第二章線性規(guī)劃的對偶理論與靈敏度分析教材課件

運籌學趙明霞山西大學經(jīng)濟與管理學院2023/12/61第二章線性規(guī)劃的對偶理論與靈敏度分析線性規(guī)劃的對偶問題影子價格對偶單純形法靈敏度分析2023/12/62例1美佳公司計劃制造Ⅰ、Ⅱ兩種家電產(chǎn)品。已知各制造一件時分別占用的設備A、B的臺時、調(diào)試時間及A、B設備和調(diào)試工序每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件時的獲利情況如下表所示。問該公司應制造Ⅰ、Ⅱ兩種家電備多少件．使獲取的利潤為最大。設：x1——A產(chǎn)品的生產(chǎn)量

x2——B產(chǎn)品的生產(chǎn)量利潤max

z=2x1+x2

約束條件5x2

≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥

0st.第一節(jié)線性規(guī)劃的對偶問題2023/12/635x2

+x3=156x1+2x2+x4=24x1+x2

+

x5=5x1，x2，x3

，x4

，x5

≥0約束條件st.利潤maxz=2x1+x2

+0x3+0x4+0x5

標準化最終單純形表C21000θCBXBbx1x2x3x4x50

0

0x3x4x515245051006201011001σ

21000最優(yōu)解X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)Z*=17/2C21000θCBXBbx1x2x3x4x50

2

1x3x1x215/27/23/20015/4-15/210

01/4-1/2010-1/43/2σ

000-1/4-1/22023/12/645x2

≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥0約束條件把解X=(7/2,3/2)代入原問題(因為x3、x4、x5為附加變量)分析5×3÷2＝15/2245A有空閑B設備已經(jīng)飽和調(diào)試工序也已經(jīng)滿負荷

一個問題？

市場上設備A、設備B和調(diào)試工序每小時值多少錢？在什么價位時，才能使美佳公司愿意出讓自己的資源？＜＝＝2023/12/656y2+y3分析設：y1—設備A值的價值y2—設備B值的價值

y3—調(diào)試工序值的價值≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2

+5y3總價值miny1,y2,y3≥0st.2023/12/666y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2

+5y3miny1,y2,y3≥0st.z'=-15y1-24y2-5y3maxst.6y2+y3–y4=25y1+2y2+y3–y51=y1,y2,y3,y4,y5≥0C-15-24-500-M-MθCBYBby1y2y3y4y5y6y7-M-My6y721061-10105210-101σM-158M-242M-5-M-M00問題求解2023/12/67C-15-24-500θCBYBby1y2y3y4y5-24-5y2y31/41/2-5/410-1/41/415/2011/2-3/2

σ-15/200-7/2-3/2Y=(0,?,?,0,0)z'=-17/2z=17/22023/12/68Y=(0,?,?,0,0)問題分析問題的解6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2

+5y3miny1,y2,y3≥0st.問題：？原問題：利潤max

z=2x1+x2

約束條件5x2

≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥

0st.問題的解X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)Z*=17/2Z*=17/25*3/2=15/215＜6*7/2+2*3/2=2424=7/2+3/2=55=結論兩個問題的最優(yōu)解的值一致最大值問題可行解的目標值必定不大于最小值問題可行解的目標值一個問題的剩余變量（松弛變量）不為0（即有資源剩余），則對應問題的解為0一個決策變量不為0，則對應的問題的約束條件的剩余變量(松弛變量)為0(即資源徹底用完)估價——影子價格（即增加單位資源所得到的貢獻）Z=ω=CX=Yb

Z/

b=(Yb)

'=Y2023/12/69C21000CBXBbx1x2x3x4x5021x3x1x215/27/23/20015/4-15/210

01/4-1/2010-1/43/2σ000-1/4-1/2-σ0001/41/2利潤max

z=2x1+x2

約束條件5x2

≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥

0st.6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2

+5y3miny1,y2,y3≥0st.C-15-24-500CBYBby1y2y3y4y5-24-5y2y31/41/2-5/410-1/41/415/2011/2-3/2

σ-15/200-7/2-3/2-σ15/2007/23/2Y=(0,?,?,0,0)X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)問題變量問題剩余松弛變量解的關系2023/12/610一、對偶問題對稱形式X

