2023年中考數(shù)學(xué)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)和應(yīng)用解析卷

2023年中考熬君次比倒篩照的

匐象與植質(zhì)和應(yīng)用解析敷

k

（2023貴州銅仁，5,4分）如圖，正方形ABOC的邊長為2,反比例函數(shù)y二一的圖象經(jīng)過點A,那

x

么k的值是（）

A.2B.-2

C.4D.-4

【解析】,??正方形AB0C的邊長為2

-A的坐標(biāo)（-2,2）5題圖

kk

把A點坐標(biāo)代入y=—得：2=---

x—2

???k=-4

【解答】D.

【點評】此題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，一般方法是求出一個點的坐標(biāo)，代入y=8即可.

x

簡單方法是反比例函數(shù)上的點與兩坐標(biāo)軸圍成矩形的面積就是IkI,圖像在一、三象限，k取正；在

二、四象限，k取負(fù).

12

（2023山東德州中考,8,3,）如圖，兩個反比例函數(shù)y=—和y=--的圖象分別是《和/,,設(shè)點P在《

xx,

上，/TLx軸，垂足為G交4于點4HUy軸，垂足為〃，交4于點8那么三角形為6的面積為

)

9

(A)3(B)4(C)⑻5

2

123

【解析】可設(shè)P（a,一），TP和A的縱坐標(biāo)相同，又A在乙上,可得A點的縱坐標(biāo)為-―,???PA二一.P

aaa

點和B點的縱坐標(biāo)相同，同理可得B點橫坐標(biāo)為-2a,即PB=3a,所以三角形PAB的面積為

139

—x—x3a--.應(yīng)選C.

2a2

【答案】C.

【點評】結(jié)合反比例函數(shù)的圖象表示出點P、A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)直角三角形的面積

公式求出結(jié)論.

（2023湖南湘潭，16,3分）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即y=K（ZxO））,

X

200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5相，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是.

【解析】將x=0.5,>=200代入卜=^（%*（））得1（=100,那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=

XX

,田d.100

【答案】y=-0

x

k

【點評】此題考查函數(shù)關(guān)系式的求法。將數(shù)代入反比例函數(shù)關(guān)系式（即y=t（kx0））中，確定系數(shù)

x

K的值。

（2023江蘇鹽城，14,3分）假設(shè)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點P（-1,4）,那么它的函數(shù)關(guān)系是.

【解析】此題考查了反比例函數(shù)的定義.掌握定義中K確實定方法是關(guān)鍵.此題考查點在函數(shù)圖像上與

函數(shù)解析式的關(guān)系，常規(guī)方法是直接代入計算.

1（4

【答案】將圖象上的點坐標(biāo)P（T,4）代入反比例函數(shù)解析式尸一即可求出k=-4,所以y=--.

XX

【點評】此題是對反比例函數(shù)考查.函數(shù)圖象上的點坐標(biāo)，求函數(shù)解析式，往往是將坐標(biāo)代入解析式,

經(jīng)過簡單解方程（或方程組），這樣求出待求系數(shù).中考中，常以選擇題、填空題、簡答題方式出現(xiàn).

2

(2023連云港，13,3分)反比例函數(shù)尸一的圖像經(jīng)過點A5,1)，那么m的值為。

x

【解析】把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，得到關(guān)于m的方程即可求得m的值。

2

【答案】由題意得1二一，得到m二2.

m

【點評】圖像經(jīng)過點或點在圖像上說明點的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式。列出相應(yīng)方程求未知字母的值。

k

(2023連云港，16,3分)如圖，直線kLx+b與雙曲線尸^交于A、B兩點，其橫坐標(biāo)分別為1

x

和5,那么不等式kix<k+b的解集是。

X

【解析】不等式hx<—+b,即為kix—b<—o把y=Lx+b的圖像向下平移2b個單位，找出雙曲

xx

線與新直線y=k,x-b中，直線在雙曲線下側(cè)的自變量的取值范圍即可。

【答案】一5?-1或x>0

【點評】易錯點：容易漏掉第一象限的局部，此題取值范圍有兩局部。

(2023江西，19,8分)如圖，等腰梯形力也放置在平面直角坐標(biāo)系中，A(—2,0)、8(6,0)、0(0,3),

反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C.

