2

[解析)由題設條件，分子與分母都為二次整式.系數(shù)之比為2,故a=2.

40.

【解題指導】本題考查的知識點為定積分的換元積分法.

111

fJ]dz=f,de=fbd(e'-1)=InIe*-II+C.

41.

【解析】記”“=(-1尸口.則i“,i=V從而知y??.?=y士為P級數(shù)，且

nnn

當a>l時，ye收斂，因此I)-'二絕對收斂.

??in???n

當0<aWl時，y'發(fā)放，注意到此時￡(-1)“'2為交錯級數(shù)，

rrinn

I"」=—>

n("1)?

limIu,I=lim—=0,

由萊布尼茨定理可知當0<aWl時,z(-收斂.故此時￡(-1尸e條件收斂

???nrTin

IQOe-1,<(--0.25)

=0.25p

100/2%

42.需求規(guī)律為Q=100ep-225P7<?o>'2.5??.當P=10時

價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep225P,

=100ef,g^<(-0.25)

小p)=0.25戶

lOOeo25>~

7<10)*2.5

??.當P=10時，價格上漲1%需求量減少

2.5%

43.

y=x-lnx的定義域為(0,+8),y'=

當x=l時,廣=0；當Ql時,y'>0,函數(shù)y=x-lnx單調(diào)增加.

當0<%<1時，y'<0,函數(shù)y=x-lnx單調(diào)減少.

曲線y=x-lnz在點(1.1)處的切線方程為尸1=0.

44.由二重積分物理意義知

m=Jp,(x,y)d(r=/(/+)dxdy=jdefr'dr=-^-n.

45.

【解析】令，=&.則x=/,dx=2,市.當x=0時,，=0;當*=I時，=I

JJdx=J2le'dt

=2(fe[°-Je'dz)=2(e-e|o)=2.

46.由一階線性微分方程通解公式有

)=(卜(Qeidx+C)

=唐(jxe'^d*+C)

=/""(j*.e''"d*+C)=x(卜ydx+。)=,

將rl-=0代人上式.可得C=-l,因此所求特解為y=J-x?

47.

(解析】特征方程為r'+3r+2=0.

特征根r,=-2,rj=-l.

方程的通解為y=C,e-s-+C,e-,

48.

/匕￥k/畀+/￥&

=Inx+pnxdlnx=Inx+—(Inx)2+C.

或/I，.3dx=((I+Inx)dln*=1(1+Inx)d(I+Inx)

--i-(I+Inx)2+C.

49.

設/(X)=kl-lnx.則/(工)的定義域為(0,+8).

/,(*)=1-J-,

?

令廣=0得x=l.

當X>1時/'(?)=l-y>0.可知/(*)單間增加.

由于〃l)=o,可知當X>1時J(x)j/(1)=O.從而x-l-lnx>0.即

50.曲線方程為'=3+2,點⑴3）在曲線上.

，2,_

>.二-2,因此所求曲線方程為「3=-2（1）,或?qū)憺?x+y-5=o.

如果函數(shù)y=f（x）在點x0處的導數(shù)F（xO）存在，則表明曲線y=f（x）在點

（xO,fxO））處存在切線，且切線的斜率為F（xO）.切線方程為

如果/'（與）射0,則曲線y=/（x）在點（%J（x。））處的法線方程為

"（%）=-yI。）.

如果/''（x-XO.則v=〃x.）為曲線v=/（x）在點（心處的水平切線.

51.函數(shù)的定義域為

（-8,+8）.f'（x）=3X!-3.

令r（#）=o.儡融點J,=I.列裘得

X(-?.-1)-1(-I.D1(1.+8)

/,(*)0-0

川）…

/(>)/

為極大（ft為極小值

函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（-8+?）.

函數(shù)/（X）的單詞減區(qū)間為[-1,1].

“-1）=3為極大值為揭小侑.

注意

如果將（-8,-11寫成（-8「1）,將”.+8）寫成（I.+8）,爵f-1,11寫成（-1,1）也對

52.

f

設〃=arcsinxtv=1,則

=xarcsinx?y/(l_/)丸(]_鳥

=xarcsinx+J\-x+C.

53.

利用隱函數(shù)求偏導數(shù)公式，記

F（x.r,j）=x,+y,-e*.

則

F：=2x,F：=-e'.

—dz二——尸：■=—2x.

也F：e'

54.

由f=j'解得X=±1,則A、B兩點坐標分別為

|y=0

A(?l.O)和8(1.0).4B=2,

(1)S(x)=y(2+2x)d-x2)=(l+x)(l-x2).

(2)S'⑺=-3/-2x+l,令S'(1)=0,即(3—1)(加)=0,得小廣卜產(chǎn)-1(舍去).

S*(x)1=(-6x-2)|,=-4<0,則T為極大值.根據(jù)實際問題,sT為最大值.

I???T\JJ2/

55.解：原方程對應的齊次方程為y”-4y，+4y=0,

特征方程及特征根為^-4r+4=0,八2=2，

齊次方程的通解為y=（G+G）e”?

在自由項/（x〉=e2中,a=-2不是特征根，所以設/=代入原方程，有

故原方程通解為y=（G+G）

1O

56.

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

4廠42,

j+y2dxdy=J/[dr

D

=「*”

JoO0

=[^de=

Joo-61-K.

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

04647：,04廠&2,

0+y2dxdy=J面［dr

=r9『而

=J:I■龍=8

尹

57.

【解析】由于e.=N>-83+8)?可得

(-2x)\y(T)?2〉?

-8<x<+?).

n!Jnl

由2|x:|<l可解得I1

故所給級數(shù)收斂M間為卜方9

59.由等價無窮小量的定義可知"痣"L

60.

的定義域為(-8,0)U(0.+8).

/,(x)=2x+4j-(x)=2-4.

rr

令/'(x)=0得工=-l;令廣(x)=0.得x=：2

列表：

X(-?.-i)-i(-1.0)0(。⑶(蘇,+8)

y'-0.

y".-0

/（-D=3拐點

\uZu沒定義ZnZu

為極小值（反0）

函數(shù)/（為的單調(diào)減少區(qū)間為（-8,-1）;單調(diào)增加區(qū)間為（-1.0）1；（0.+8）;極小值為

/（-I）=3.

曲線y=/（x）的凹區(qū)間為（-8.0）0（5.+8）：凸區(qū)間為（0.與）：拐點為（萬.0）.

說明

由于，（工）在點工=0處沒有定義.因此，（%）的單調(diào)增加區(qū)間為（-1.0）0（0.+8）,不

能寫為（0.+8）!

2x3-x2-x6X2-2X-\33

hm------：---------=hm----------2—

6i，“-t-Ii2x2ii2x2

62.

卜了'dx=2卜=2eT*+C.

63.

解：如圖所示

原式=匕十值2^3（7

=2jf°di?j.4612…3rdy

=@：款》=伊一i?巧打

2r174.142?1

=TJ,=胡?豆"0

_7

=翦

解：如圖所示

原式=

=0+6工2?2加

D

=zjb]"，d?

=2K*W,dy=K(?—iyl戶

2r174.142*1

=g)心=西?豆"0

=z

54

64.解:

u,=:二含有卷數(shù)“>0.要分情況討論：

Id,

(1)如果0<a<1.則1irn“.=lim,]；=1#0.由級數(shù)收斂的必要條

件可仙,原級數(shù)發(fā)放.

(2)如果a>l.令“-(b、因為!'<J,因而X。?是收斂的?比較法，

0°…

所以w>.也收斂

?7

(3)如果ar1?則“■二；一9?