≥0st.AX≤bmaxz=CX其中：C=（c1，c2,…,cn)b=（b1，b2,…,bm)TX=（x1，x2,…,xn)TY=（y1，y2,…,ym)TA=a11a12…a1na11a12…a1n

┇┇…┇am1am2

…anmY

≥0st.ATY≥CTminw=YTb利潤max

z=2x1+x2

約束條件5x2

≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥

0st.6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2

+5y3miny1,y2,y3≥0st.2023/12/611非對稱形式x1≥0,x2≤

0,x3無約束st.a11x1+a12x2+a13x3

≤b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3≥b3maxz=c1x1+c2x2+c3x3

x1,x2',x3'，x3"

≥0st.a11x1-a12x2'+a13x3'-a13x3"

≤b1a21x1-a22x2'+a23x3'-a23x3"

≤b2-a21x1+a22x2'_a23x3'+a23x3"

≤-b2-a31x1+a32x2'-a33x3'+a33x3"

≤-b3maxz=c1x1-c2x2'+c3x3'-c3x3"

y1,y2',y2"

，y3'≥0st.a11y1+

a21y2'–a21y2"-a31y3'≥c1-a12y1-

a22y2'+a22y2"-a32y3'≥-c2a13y1+

a23y2'–a23y2"-a33y3'≥c3-a13y1-

a23y2'+a23y2"+a33y3'≥-c3minw=b1y1+b2y2'-b2y2"-b3y3'minw=b1y1+b2y2+b3y3a11y1+

a21y2+a31y3≥c1a12y1+

a22y2+a32y3≤

c2a13y1+

a23y2+a33y3

=c3st.y1≥0,y2無約束，y3≤02023/12/612二、對偶規(guī)則

原問題有m個約束條件，對偶問題有m個變量原問題有n個變量，對偶問題有n個約束條件原問題的價值系數(shù)對應對偶問題的右端項原問題的右端項對應對偶問題的價值系數(shù)原問題的系數(shù)矩陣轉置后為對偶問題系數(shù)矩陣變量、約束與系數(shù)2023/12/613變量與約束對應關系原問題（對偶問題）對偶問題（原問題）maxz=CX

AX(≤＝≥)bX(≤＝≥)0或無約束minw=Yb

ATY(≤＝≥)C

Y(≤＝≥)0或無約束有n個決策變量xj(j＝0、2……n)xj

≥0變量

xj

≤

0

xj

無約束有n個約束條件對應的約束為≥約束對應的約束為≤

對應的約束為＝有m個約束條件對應的約束為≤

約束對應的約束為≥

對應的約束為＝有m個決策變量yj(j＝0、2……m)yj

≥0變量

yj

≤

0

yj

無約束2023/12/614三、對偶問題的基本性質(zhì)（對稱形）對稱性：對偶問題的對偶問題是原問題弱對偶性：極大化原問題的任一可行解的目標函數(shù)值，不大于其對偶問題任意可行解的目標函數(shù)值對偶定理：若一個問題有最優(yōu)解，則另一問題也有最優(yōu)解，且目標函數(shù)值相等。若原問題最優(yōu)基為B，則其對偶問題最優(yōu)解Y*=CBB-1無界性：原問題無界，對偶問題無可行解需要說明的是：這些性質(zhì)同樣適用于非對稱形問題2023/12/615X