(1)求，點坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)將等腰梯形4?勿向上平移加個單位后，

使點6恰好落在雙曲線上，求機(jī)的值.

解析：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，由等腰梯形力及力的性質(zhì)及A（-2,0）、3（6,0）、。（0,3）三點的坐

標(biāo)，可求得，點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，（2）等腰梯形40向上平移機(jī)個

單位后的點6'的坐標(biāo)為8'16,w）,代入反比例函數(shù)的解析式即可.

答案：解：（1）過點C作值146于點￡,

:四邊形力靦是等腰梯形，

：.AD=BC,D0=CE,

△力如好△腔；：.AO=I3E=2,

,:BW6,：.DOOE^\,

：.C（4,3）；

k

設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=勺（kw0）,

x

根據(jù)題意得：3=七,

4

解得左=12；

12

???反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=—；

x

⑵將等腰梯形力順向上平移〃7個單位后得到梯形6,，

:.點、B'[6,m）

12

?:點B'（6,勿）恰好落在雙曲線＞=一上，

x

12

???當(dāng)x=6時，m=—=2,即m=2.

6

點評：此題主要考查了平面直角坐標(biāo)中點的坐標(biāo)的求法、反比例函數(shù)及平移知識，

設(shè)點戶（加，〃），有：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形向右（左）平移切個單位，那么圖形上各點的縱

坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)加上（或減去）加個單位（加＞0）；圖形向上（下）平移〃個單位，那么圖形上各

點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加上(或減去)/個單位(力>0).

(2023湖北襄陽，22,7分)如圖9,直線y=Lx+b與雙曲線y=與相交于A(1,2),B(m,-1)

X

兩點.

⑴求直線和雙曲線的解析式;

⑵假設(shè)A(xi,yj,A2(X2,y2).A3(x3,ya)為雙曲線上的三點,且xVx2VoVx3,請直接

寫出y”yz,y：,的大小關(guān)系式;

⑶觀察圖象，請直接寫出不等式Lx+b>%的解集.

X

【解析】(1)先將A(1,2)代入y=k求得kz,再將B(m,-1)代入求得m值，接著運用待

X

定系數(shù)法求得直線解析式.(2)(3)兩問可借助圖象直接觀察求解.

【答案】解：(1).??雙曲線y=生經(jīng)過點A(1,2),；.k2=2.

X

2

???雙曲線的解析式為：y=-.

x

2

???點B(m,-1)在雙曲線丫=一上，???m=-2,那么B(—2,-1).

x

由點A(1,2),B(-2,-1)在直線y=kix+b上，得

?i+z>=2>解得？j

[-2*,+fe=-l.[b=l.

直線的解析式為：y=x+l.

(2)y2<yi<y3.

(3)x>l或一2<x<0.

【點評】一般情況下，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點時，要先確定反比例函數(shù)解析式，因為反比

例函數(shù)解析式中只有一個待定系數(shù)，而一次函數(shù)有兩個待定系數(shù).象第(2)題這樣的問題，往往從

圖象上直接觀察容易得解，不要通過死記反比例函數(shù)的增減性解答.而象第（3）題這樣的問題，需

注意理解位于上方的函數(shù)圖像的函數(shù)值較大.整題充分表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

（2023江蘇省無錫市，4,3'）假設(shè)雙曲線y=&與直線y=2x+l一個交點的橫坐標(biāo)為-1,那么

x

k的值為（）

A.-1.B.1C.-2D.2

【解析】雙曲線與直線的交點坐標(biāo)適合兩者的解析式，利用y=2x+l可以求出交點坐標(biāo)為（一1,

-1）,進(jìn)而求出k=l

【答案】B

【點評】此題主要考查學(xué)生對坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系的理解，適合解析式的點在圖象上，圖象上的

點適合解析式。

4

（2023浙江省溫州市，16,5分）如圖，動點A在函數(shù)y=—（x>0）的圖象上，AB_Lx軸于點B,

x

ACYy軸于點C,延長CA至點D,使AD=AB.,延長BA至點E,使AE=AC?直線DE分別交x軸于點P,

Q。當(dāng)QE：。尸=4:9時，圖中陰影局部的面積等于_______

【解析】此題是一道難度較大的反比例函數(shù)綜合題，可構(gòu)造相似三角形，利用相似計算求解。

13

【答案】—

3

（2023四川省南充市，6,3分）矩形的長為x,寬為y,面積為9,那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖

象表示大致為()

解析：由矩形的面積知xy=9,可知它的長x與寬y之間的函數(shù)關(guān)系式為y=9x(x>0),是反比例

函數(shù)圖象，且其圖象在第一象限.

