專題05二次函數(shù)新定義問題-九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)易錯專題復(fù)習(xí)原卷版

二次函數(shù)易錯專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)新定義問題【易錯點：新定義問題】新定義：新定義是數(shù)學(xué)考試中必考的題型，無論在哪個階段，都會出現(xiàn)新定義，在初中階段的新定義，一般是根據(jù)所學(xué)知識，給定一個定義（可能是后面所學(xué)內(nèi)容）然后進行針對性的考題解答。此類題型，不但考察學(xué)生的理解能力，還考察學(xué)生對于新知識的應(yīng)用和解決問題的能力，是對學(xué)生一個全面的考察，期中、期末或者中考都是以壓軸題或者中等偏上難題來考察，得分率比較低，難度大，題目信息大，學(xué)生很容易出錯。易錯的主要原因①學(xué)生不理解定義的內(nèi)容，一知半解的進行解題，很容易失分②學(xué)生雖然理解了定義的內(nèi)容，但是由于不全面或者沒有聯(lián)系以往的知識問題，導(dǎo)致出錯，出現(xiàn)考慮不周等情況【考點：新定義解決問題】方法指引：先根據(jù)定義理解定義內(nèi)容，再根據(jù)定義轉(zhuǎn)化成已學(xué)知識或者跟已學(xué)知識進行聯(lián)系，其次考慮新定義和已學(xué)知識區(qū)別或存在的陷阱，再根據(jù)定義模仿解題，再考慮新定義前后推導(dǎo)或者變形的問題，再根據(jù)內(nèi)容解題例題1．（22·23下·常州·一模）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于nn≥0的點叫做這個函數(shù)圖像的“n階好點”．例如點1,1是函數(shù)y=x圖像的“1階好點”；點2,1是函數(shù)y=2x圖像的“2階好點”，若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x?a2變式訓(xùn)練1．（21·22下·寧波·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“Y函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點叫做一對“Y點”．若關(guān)于x的“Y函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a>0，且a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點O，且與直線l：y=mx+n（m≠0,n>0，且m，n是常數(shù)）交于Mx1，y變式訓(xùn)練2．（23·24上·長沙·階段練習(xí)）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某直線l經(jīng)過拋物線L:y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的頂點和該拋物線與y軸的交點，則把該直線l(1)若直線y=kx+1是拋物線y=x2?2x+1(2)若過原點的拋物線L:y=?x2+bx+c（b，c是常數(shù)，且b≠0）的“心心相融線”為y=mx+n(m≠0)(3)當(dāng)常數(shù)k滿足12<k≤2時，求拋物線L:y=ax2+3k2?2k+1x+k（a，b，例題2．（23·24上·南通·階段練習(xí)）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離之和小于或等于nn≥0的點，叫做這個函數(shù)圖象的“n階近距點”．例如，點15,15為函數(shù)y=x圖象的“12階近距點”；點(1)在①1,3；②0,1；③?14,12(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+3k?1的圖象的“2階近距點”不止一個，求k的取值范圍；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x2+2nx?n2變式訓(xùn)練1．（23·24上·南通·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)G1的圖象上至少存在一個點，該點關(guān)于x軸的對稱點落在函數(shù)G2的圖象上，則稱函數(shù)G1，G2為關(guān)聯(lián)函數(shù)，這兩個點稱為函數(shù)G1，G2的一對關(guān)聯(lián)點．例如，函數(shù)y=2x與函數(shù)y=x?3為關(guān)聯(lián)函數(shù)，點1，2和點1，?2是這兩個函數(shù)的一對關(guān)聯(lián)點．(1)判斷函數(shù)y=x+2與函數(shù)y=x是否為關(guān)聯(lián)函數(shù)？若是，請寫出一對關(guān)聯(lián)點；若不是，請簡要說明理由；(2)若對于任意實數(shù)k，函數(shù)y=2x+b與y=kx+k+5始終為關(guān)聯(lián)函數(shù)，求b的值；(3)若函數(shù)y=x2?mx+1與函數(shù)y=2x?n24（變式訓(xùn)練2．（23·24上·南通·階段練習(xí)）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)y=1(1)判斷函數(shù)y=x+2的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；(2)求函數(shù)y=x(3)若函數(shù)y=x2?2的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2．當(dāng)W針對性練習(xí)1．（23·24上·長沙·階段練習(xí)）我們約定：圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)．(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的有___________（填序號）；①y=x+2023；②y=?2001x2+2020(2)已知二次函數(shù)y=(k+1)x2+(k2?1)x+1（k為常數(shù)）是偶函數(shù)，將此偶函數(shù)向下平移得到新的二次函數(shù)y=ax2+bx+c．