信息與通信材料力學(xué)之彎曲變形

1§7-1概述2§7-1概述3§7-1概述4§7-2撓曲線的近似微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計(jì)撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度：向上為正轉(zhuǎn)角：逆鐘向?yàn)檎?2.撓曲線的近似微分方程推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：忽略剪力對(duì)變形的影響§7-2撓曲線的近似微分方程6由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：略去高階小量，得所以§7-2撓曲線的近似微分方程7

由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線的近似微分方程為：

由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度?！?-2撓曲線的近似微分方程8§7-3用積分法求梁的變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：9

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形§7-3用積分法求梁的變形BAlCFabBAaqaCaaDq10例1

求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫(xiě)出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF§7-3用積分法求梁的變形114）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF§7-3用積分法求梁的變形12例2

求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫(xiě)出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程積分一次再積分一次§7-3用積分法求梁的變形134）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程§7-3用積分法求梁的變形146）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得，所以最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在令得，所以最大撓度發(fā)生在§7-3用積分法求梁的變形15例3

求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：§7-3用積分法求梁的變形163）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：§7-3用積分法求梁的變形174）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件§7-3用積分法求梁的變形185）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：§7-3用積分法求梁的變形196）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得，令得，§7-3用積分法求梁的變形20§7-4用疊加法求梁的變形

設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：

若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，21故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理?！?-4用疊加法求梁的變形22

已知簡(jiǎn)支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。例4解§7-4用疊加法求梁的變形23yC1yC2yC33）應(yīng)用疊加法，將簡(jiǎn)單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和

§7-4用疊加法求梁的變形24

已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角

C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形例5解§7-4用疊加法求梁的變形253）將結(jié)果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷分別作用的情形，分別計(jì)算C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。§7-4用疊加法求梁的變形26目錄§7-4用疊加法求梁的變形

已知：簡(jiǎn)支梁梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角

C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形q/2BABAlqCBAq/2q/22）再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷分別作用的情形，分別計(jì)算C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。3）將結(jié)果疊加

例627目錄§7-4用疊加法求梁的變形求圖示梁自由端C的撓度yC和轉(zhuǎn)角

C1）采用局部剛化法例7AFBCFFFFl2FFl2（1）（2）（3）28目錄§7-4用疊加法求梁的變形3）將結(jié)果疊加

例7AFBCFFFl229目錄§7-4用疊加法求梁的變形求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角

C3）將結(jié)果疊加

例6BAlqCa1）采用局部剛化法qqqaqa2/230§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.剛度條件

建筑鋼梁的許可撓度：機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：31

已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角

θ

=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。

根據(jù)要求，設(shè)計(jì)直徑d軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。

B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為：

2）由剛度條件確定軸的直徑：例6解§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施32§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施2.提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀332）改善結(jié)構(gòu)形式改變支座形式§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施342）改善結(jié)構(gòu)形式改變支座形式§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施352）改善結(jié)構(gòu)形式改變載荷類(lèi)型§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施yC1yC2363）采用超靜定結(jié)構(gòu)§7-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施37§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：梁的支反力數(shù)大于有效平衡方程數(shù)。多余約束：多余維持平衡所必須的約束。超靜定次數(shù)：等于多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.求解方法：38例7解

求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)，選取靜定基。在去掉約束處用一未知力代替，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2）進(jìn)行變形比較，列協(xié)調(diào)條件。相當(dāng)系統(tǒng)的變形與原超靜定梁相同，即變形協(xié)調(diào)條件為：§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁393）由物理關(guān)系列力補(bǔ)充方程查表可得：所以4）整體平衡求其它約束反力§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁40

梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開(kāi)，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理關(guān)系例8解§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁41FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得補(bǔ)充方程：確定A端約束力§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁42FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定B端約束力§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁43MAFAMCFCA、B端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖§7-6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁44解：結(jié)構(gòu)為一次靜不定，解除B點(diǎn)約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)。

如圖結(jié)構(gòu)受F=10kN的外力作用。已知梁和桿的材料相同，彈