應(yīng)選C.

點評：由矩形的面積公式，得出它的長y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)確定圖

象的形狀及所處象限.注意實際問題中的函數(shù)問題需要注意自變量x的取值范圍。

7

(2023山東省荷澤市，6,3)反比例函數(shù)y=±圖象上的兩上點為(xbyi),(x2,y2),且xKxz,那么

以下關(guān)系成立的是()

A.yi>y2B.yi<y2C.yi=y2D.不能確定

【解析】反比例函數(shù)y=4的圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，因為x〈X2,當(dāng)

x

兩點分在兩個象限時y<y2,當(dāng)兩點在同一個象限時，y〉yz,故先D.

【答案】D

【點評】首先確定反比例函數(shù)所在的象限，注意反比例函數(shù)圖象在每個象限的變化規(guī)律，當(dāng)比擬兩函

數(shù)值的大小時.，一定要分為在兩個象限或在同一個象限兩種情況.

(2023廣州市，10,3分)如圖3,正比例函數(shù)y尸kx和反比例函數(shù)y語區(qū)的圖像交于A(-1,2)、

X

(1,-2)兩點，假設(shè)山<y2,那么x的取值范圍是()

A.x<-l或x>lB.x<T或0<x<l

C.T<x<0或0<x<lD.T<x<0或x>l

【解析】根據(jù)圖像觀察一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方自變量的取值范圍。

【答案】從圖像觀察可知一次函數(shù)圖像在下面的取值范圍可知答案為D.

【點評】此題考查同學(xué)們用函數(shù)的圖像解不等式。

(2023福州，10,4分,)如圖，過點C(1,2)分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B

k

兩點，假設(shè)反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖像與△ABC有公共點，那么k的取值范圍是()

x

A.2<kW9B.2Wk<8C.2WkW5D.5Wk<8

*10MS

kk

解析：當(dāng)點C(1,2)在反比例函數(shù)y=±上時，那么k=2,由一=—x+6,那么/—6x+Z=0,

xx

當(dāng)(-6),2-4&=0時，直線與雙曲線有且一個交點，即k=9,因此反比例函數(shù)y=-k(x>0)的圖像

X

與AABC有公共點，那么k的取值范圍是2WkW9。

答案：A

點評：此題通過對問題的特殊化，考察了學(xué)生解題思維的靈巧性，通過數(shù)形結(jié)合，考查了建立方程模

型解決問題的能力。

（2023山東省臨沂市，12,3分）如圖，假設(shè)點M是x軸正半軸上的任意一點，過點M作PQ〃y軸,

分別交函數(shù)y=S（x>0）和y="（x>0）的圖象于點P和Q,連接OP、0Q,那么以下結(jié)論正確的

XX

選項是（）

A.NP0Q不可能等于90°B.—=

QMK2

C.這兩個函數(shù)的圖象一定關(guān)于x軸對稱D.APOQ的面積是J。%|+出21）

【解析】當(dāng)P、Q兩點的橫縱坐標(biāo)的絕對值相等時,AP0M和AQOM是等腰直角三角形，即NP0Q=90°,A

不正確；PM、QM是線段的長，比值是正數(shù)，K”L符號不同，比值為負(fù)，B不正確；只有當(dāng)|KJ=|K?|

時，兩個公式圖象關(guān)于x軸對稱，C不正確；S^P^SAPOM+SA^1（||k,+1k21）,故D正確.

222

【答案】選D.

【點評】此題主要考查對反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識

點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進(jìn)行說理是解此題的關(guān)鍵.

（2023浙江省衢州，12,4分）試寫出圖象位于第二、四象限的一個反比例函數(shù)的解析式.

【解析】圖象位于第二、四象限的反比例函數(shù)的比例系數(shù)在<0.

【答案】答案不唯一，如_/=一，

X

【點評】主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)：反比例函數(shù)y=&的圖象是雙曲線，當(dāng)k>0時，它的

X

兩個分支分別位于第一、三象限；當(dāng)力<0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限.