新函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B(3)如圖，已知偶函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(1,2),(2,5)，過點E(0,2)的一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），過點AB分別作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，取AB的中點Q，連接CQ、DQ，分別用S1,①證明：1②求直線AB的解析式．2．（23·24上·西城·階段練習(xí)）對于平面圖形G1、G2和直線y=kx+b（這里k、a．對G1上任意一點p,m，均有m≤kp+bb．對G2上任意一點q,n，均有n≥kq+b則稱直線y=kx+b是圖形G1、G回答以下問題．(1)如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形ABCD和三角形EFG．例如：直線y=?x是正方形ABCD和三角形EFG的一條“分界線”．（i）在下列直線中，可以作為正方形ABCD和三角形EFG的“分界線”的是（填選項的標(biāo)號）；①y=0；②y=x；③y=3x；④y=?x?1（ii）若直線y=kx+1是正方形ABCD和三角形EFG的“分界線”，結(jié)合圖形，求k的取值范圍．(2)如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中有拋物線M:y=?x?t2+2和正方形HIJK，正方形HIJK的頂點H的坐標(biāo)為t+2,0．若直線y=?2x?2是拋物線M和正方形HIJK3．（22·23上·海淀·期中）將平面直角坐標(biāo)系xOy中的一些點分為兩類，滿足每類至少包含兩個點．對于同一類中的任意兩點Px1,y1，Qx2,y2，稱|x如圖，點A，B，C，D，E的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．(1)①點A，C，D，E，O，與點B“聯(lián)絡(luò)量”是2的有；②點M在平面上運動，已知將點D，E，M分在同一類時“代表量”是5，則動點M所在區(qū)域的面積為；(2)已知二次函數(shù)y=4x??2?3上的任一點K均滿足將點A，B，C，D，E，K分為兩類的最小“類籌”大于4，直接寫出?4．（23·24上·南通·開學(xué)考試）定義：對于某個函數(shù)y，若存在實數(shù)m，當(dāng)其自變量x=m時，其函數(shù)值y=2m，則稱m為這個函數(shù)的吉祥值．在函數(shù)存在吉祥值時，該函數(shù)的最大吉祥值與最小吉祥值之差稱為這個函數(shù)的吉祥橫距．特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個吉祥值時，其吉祥橫距記為0．(1)分別判斷函數(shù)y=2x?3，y=x(2)函數(shù)y=x①若其吉祥橫距為0，求b的值；②若?4≤b≤2，求其吉祥橫距n的取值范圍；(3)記函數(shù)y=x2?6xx≥t的圖象為Y1，將Y1沿直線x=t翻折后得到的函數(shù)圖象記為Y2．由Y1和Y2兩部分組成的圖象所對應(yīng)的函數(shù)記為G5.（22·23下·泰州·三模）定義：對于關(guān)于x的函數(shù)y，我們稱函數(shù)y′=yx≤n?yx>n，為函數(shù)y的n分函數(shù)（其中(1)已知點P4,n在一次函數(shù)y=?2x+1的2分函數(shù)圖象上，則n(2)如圖，結(jié)合反比例函數(shù)y=3x的3分函數(shù)，直接寫出：當(dāng)1≤x≤5時，(3)已知a,b是二次函數(shù)y=x2?x?6的1分函數(shù)圖象上的點，當(dāng)?1<a≤k時，滿足?(4)若點M、N的坐標(biāo)分別為m?2，1，m+3，1，連接MN．當(dāng)二次函數(shù)y=x26．（22·23·宿遷·中考真題）規(guī)定：若函數(shù)y1的圖像與函數(shù)y(1)下列三個函數(shù)①y=x+1；②y=?3x；③y=?x(2)若函數(shù)y1=ax2?5x+2①求實數(shù)a的值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標(biāo)是________、________；(3)若函數(shù)y1=x?m（m為常數(shù)）與y2=?2x互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標(biāo)分別為x1、7．（22·23下·鎮(zhèn)江·二模）定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“平衡點”．例如，點?1,1是函數(shù)y=x+2的圖像的“平衡點”．(1)在函數(shù)①y=?x+3，②y=3x，③y=?x(2)設(shè)函數(shù)y=?4xx>0與y=2x+b的圖象的“平衡點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當(dāng)△ABC(3)若將函數(shù)y=x2+2x的圖像繞y軸上一點M旋轉(zhuǎn)180°，M在0,?18．（22·23下·宿遷·二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在到坐標(biāo)軸距離相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等距點”．例如，點(1,1)和?13,(1)判斷函數(shù)y=x(2)設(shè)函數(shù)y=?4x圖象的“等距點”為A、B，函數(shù)y=?x+b圖象的“等距點”為C，若△ABC的面積為23(3)若函數(shù)y=?x2+(2+m)x+2m+29．（22·23下·鹽城·期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個不同的點P(m,n)和Q(?n,?m)為“反射對稱點”、如：點（1，3）和（3，1）是一對“反射對稱點”．(1)下列函數(shù)：①y=x+2；②y=?2x；③(2)直線y=x?4與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖像在第一象限內(nèi)交于點P，點P和點Q為一對“反射對稱點”，若S(3)拋物線y=x10．（22·23上·長沙·期末）新定義：若實數(shù)m，n滿足m?n=1時，就稱點Pm,n(1)判斷點M1,2、N(2)若反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象上存在兩個不同的“雅雋致遠點”A，B(3)已知拋物線y=18x2+c?t+1x+2s+2t?5上存在唯一的“雅雋致遠點”，且當(dāng)?4≤c≤511．