≥0st.AX≤bmaxz=CXX,Xs≥0st.AX+IXs=bmaxz=CX+0XsCC0CBXBbXXs0Xsb

AIσCCBCN0CBXBbXBXNXs0Xsb

BNIσCCBCN0CBXBbXBXNXsCBXBB-1b

B-1BB-1NB-1IσCB-CBB-1B

CN-CBB-1N0-CBB-1ICCBCN0CBXBbXBXNXsCBXBB-1b

B-1BB-1NB-1Iσ

0

CN-CBB-1N-CBB-12023/12/616C21000θCBXBbx1x2x3x4x515245051006201011001σ

C21000θCBXBbx1x2x3x4x515/27/23/20015/4-15/210

01/4-1/2010-1/43/2σ

B與B-1B-1=15/4-15/201/4-1/20-1/43/2B=1050620112023/12/617第二節(jié)影子價格bi是線性規(guī)劃原問題約束條件的右端項，它代表第i種資源的擁有量；對偶變量yi*的意義代表在資源最優(yōu)利用條件下對單位第i種資源的估價。這種估價不是資源的市場價格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻而做的估價，為區(qū)別起見，稱為影子價格(shadowprice)。2023/12/6181、資源的市場價格是其價值的客觀體現(xiàn)，相對比較穩(wěn)定，而它的影子價格則有賴于資源的利用情況。因企業(yè)生產(chǎn)任務、產(chǎn)品結構等情況發(fā)生變化，資源的影子價格也隨之改變。2、影子價格是一種邊際價格，若對式中目標函數(shù)z求bi的偏導數(shù)可得。這說明yi*的值相當于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，bi每增加一個單位時目標函數(shù)z的增量。2023/12/6193、資源的影子價格實際上又是一種機會成本。在完全市場經(jīng)濟條件下，當?shù)?種資源的市場價格低于影子價格時，可以買進這種資源；相反，當市場價格高于影子價格時，就會賣出這種資源。隨著資源的買進賣出，其影子價格也將隨之發(fā)生變化，一直到影子價格與市場價格保持同等水平，才處于平衡狀態(tài)。

4、在上一節(jié)對偶問題的互補松弛性質(zhì)中有時，yi=0；當yi>0時，有，這表明生產(chǎn)過程中如果某種資源bi未得到充分利用時，該種資源的影子價格為零；又當資源的影子價格不為零時，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費完畢。

5、當產(chǎn)品產(chǎn)值大于隱含成本時，表明生產(chǎn)該產(chǎn)品有利，可在計劃中安排，否則用這些資源來生產(chǎn)別的產(chǎn)品更為有利，就不在生產(chǎn)計劃中安排。這就是單純形表中各個檢驗數(shù)的經(jīng)濟意義。2023/12/6206、一般說對線性規(guī)劃問題的求解是確定資源的最優(yōu)分配方案，而對于對偶問題的求解則是確定對資源的恰當估價，這種估價直接涉及資源的最有效利用。如在一個大公司內(nèi)部，可借助資源的影子價格確定一些內(nèi)部結算價格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營的好壞。又如在社會上可對一些最緊缺的資源，借助影子價格規(guī)定使用這種資源一單位時必須上繳的利潤額，以控制一些經(jīng)濟效益低的企業(yè)自覺地節(jié)約使用緊缺資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟效益。2023/12/621第三節(jié)對偶單純形法CCBCN0CBXBbXBXBXsCBXBB-1b

B-1BB-1NB-1Iσ0

CN-CBB-1N-CBB-1對于單純形法疊代過程本質(zhì)：確保1）z變大；2）B-1b≥0由對偶理論知道，當原問題為最優(yōu)解時，-σ≥0且為對偶問題的最優(yōu)解，因此人們提出對偶單純形法。疊代過程本質(zhì)：1）σ≤

0；2）逐步使B-1b≥0與2023/12/6226y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2

+5y3miny1,y2,y3≥0st.z'=-15y1-24y2-5y3st.max6y2+y3–y4=25y1+2y2+y3–y51=y1,y2,y3,y4,y5=0問題求解z'=-15y1-24y2-5y3+0y4

+0y5

st.max-6y2-y3+y4=-2-5y1-2y2-y3+y5-1=y1,y2,y3,y4,y5≥02023/12/6231.確定出基變量。在常數(shù)列中找一個最小的負常量，把這個常量所在行作為出基變量σ0[-6]-110

-5-2-101-2-1y1

y2

y3y4y5bYBCB-15-24-500Cy4

y50

0-15-24-5

002.確定入基變量。在系數(shù)列中找負數(shù)，把這個常量所在行作為入基變量。2023/12/624σ011/6–1/60-50-2/3–1/311/3-1/3y1y2y3y4y5bYBCB-15-24-500Cσ-5/410-1/41/415/2011/2-3/21/41/2-150-1-40y2y5-24

0-24

-5y2y3-15/200-7/2–3/22023/12/625第四節(jié)靈敏度分析靈敏度分析是指系統(tǒng)或事物對周圍環(huán)境變化顯示出來的敏感程度。在LP問題中，aij、cj、bi都有可能發(fā)生變化，分析這些變化對最優(yōu)解或目標值的影響程度就是靈敏度分析。2023/12/626cj通常表示一些估計或預測的數(shù)據(jù)，隨市場而變化；aij通常隨工藝技術條件的改變而改變；bi則反映了企業(yè)資源狀況。CBB-1bC