（2023四川內(nèi)江，3,3分）反比例函數(shù)y=上的圖象經(jīng)過點（1,-2）,那么k的值為

X

2_

A.2B.C.1D.12

2

【解析】反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點(1,-2),說明在解析式y(tǒng)=&中，當(dāng)x=l時，y=

XX

—2,所以k=xy=l義(—2)=—2.

【答案】D

【點評】點在曲線上，那么點的坐標(biāo)滿足曲線解析式，反之亦然.

(2023浙江省衢州，16,4分)如圖，函數(shù)y=2x和函數(shù)y='的圖象交于48兩點，過點4作I反Lx

X

軸于點￡,假設(shè)△?!〃的面積為4,2是坐標(biāo)平面上的點，且以點反0、E、尸為頂點的四邊形是平

行四邊形，那么滿足條件的尸點坐標(biāo)是.

第16題Sb

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)中比例系數(shù)a的幾何意義，得出等量關(guān)系1"1=4,求出A的值為8,然后

2

結(jié)合函數(shù)y=2x和函數(shù)可求出點4(2,4),再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得尸點坐標(biāo).

X

【答案】A(0,-4),8(—4,—4),0(4,4)(對一個得2分，對二個得3分，對三個得4分.)

【點評】反比例函數(shù)y=七中4的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積

X

為次，是經(jīng)常考查的一個知識點；這里表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解在的幾何

意義.

(2023浙江麗水8分，21題)(此題8分)如圖，等邊AOAB和等邊AAFE的一邊都在x

k

軸上，雙曲線y=-(k>0］經(jīng)過邊0B的中點C和AE的中點D,等邊△OAB的邊長為4.

x

(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；

(2)求等邊4AEF的邊長.

B

【解析】：（1）過點C作CGLOA于點G,根據(jù)等邊三角形結(jié)合直角三角形中30°角所對的直角邊

等于斜邊的一半，即可求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)求出反比例函數(shù)解析式；（2）過點D作

DHLAF于點H,設(shè)AH=a,用a的代數(shù)式表示點D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)關(guān)系中，得到關(guān)于a的一

元二次方程，解之即可求出a的值，進(jìn)而可求出等邊4AEF的邊長.

解：（1）過點C作CGLOA于點G,

點C是等邊AOAB的邊0B的中點，

，0C=2,NA0B=60°.

.?.0C=2,CG=V3,

...點C的坐標(biāo)是（1,、回），由g=得1<=6.

1

73

...該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=—.

X

（2）過點D作DHJuAF于點H,設(shè)AH=a,那么DH=J^a.

二點D的坐標(biāo)為（4+a,百a）.

:點D是雙曲線丫=---上的點，由xy=*\^,

x

得由a（4+a）=百，即a，4aT=0.

解得ai=V^-2,az=-V5-2（舍去），

.,.AD=2AH=2V5-4,

等邊aAEF的邊長是（475-8）.

【點評】：此題將等邊三角形放置于直角坐標(biāo)系中，與反比例函數(shù)有機(jī)結(jié)合，即考查了等邊三角

形的性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式確實定、直角三角形的性質(zhì)，又考查了一元二次方程，是一道較好的中

考題.難度中等.

2-1

(湖南株洲市3,8)如圖，直線x=，?>0)與反比例函數(shù)y=—,y=—的圖象分別交于B、C兩點,

xx

A為y軸上的任意一點，那么A4BC的面積為

33

A.3B.—tD.不能確定

22

2-121

【解析】因為直線x=，Q>0)與反比例函數(shù)y=—,y=—的圖象分別交于B(t,—)、C(t,—),

xxtt

3133

所以BC=3,所以sABc=±xrx±=3。

tABC2t2

【答案】c

【點評】在平面直角坐標(biāo)系中，求一個三角形的面積，就是借助坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸直線上的某一

條線段作為三角形的底邊的長，第三個點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為三角形的高.

(2023山東省濰坊市，題號14,分值3)14、點P在反比例函數(shù)y=±(&rO)的圖像上，點Q(2,4)

x

與點P關(guān)于y軸對稱，那么反比例函數(shù)的解析式為

考點：反比例函數(shù)的關(guān)系式的計算和關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點。

解答：因為點Q(2,4)與點P關(guān)于y軸對稱，所以點P坐標(biāo)為(-2,4).