（22·23上·南通·階段練習(xí)）定義：若一個函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“等值點”．例如，點(1,1)是函數(shù)y=1(1)判斷函數(shù)y=x+2的圖像上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；(2)求函數(shù)y=x(3)若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖像記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖像記為W2．當(dāng)W12．（22·23上·北京·期中）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點Q中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關(guān)于點Q互為“對稱函數(shù)”．例如，函數(shù)y=x2與y=?x(1)函數(shù)y=?x+1關(guān)于原點O的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為______，函數(shù)y=x?22?1(2)已知函數(shù)y=x2?2x與函數(shù)G關(guān)于點Q0,1互為“對稱函數(shù)”，若函數(shù)y=x2?2x與函數(shù)G(3)已知點A0,1，點B4,1，點C2,0，二次函數(shù)y=ax2?2ax?3aa>0與函數(shù)N關(guān)于點C互為“對稱函數(shù)”，將二次函數(shù)y=ax2?2ax?3aa>0與函數(shù)N13．（20·21·連云港·一模）若一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)y＝kx同時經(jīng)過點P（x，y）則稱二次函數(shù)y＝mx2+nx﹣k為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“共享函數(shù)”，稱點P(1)判斷y＝2x﹣1與y＝3x(2)已知：整數(shù)m，n，t滿足條件t＜n＜8m，并且一次函數(shù)y＝（1+n）x+2m+2與反比例函數(shù)y＝2020x存在“共享函數(shù)”y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2020，求m14．（21·22下·蘇州·二模）定義：若一個函數(shù)的圖像上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點，則稱該點為這個函數(shù)圖像的“好點”．例如，點?1,1是函數(shù)y=x+2的圖像的“好點”．(1)在函數(shù)①y=?x+3，②y=3x，③(2)設(shè)函數(shù)y=?4xx<0與y=kx+3的圖像的“好點”分別為點A、B，過點A作AC⊥y軸，垂足為C．當(dāng)△ABC(3)若將函數(shù)y=x2+2x的圖像在直線y=m下方的部分沿直線y=m15．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)和為0的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點?1，1是函數(shù)(1)分別判斷函數(shù)y=x+2，y=x(2)設(shè)函數(shù)y=?3xx>0，y=x?b的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C(3)若函數(shù)y=?x2+2x≥m的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2，當(dāng)16．（22·23下·南通·二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于某函數(shù)圖象上的一點P，先向右平移1個單位長度，再向上平移nn>0個單位長度得到點Q，若點Q也在該函數(shù)圖象上，則稱點P為該函數(shù)圖象的“n(1)函數(shù)①y=?2x；②y=2x；③y=x+2中，其圖象存在“2倍平點”的是_______（填序號）；(2)若反比例函數(shù)y=2x，圖象恰有1個“n倍平點”，求(3)求函數(shù)y=x17．（23·24上·南通·階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點Px1,y1與某函數(shù)圖象上的一點Qx2(1)已知點P2,0，求點P在函數(shù)y=(2)若點Pm,0在函數(shù)y=?mx2(3)若點Pm,n在函數(shù)y=x2【考點：閱讀應(yīng)用類解決問題】方法指引：先根據(jù)給的閱讀進行詳細思考總結(jié)，再結(jié)合題目給定內(nèi)容思考所學(xué)知識聯(lián)系和區(qū)別，再找到同類解題思路，根據(jù)要求先照貓畫虎解決第一問，再思考前后區(qū)別和聯(lián)系，找所以然解決接下來的問題例題1．（22·23上·淮安·期末）“求索”數(shù)學(xué)興趣小組探究平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)滿足特定關(guān)系的動點P(m,n)的運動軌跡問題：【方法探索】(1)組長小謙提出問題：動點G(t?1,t+1)隨著t的變化形成的運動軌跡是什么？小志的思考：t取3個特殊值得到3個點坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)3點在一條直線上，可以利用待定系數(shù)法求出該直線的表達式；小遠的思考：令x=t?1，y=t+1，再求y與x的函數(shù)關(guān)系式．請你選擇一種方法確定點G(t?1,t+1)運動軌跡的函數(shù)表達式為________；【問題解決】(2)小明設(shè)計了一道動點問題考小誠，請聰明的你幫小誠解答：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(8,0)，B(0,?2)，BQ=1.5，點M從點A出發(fā)以每秒8個單位的速度沿x軸向左運動，同時點N從點O出發(fā)以每秒6個單位的速度沿y軸向上運動，點P是MN的中點，設(shè)運動時間為t，請用含t的式子表示點P的坐標(biāo)，并求PQ的最小值；【拓展運用】(3)高老師給出坐標(biāo)平面內(nèi)兩個動點：Tm?1,m2①小勇說：點T、K的運動軌跡都是直線；小智說：點T、K在運動過程中不可能重合；請你選擇下面正確的看法（