-CBB-1AB-1bB-1A原始數(shù)據(jù)A，b，CA=(P1P2…

Pn)①Z0=CBB-1bXB=B-1b②

A=C

-CBB-1A

N=CN-CBB-1N

j=Cj-CBB-1Pj

2023/12/627?b*=B-1?b

最優(yōu)解的增量?b*與初始b的增量?b

成B-1倍變化?Pj*

=B-1?Pj最優(yōu)解時的系數(shù)增量?Pj*

與初始的系數(shù)增量?Pj也成B-1倍變化最優(yōu)性條件可表達為：2023/12/628通常需要分析的項目：(1)參數(shù)a，b，C在什么范圍內(nèi)變動，對當前方案無影響？(2)參數(shù)b，b，c中的一個(幾個)變動，對當前方案影響程度？(3)如果最優(yōu)方案改變，如何用簡便方法求新方案？2023/12/629靈敏度分析的步驟：1、將參數(shù)的改變通過計算反映到最終單純形表上來。

具體計算方法是，按下列公式計算出由參數(shù)aij，bi，cj的變化而引起的最終單純形表上有關數(shù)字的變化。

2、檢查原問題是否仍為可行解。

3、檢查對偶問題是否仍為可行解。

4、按下表所列情況得出結論或決定繼續(xù)計算的步驟。原問題對偶問題結論或繼續(xù)計算的步驟可行解可行解問題的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變可行解非可行解用單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解可行解用對偶單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解非可行解引進人工變量，編制新的單純形表重新計算2023/12/630一、分析cj的變化線性規(guī)劃目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的變化僅僅影響到檢驗數(shù)(cj-zj)的變化。所以將cj的變化直接反映到最終單純形表中，只可能出現(xiàn)上頁表中前兩種情況。2023/12/631

例1-1：在美佳公司例子中，(1)若家電I的利潤降至1.5元/件，而家電II的利潤增至2元/件時，美佳公司最優(yōu)生產(chǎn)計劃有何變化；(2)若家電I的利潤不變，則家電II的利潤在什么范圍內(nèi)變化時，該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃將不發(fā)生變化？2023/12/632

解(1)：將家電I、II的利潤變化直接反映到最終單純形表中得到表如下：cj1.52000CB基bx1x2x3x4x50x315/2001[5/4]-15/21.5x17/21001/4-1/22x23/2010-1/43/2cj-zj0001/8-9/4

因變量x4的檢驗數(shù)大于零，故需繼續(xù)用單純形法迭代計算，得表如下：cj1.52000CB基bx1x2x3x4x50x46004/51-61.5x1210-1/5012x23011/500cj-zj00-1/100-3/2即美佳公司隨家電I、II的利潤變化應調(diào)整為生產(chǎn)2件I，生產(chǎn)3件II。2023/12/633

(2)：設家電II的利潤為(1+m)元，反映到最終單純形表中，得表如下：cj21+m000CB基bx1x2x3x4x50x315/20015/4-15/22x17/21001/4-1/21+mx23/2010-1/43/2cj-zj000-1/4+1/4m-1/2-3/2m為使上表中的解仍為最優(yōu)解，應有：解得：即家電II的利潤c2的變化范圍應滿足：2023/12/634二、分析bi的變化右端項bi的變化在實際問題中反映為可用資源數(shù)量的變化。bi變化反映到最終單純形表上將引起b列數(shù)字的變化，在表中可能出現(xiàn)第一或第三的兩種情況。出現(xiàn)第一種情況時，問題的最優(yōu)基不變，變化后的b列值為最優(yōu)解。出現(xiàn)第三種情況時，用對偶單純形法迭代繼續(xù)找出最優(yōu)解。2023/12/635例1-2：在上述美佳公司例子中，(1)若設備A和調(diào)試工序的每天能力不變，而設備B每天的能力增加到32h，分析公司最優(yōu)計劃的變化；(2)若設備A和設備B每天可用能力不變，則調(diào)試工序能力在什么范圍內(nèi)變化時，問題的最優(yōu)基不變。2023/12/636