因為點P在反比例函數(shù)y=—k(女工0)的圖像上，所以4=k」匚所以攵=—8所以>=一s2

x-2x

點評：計算反比例函數(shù)>=8(%*0)的函數(shù)解析式，僅需要一個點的坐標(biāo)。此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件

X

“點Q(2,4)與點P關(guān)于y軸對稱"計算出點P的坐標(biāo)，從而求解。

(2023年浙江省寧波市,21,6)如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(-4,-2)和B(a,4)

(1)求反比例函數(shù)的解析式和點6的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象答復(fù)，當(dāng)在什么范圍時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？

kk

【解析】⑴設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y-，點A(-4,-2)在此反比例函數(shù)圖象上，-2=-,.?.k=8,反

x

O

比例函數(shù)的解析式為y-,又點B3,4)在此反比例函數(shù)圖象上，|???

xvT.?/

W32,點8的坐標(biāo)⑵4).⑵觀察圖象知或時,

x>2-4<x<0一次函數(shù)

的值大于反比例函數(shù)的值。

【答案】(1)B(2,4)(2)x>2或-4<x<0

【點評】

(2023浙江省衢州，12,4分)試寫出圖象位于第二、四象限的一個反比例函數(shù)的解析式.

【解析】圖象位于第二、四象限的反比例函數(shù)的比例系數(shù)4<0.

【答案】答案不唯一，如片=一工

【點評】主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)：反比例函數(shù)丫=人的圖象是雙曲線，當(dāng)k>Q時，它的

兩個分支分別位于第一、三象限；當(dāng)時，它的兩個分支分別位于第二、四象限.

(2023湖南益陽，13,4分)反比例函數(shù)丫=七的圖象與一次函數(shù)y=2x+l的圖象的一個交點是(1,

k),那么反比例函數(shù)的解析式是

【解析】由交點是(1,k)代入y=2x+l可得，Z=2xl+1=3,所以y=

3

【答案】y=-

【點評】此題考查考生交點即是兩條線上的點，把點的坐標(biāo)代入函數(shù)，等式成立，從而求出％值的解

題思路

2

（2023湖北隨州，10,4分）如圖，直線/與反比例函數(shù)y=—的圖象在第一象限內(nèi)交于4B兩點,

x

交x軸的正半軸于。點，假設(shè)力反氏=（獷1）:1（就1）,那么△CM8的面積（用0表示）為（）

解析：過點4、8分別作4歸.x軸于點機(jī)4Vl.x軸于點兒那么

?絲=生=BC=_L設(shè)兒那么4佐/加由點4A在反比例函數(shù)y=2的圖象上，???

AMACAB+BCmx

22、—、,

ON=-,OM----?/.SzrtMkS四邊形QABLSdOAirS四邊形O.ABN-S/而=S梯形

hmh

11??irT-\

「用行一(AM+BN),BN=—(h+mh).J-——)=------.

22hmhm

答案：B

點評：此題是反比例函數(shù)與幾何圖形面積的綜合應(yīng)用.需運用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，幾

何圖形間的位置關(guān)系，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積來解決.難度較大.

（2023山東省聊城，17,3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點0,且正方形的一組對

邊與x軸平行.點P（3a,a）是反比例函數(shù)y=-（K>0）的圖象與正方形的一個交點.假設(shè)圖中陰影局

X

部的面積為9,那么這個反比例函數(shù)的解析式為..

第17題圖

解析：如圖，根據(jù)正方形是以點0為中心對稱圖形,

將第三象限局部繞點0順時針旋轉(zhuǎn)180°,恰好與第

一象限重合.所以正方形的面積為9X4=36,所以正

方形邊長為6.正方形又是軸對稱圖形，P（3a,a）是

反比例函數(shù)）,=A（K>o）的圖象的點，所以正方形

X

邊長為3aX2=6a,于是a=l.所以k=3X1=3.反比第17題圖

3

例函數(shù)解析式為y=一.

x

3

答案：y=~

X

點評:此題借助正方形、反比例函數(shù)均為中心對稱圖象特點，化零為整的思想，把復(fù)雜問題巧妙地解

決，是一道較新穎創(chuàng)新題.

2

（2023貴州貴陽，22,10分）一次函數(shù)y=-x+2的圖象分別與坐標(biāo)軸相交于A,B兩點（如下圖）,

3

與反比例函數(shù)y=A（k>0）的圖象相交于C點.