）A．小勇的說法對

B．小智的說法對

C．兩人的說法都對

D．兩人的說法都錯②請你求出線段TK的最小值．變式訓(xùn)練1．（22·23下·南京·階段練習(xí)）【類比研究】類比數(shù)的運算的學(xué)習(xí)，小明發(fā)現(xiàn)初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)就是變量的運算．對于一個變量x，對它進行運算，得到另一個變量y，則y是x的函數(shù)．【概念提出】若對x只加上（減去）一個常數(shù)，則該函數(shù)為一級函數(shù)：對x只乘（除以）一個常數(shù)（不為1），則該函數(shù)為二級函數(shù)：對x只進行乘方（開方）運算，則該函數(shù)為三級函數(shù)；若對某級函數(shù)中自變量的代數(shù)式再進行不同的運算，則新函數(shù)為該級函數(shù)的衍生函數(shù)．【特例辨別】(1)下列函數(shù)：①y=?12x，②y=x?1，③y=5x，④y=【運算與變化】(2)將二級函數(shù)y=1x的圖象向上平移5個單位長度后得其衍生函數(shù)圖象，則該衍生函數(shù)關(guān)系式為______；也可對y=1x進行乘法運算→×2(3)對于函數(shù)y=3x的運算與變化，下列說法中正確的是（

）①y=3x是二級函數(shù)；②將y=3x再進行減法運算，所得衍生函數(shù)的圖象與原圖象平行；③將y=3x再除以2所得衍生函數(shù)的圖象是把函數(shù)y=3x的圖象上各點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍；④將y=3xA．③④

B．①②③

C．①②④

D．①②③④【知識應(yīng)用】(4)請寫出一級函數(shù)y=x如何對變量x進行運算得到衍生函數(shù)y=kx2?m（k、m是常數(shù)，k≠0，例題2．（22·23上·揚州·期末）【特例感知】(1)如圖1，對于拋物線y1=?x2?x+1①拋物線y1，y2，②拋物線y2，y3的對稱軸由拋物線③拋物線y1，y2，y3(2)【形成概念】把滿足yn=?x【知識應(yīng)用】在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點依次為P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代數(shù)式表示頂點Pn②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）”：C1，C2，C3，…，Cn，其橫坐標(biāo)分別為?k?1，?k?2，?k?3，…，變式訓(xùn)練1．（22·23上·鹽城·階段練習(xí)）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=3m，寬AB=1m的長方形水池ABCD進行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1）．同時，再建造一個周長為10m【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為xmx>0，加長后水池1的總面積為y1m2，則y1關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y1=x+3x>0；設(shè)水池2的邊EF的長為x【問題解決】（1）在圖③字母標(biāo)注的點中，表示兩個水池面積相等的點是______，此時的xm（2）在1<x<3范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值；（3）假設(shè)水池ABCD的邊AD的長度為bm，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池