解(1)：因有，則：將其反映到最終單純形表中得表如下。由于該表中原問題為非可行解，故用對偶單純形法繼續(xù)計算，其結果如下量表所示：2023/12/637cj21000CB基bx1x2x3x4x50x335/20015/4-15/22x111/21001/4-1/21x2-1/2010[-1/4]3/2cj-zj000-1/4-1/2對偶單純形法處理后結果：cj21000CB基bx1x2x3x4x50x315051002x15110010x420-401-6cj-zj0-100-2由此美佳公司的最優(yōu)計劃改變?yōu)橹簧a(chǎn)5件家電I。2023/12/638

(2)：設調(diào)式工序每天可用能力為(5+m)h，因有將其反映到最終單純形表中，其b列數(shù)字為：當b>=0時問題的最優(yōu)基不變，解得-1<=m<=1。由此調(diào)試工序的能力應在4h-6h之間。2023/12/639三、增加一個變量xj的分析增加一個變量在實際問題中反映為增加一種新的產(chǎn)品。其分析步驟為：

1、計算

2、計算

3、若，原最優(yōu)解不變，只需將計算得到的和直接寫入最終單純形表中；若，則按單純形法繼續(xù)迭代計算找出最優(yōu)。

例1-3：在美佳公司例子中，設該公司又計劃推出新型號的家電III，生產(chǎn)一件所需設備A、B及調(diào)試工序的時間分別為3h、4h、2h，該產(chǎn)品的預期盈利為3元/件，試分析該種產(chǎn)品是否值得投產(chǎn)；若投產(chǎn)，該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計劃有何變化。2023/12/640

解設該公司生產(chǎn)x6件家電III，有c6=3，P6=(3,4,2)T將其反映到最終單純形表中得表如下:2023/12/641因，故用單純形法繼續(xù)迭代計算結果為：cj210003CB基bx1x2x3x4x5x60x315/20015/4-15/2-72x17/21001/4-1/201x23/2010-1/43/2[2]cj-zj000-1/4-1/21cj210003CB基bx1x2x3x4x5x60x351/407/213/8-9/402x17/21001/4-1/203x63/401/20-1/83/41cj-zj0-1/20-1/8-5/40由上表可知，美佳公司新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃應該為每天生產(chǎn)7/2件家電I，51/4件家電III。2023/12/642四、分析參數(shù)aij的變化

aij的變化使線性規(guī)劃的約束系數(shù)矩陣A發(fā)生變化。若變量xj在最終單純形表中為基變量，則aij的變化分析步驟可參照本節(jié)之三；若變量xj在最終單純形表中為基變量，則aij的變化將使相應的B和B-1發(fā)生變化，因此有可能出現(xiàn)原問題和對偶問題均為非可行解的情況。出現(xiàn)這種情況時，需引進人工變量先將原問題的解轉化為可行解，再用單純形法求解。

例1-4：在美佳公司的例子中，若家電II每件需設備A、B和調(diào)試工時變?yōu)?h、4h、1h，該產(chǎn)品的利潤變?yōu)?元/件，試重新確定該公司最優(yōu)生產(chǎn)計劃。2023/12/643

解先將生產(chǎn)工時變化后的新家電II看作是一種新產(chǎn)品，生產(chǎn)量x2’，仿上一節(jié)的步驟直接計算和并反映到最終單純形表中。其中：將其反映到最終單純形表中得表如下。2023/12/644因x2已變換為x2’，故用單純形算法將x2’替換出基變量中的x2，并在下一個表中不再保留x2，得表如下：cj213000CB基bx1x2x2’x3x4x50x315/20011/215/4-15/22x17/2101/201/4-1/21x23/201[1/2]0-1/43/2cj-zj003/20-1/4-1/2cj23000CB基bx1x2’x3x4x50x3-90014-242x121001/2-23x2’3010-1/23cj-zj0001/2-52023/12/645上表中，原問題與對偶問題均非可行解，故先設法使原問題變?yōu)榭尚薪狻Ｉ媳碇械?行的約束可以寫為：x3+4x4-24x5=-9兩邊同乘以(-1)，再加上人工變量x6得-x3-4x4+24x5+x6=9將上式替換上表第一行，得：cj23000-MCB基bx1x2’x3x4x5x6-Mx6900-1-4[24]12