X

（1）寫出A,B兩點的坐標(biāo)；（4分）

（2）作CD_Lx軸，垂足為D,如果0B是4ACD的中位線，求反比例函數(shù)y="[k>0）的關(guān)系式.

x

2

解析：(1)令y=0,得一x+2,解得x=-3,所以A點坐標(biāo)為(-3,0)；令x=0,得y=2,所以B

3

點坐標(biāo)為10,2)；(2)抓住“0B是4ACD的中位線〃的條件，運用三角形的中位線的性質(zhì)求出0D,CD

的長，進(jìn)而求出C點坐標(biāo)，求出反比例函數(shù)y=A(k>0)的關(guān)系式.

x

解：⑴A(-3,0)；B(0,2)；

(2)由⑴得，OA=3,OB=2.

VOB是4ACD的中位線，.?.0D=0A=3,CD=20B=6.

12

點坐標(biāo)為(2,6)....k=xy=2X6=12,即反比例函數(shù)是丫=一.

x

點評：反比例函數(shù)是初中階段的三個重要函數(shù)之一，它與一次函數(shù)的聯(lián)合是中考的常見題型，這

類問題常常考查待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合思想，解題時應(yīng)該先由點的坐標(biāo)求出相關(guān)線段的長，再充分運

用幾何的相關(guān)知識進(jìn)行推理運算，得到其他線段的長，并由此求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，進(jìn)而得函數(shù)關(guān)系式.

(2023浙江省湖州市，19,6分)如圖，反比例函數(shù)y=&(kNO)的圖象過點A(-2,8)。

X

(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；

(2)假設(shè)(2,y,),(4,yj是這個反比例函數(shù)圖象上的兩個點，請比擬外,火的大小，并說明理由。

【解析】（1）由函數(shù)圖象的，函數(shù)經(jīng)過點（-2,8）,應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=A,將

X

點A（-2,8）代入解析式y(tǒng)=4,可直接求：

X

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：k<0時，y隨x的增大而增大，k>0時，y隨x的增大而減小，來做

出判斷。

【答案】（1）將點A（-2,8）代入y=±,求得k=T6,即y=-3；

XX

（2）Vk=-16<0,且2<4,即y隨x的增大而增大，./<丫2.

【點評】此題考查的是反比例函數(shù)解析式確實定方法及比例系數(shù)k的幾何意義，

反比例系數(shù)k的幾何意義：①k<0時，y隨x的增大而增大，②k>0時，y隨x的增大而減小。是根

底題。

（2023四川省資陽市，19,8分）：一次函數(shù)y=3x-2的圖象與某反比例函數(shù)的圖象的一個公共點

的橫坐標(biāo)為1.

（1）（3分）求該反比例函數(shù)的解析式；

（2）（3分）將一次函數(shù)y=3x-2的圖象向上平移4個單位，求平移后的圖象與反比例函數(shù)圖象

的交點坐標(biāo)；

（3）（2分）請直接寫出一個同時滿足如下條件的函數(shù)解析式：

①函數(shù)的圖象能由一次函數(shù)y=3x-2的圖象繞點（0,-2）旋轉(zhuǎn)一定角度得到；

②函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點.

【解析】（1）把x=l代入y=3x-2,得y=l

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=把x=l,y=l代入得，Z=1%]

???該反比例函數(shù)的解析式為y=l

X

（2）平移后的圖象對應(yīng)的解析式為y=3x+2zz"*st#ep.com?]

11

廠q廣§（I

解方程組l尸3X+2,得\產(chǎn)3或I尸T

平移后的圖象與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（1,3）和（-1,-1）（3）y=-2x-2

3

（結(jié)論開放，常數(shù)項為一2,一次項系數(shù)小于一1的一次函數(shù)均可）

【答案】（1）y^_

X

（2）（1,3）和（一1,—1）

3

（3）y=-2x—2（結(jié)論開放，常數(shù)項為-2,一次項系數(shù)小于一1的一次函數(shù)均可）

【點評】此題綜合考查了利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式的求法、直線平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩函

數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法（聯(lián)立方程組求解即為圖象交點坐標(biāo)）等，是反比例函數(shù)與一次函數(shù)借助平移、

旋轉(zhuǎn)的動態(tài)形式來求交點坐標(biāo).難度中等.

