經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第5講函數(shù)極限概念課件

函數(shù)的極限與連續(xù)性第一節(jié)函數(shù)的極限與性質(zhì)三.極限定義及定理小結(jié)四.函數(shù)極限的基本性質(zhì)由于數(shù)列實(shí)際上可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)域的函數(shù),所以,可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出:如何描述它？有問(wèn)題沒(méi)有？好像沒(méi)有問(wèn)題.定義想想：如何從幾何的角度來(lái)表示該定義？將圖形對(duì)稱過(guò)去后,你有什么想法?將圖形對(duì)稱定義現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形,你有什么想法?你能否由此得出一個(gè)極限的定義和一個(gè)重要的定理.現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形,你有什么想法?定義由于

|

x|>X>0

x>X

或

x<X,所以,x

按絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),又包含了

x

的情形.既包含了

x+,定理及極限的三個(gè)定義即可證明該定理.由絕對(duì)值關(guān)系式:證成立.由極限的定義可知:例1解無(wú)限縮小,可以小于任意小的正數(shù).因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過(guò)程怎么寫？例2這里想得通嗎？由圖容易看出：分析需要證明之處請(qǐng)同學(xué)們自己先證一下.例3證證例4證

x

x0

時(shí)函數(shù)的極限,是描述當(dāng)x無(wú)限接近

x0

時(shí),

函數(shù)

f(x)的變化趨勢(shì).f(x)在點(diǎn)

x0=0處有定義.函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0=1處沒(méi)有定義.例5((定義[注意]為什麼要考慮空心鄰域？考慮空心鄰域，是什麼意思？考慮函數(shù)在一點(diǎn)的極限時(shí)，不考慮函數(shù)在該點(diǎn)處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。反例證這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例6證例7證？如何處理它例8這里|x+2|沒(méi)有直接的有界性可利用,但又必須設(shè)法去掉它.因?yàn)閤1,所以,從某時(shí)候開(kāi)始x

應(yīng)充分地接近

1

.(

)0x211

11+1??????????分析結(jié)論證證畢例8觀察知[證]證畢例在極限定義中：1)

與

和x0有關(guān),即

=

(

,x0).一般說(shuō)來(lái),

值越小,相應(yīng)的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對(duì)任意的

>0,同時(shí)也要對(duì)x

x0以任何方式進(jìn)行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過(guò)考慮兩個(gè)問(wèn)題.y=a

y=a

y=axOyx0x0+

函數(shù)在x0的左邊可以無(wú)定義想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?如何描述這種情形？想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?y=a

y=a

y=axOyx0x0

函數(shù)在x0的右邊可無(wú)定義如何描述這種情形？3.函數(shù)的左、右極限定義定義(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9y=a

y=a

y=axOyx0x0+

y=a

y=a

y=aOyx0x0

對(duì)此有什么想法沒(méi)有？“左右重合”定理利用|x

x0|<

<x

x0<

和極限的定義,即可證得.例解例10解例11例12證三、極限定義及定理小結(jié)極限定義一覽表目標(biāo)不等式過(guò)程描述度量極限形式重要定理—極限存在的充要條件函數(shù)極限幾何意義()()在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x)極限的某種性質(zhì)與運(yùn)算對(duì)任何一種極限過(guò)程均成立,則將使表示對(duì)任意一種極限過(guò)程的函數(shù)用符號(hào)四、函數(shù)極限的基本性質(zhì)極限.函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似,我們只列舉出來(lái),其證明過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己看書(shū).2.有界性定理若limf(x)存在,

則函數(shù)

f(x)在該極限過(guò)程中必有界.1.唯一性定理若limf(x)存在,

則極限值必唯一.3.保號(hào)性定理極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系極限的性質(zhì)的證明性質(zhì)1:（唯一性）函數(shù)極限如果存在，則一定是唯一的.性質(zhì)2:（有界性）函數(shù)極限如果存在，則函數(shù)一定有界(局部).性質(zhì)3:（保號(hào)性）注意:f(x)>0推不出極限A>0.性質(zhì)4:（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）[證明]必要性根據(jù)假設(shè)性質(zhì)5極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第一保號(hào)性定理極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論作輔助函數(shù)F(x)=f(x)

c

再利用定理的結(jié)論即可得證.函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第二保號(hào)性定理第二保號(hào)性定理成立.運(yùn)用反證法,設(shè)f(x)

0

(f(x)

0)時(shí),有a<0(a>0),則由第一保號(hào)性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了注意:當(dāng)f(x)>0

(f(x)<0)時(shí),按照第二保號(hào)性定理也只能得到a0(a0)結(jié)論.例13函數(shù)值正負(fù)與極限值正負(fù)關(guān)系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b存在,即

limf(x)limg(x).且