線性代數(shù)第一章15課件

§1二階與三階行列式一、二階行列式二、三階行列式用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行(row)、豎排稱列(column))的數(shù)表1.定義即主對角線副對角線對角線法則2.二階行列式的計(jì)算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.3.則當(dāng)系數(shù)行列式例1解二、三階行列式1.定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.對角線法則2.三階行列式的計(jì)算注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．例2解(1)方程左端§2全排列及其逆序數(shù)一、概念的引入二、全排列三、排列逆序數(shù)一、全排列問題定義把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）.個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.同理如：12345，54321，43512均為5級排列1.由1,2,…,n-1,n（n個(gè)數(shù)）組成的一個(gè)全排列稱為一個(gè)n級排列。如：12345，54321，43512均為5級排列2.123…(n-1)n(具有自然順序的排列為)標(biāo)準(zhǔn)排列。二、排列的逆序數(shù)在一個(gè)排列中,若數(shù)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.1.定義n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.(即：大的數(shù)在小的數(shù)左邊，則這兩數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序）2.定義

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如排列32514中，3.排列的奇偶性逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.4.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法設(shè)排列為為構(gòu)成的逆序數(shù)則其逆序數(shù)為例1求排列32514的逆序數(shù).例2

計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.§3n階行列式的定義一、三階行列式的結(jié)構(gòu)二、n階行列式的定義一、三階行列式的結(jié)構(gòu)三階行列式說明（1）三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列．例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列二、n階行列式的定義1.定義解:例計(jì)算行列式例4

證明(2)(1)對角行列式例5

計(jì)算上三角行列式解例6同理可得下三角行列式注意

上三角行列式和下三角行列式統(tǒng)稱為三角行列式思考題已知思考題解答解含的項(xiàng)有兩項(xiàng),即對應(yīng)于§5行列式的性質(zhì)一、定義二、行列式的性質(zhì)三、應(yīng)用舉例一、定義行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.

互換行列式的兩行,行列式變號(hào).（列）性質(zhì)2推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有.82582532-===

cc性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)

k

，等于用數(shù)

k

乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零．性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行