（2023四川成都，18,8分）如圖，一次函數(shù)y=—2x+b（6為常數(shù)）的圖象與反比例函數(shù)y=K（k

x

為常數(shù)，且/N0）的圖象交于A,B兩點，且點A的坐標(biāo)為（一1,4）.

（1）分別求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求點B的坐標(biāo).

解析：此題首先用待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)的解析式，然后采用解方程組的方法求函數(shù)的另一個交點

的坐標(biāo)。

答案：門〕???點A(—l,4)在函數(shù)y=-2x+力的圖像上，

4=—2x(-1)+人

:?b=2

??y——2.x+2

4

同理可得＞=一一

x

y=-2x+2

⑵解，4，得

y二一一

X

J%1=-11X=2

j%=4，［yt--2

可見，點B的坐標(biāo)為(2,-2)

點評：某一個點在某個函數(shù)圖象上，可得到結(jié)論：“點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式”，這是待定系數(shù)法的

根底。求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)的方法是：解由這兩個函數(shù)解析式組成的方程組。

(2023山東泰安，25,8分)如圖，一次函數(shù)丁=履+方的圖象與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點，與反

ni

比例函數(shù)y=—的圖象在第二象限的交點為C,CD_Lx軸，垂足為D,假設(shè)0B=2,0D=4,ZiAOB的面

x

積為1,

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出當(dāng)x〈0時，米+8-二＞0的解集。

X

【解析】（1）根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)求出一次函數(shù)的解析式.再求出C的坐標(biāo)是（-4,1）,利用待

定系數(shù)法求解即可求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=工的圖

象在第二象限的交點為C,即可求出當(dāng)x<0時，kx+b--E>0的解集.

b=—l.卜二」

【答案】(1)?：0B=2,ZXAOB面積為1,0),0A=l,AA(0,-1),A

-2k+b=0,,~

b=-\

：.y=~x-\.V0D=4,0D±x?|ll,：.C(-4,y).將x=-4代入y=-；x-l得y=l,.*.6(-4,1),

m4

1=—,m=-4,y———

-4x

(2)x<-4

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，用到的知識點是待定系數(shù)法求反比例函

數(shù)與一次函數(shù)的解析式，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點求出不等

式的解集.

（2023浙江麗水8分，21題）（此題8分）如圖，等邊△OAB和等邊4AFE的一邊都在

x軸上，雙曲線y=&（k>0）經(jīng)過邊0B的中點C和AE的中點D,等邊AOAB的邊長為4.

x

（1）求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；

（2）求等邊4AEF的邊長.

B

【解析】：（1）過點C作CGLOA于點G,根據(jù)等邊三角形結(jié)合直角三角形中30°角所對的直角邊

等于斜邊的一半，即可求出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)求出反比例函數(shù)解析式；（2）過點D作

DHLAF于點H,設(shè)AH=a,用a的代數(shù)式表示點D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)關(guān)系中，得到關(guān)于a的一

元二次方程，解之即可求出a的值，進(jìn)而可求出等邊4AEF的邊長.

解：（1）過點C作CGLOA于點G,

點C是等邊AOAB的邊0B的中點，

，0C=2,NA0B=60°.

.?.0C=2,CG=V3,

...點C的坐標(biāo)是（1,、回），由g=得1<=6.

1

73

...該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=—.

X

（2）過點D作DHJuAF于點H,設(shè)AH=a,那么DH=J^a.

二點D的坐標(biāo)為（4+a,百a）.

:點D是雙曲線丫=---上的點，由xy=*\^,

x

得由a（4+a）=百，即a，4aT=0.

解得ai=V^-2,az=-V5-2（舍去），

.,.AD=2AH=2V5-4,

等邊aAEF的邊長是（475-8）.

【點評】：此題將等邊三角形放置于直角坐標(biāo)系中，與反比例函數(shù)有機(jī)結(jié)合，即考查了等邊三角

形的性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式確實定、直角三角形的性質(zhì)，又考查了一元二次方程，是一道較好的中

考題.難度中等.

(2023年四川省德陽市，第21題、.).一次函數(shù)必=x+機(jī)的圖象與反比例函數(shù)%=色的圖象交于

x

A、B兩點，.當(dāng)x>l時，y,>y2；當(dāng)0<x<l時，<y2.

⑴求一次函數(shù)的解析式；

⑵一次函數(shù)在第一象限上有一點C到y(tǒng)軸的距離為3,求AABC的面積.

【解析】(1).根據(jù)題意及圖像可以確定點A坐標(biāo)(1,0).代人一次函數(shù)解析式即可求出m.

(2).過點B作直線BD平行于x軸，交AC的延長線于D.把求AABC的面積轉(zhuǎn)化為求AABD和ACBD

的面積差.

【答案】

⑴根據(jù)題意，由圖像可知點A的坐標(biāo)為(1,6),代人

=x+〃？中，得,m=5,一次函數(shù)的解析式為：％=x+5

(2)過點B作直線BD平行于x軸，交AC的延長線于D.

???點C到y(tǒng)軸的距離為3,，C點的橫坐標(biāo)為3.又C在雙

曲線上，；.y=g=2,即C(3,2)

-3

?直線y=x+5和雙曲線9交于點A,B.

X

y=x+5

解方程組,6%=-6x2=1

y=-11乃=6r.B(-6,-1)

丁=一

Ix

6=k.+b,

設(shè)AC的解析式為y+把點A(l,6),點C(3,2)代人得，＜］解得，4=-24=8,

2=3k\+ht

，y=2x+8.當(dāng)y=-l時T=-2x+8,x=4.5,即點D(4.5,-1)

。121rl21c

SABCD=5X5x7-5X5x3=21.

【點評】，此題考查了反比例函數(shù)的綜合運用.關(guān)鍵是通過反比例函數(shù)的性質(zhì)確定點A的坐標(biāo)，從而

求出一次函數(shù)的解析式，而求和圖像相關(guān)的三角形的面積往往要把它分解成邊在x軸或y軸上的三角

形的面積和或差，或是有平行于x、y軸邊的三角形的面積和或差來解決.

27.2反比例函數(shù)的應(yīng)用

(2023安徽，21,12分)甲、乙兩家商場進(jìn)行促銷活動，甲商場采用“慢200減100”的促銷方式,

即購置商品的總金額滿200元但缺乏400元,少付100元;滿400元但缺乏600元,少付200元;……,

乙商場按顧客購置商品的總金額打6折促銷。

(1)假設(shè)顧客在甲商場購置了510元的商品，付款時應(yīng)付多少錢？

解：

(2)假設(shè)顧客在甲商場購置商品的總金額為x(400Wx<600)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p

6=必「*二)，寫出P與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明P隨X的變化情況；

購買商品的T總金額.

解：

(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲乙兩商場的標(biāo)價都是x(200^x<400)元，你認(rèn)

為選擇哪家商場購置商品花錢較少？請說明理由。

21.解析：這是關(guān)于打折銷售問題，按照甲、乙商場的優(yōu)惠方案計算.(1)400Wx<600,少付200

元；(2)同問題(1),少付200元，p=—;利用反比例函數(shù)性質(zhì)可知p隨x的變化情況；(3)

x

分別計算出購x(200Wx<400)甲、乙商場的優(yōu)惠額，進(jìn)行比擬即可.

解:(1)510-200=310(元)

(2)p=3&；；.p隨x的增大而減小；

x

(3)購x元(200Wx<400)在甲商場的優(yōu)惠額是100元，乙商場的優(yōu)惠額是x-0.6x=0.4x

當(dāng)0.4x<100,即200Wx<250時，選甲商場優(yōu)惠；

當(dāng)0.4x=100,即x=250時，選甲乙商場一樣優(yōu)惠；

當(dāng)0.4x>100,即250Vx<4000時，選乙商場優(yōu)惠；

點評：關(guān)于打折銷售問題，根據(jù)優(yōu)惠措施，列出有關(guān)代數(shù)式.值得注意這樣的優(yōu)惠一般都是有范圍的，

在一定的范圍內(nèi)適合如第(3)問.

(2023浙江省嘉興市，21,10分)如圖，一次函數(shù)%=kx+b的圖象與反比例函數(shù)丫2=—的圖象相交于

x

點A(2,3)和點B,與x軸相交于點C(8,0),

(1)求這兩個函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)x取何值時，y,>y2.

【解析】(D用待定系數(shù)法可分別求得一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式；(2