2023年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)反比例函數(shù)學(xué)問點(diǎn)歸納和典型例題

（-）學(xué)問結(jié)構(gòu)

（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解并駕馭反比例函數(shù)的概念，能依據(jù)實(shí)際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式

k

y=一

x（k為常數(shù)，￡=0）,能推斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).

2.能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步理

解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn).

_k

3.能依據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并駕馭反比例函數(shù)‘一1（k為常數(shù)，0）的函數(shù)關(guān)

系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡潔的實(shí)際問題.

4.對(duì)于實(shí)際問題，能“找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，探討函數(shù)模型，解決實(shí)

際問題”的過程，體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中改變規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.

5.進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)改變觀點(diǎn)，進(jìn)一步相

識(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

（三）重點(diǎn)難點(diǎn)

1.重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的理解和駕馭，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、駕馭

和運(yùn)用.

2.難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和駕馭.

二、基礎(chǔ)學(xué)問

（-）反比例函數(shù)的概念

y——?

1.'x（上WO）可以寫成y=H（上wO）的形式，留意自變量X的指數(shù)為-1,

在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特殊留意系數(shù)kw0這一限制條件；

k

y=-

2.X（-t*0）也可以寫成*丫=卜的形式，用它可以快速地求出反比例函數(shù)解析式

中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式；

k

y=

3.反比例函數(shù)x的自變量xwO,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(diǎn).

（二）反比例函數(shù)的圖象

k

y=-

在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)x的圖象時(shí)，應(yīng)留意自變量X的取值不能為0,且X應(yīng)對(duì)

稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

k

y=一

1.函數(shù)解析式：X0）

2.自變量的取值范圍：X*o

3.圖象：

（1）圖象的形態(tài)：雙曲線.

川越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.用越小，圖象的彎曲度越大.

（2）圖象的位置和性質(zhì)：

與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線.

當(dāng)上＞0時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；

當(dāng)歸＜0時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

（3）對(duì)稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（一。，一力）

在雙曲線的另一支上.

圖象關(guān)于直線尸=±x對(duì)稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，貝和（一力，~a）

在雙曲線的另一支上.

4.k的幾何意義

k

y=—

如圖1,設(shè)點(diǎn)P（a,b）是雙曲線x上隨意一點(diǎn)，作PA_Lx軸于A點(diǎn)，PB_Ly軸于

B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是卜1（三角形PAO和三角形PBO的面積都是

如圖2,由雙曲線的對(duì)稱性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QCLPA的

2kl.

圖2

5.說明:

（1）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，探討反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)

分支分別探討，不能一概而論.

$

（2）直線＞=吊刀與雙曲線”-x的關(guān)系:

當(dāng)無品＜°時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)板玲＞°時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩

個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.

（四）實(shí)際問題與反比例函數(shù)

1.求函數(shù)解析式的方法:

（1）待定系數(shù)法；（2）依據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.

2.留意學(xué)科間學(xué)問的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問的探討上.

（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

三、例題分析

.反比例函數(shù)的概念

（1）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().

A.y=3xB,k3=2XC.3xy=1D.>=r

（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().

111

y=--；1y=1+

A.4xB.xC.x-2D.

答案：（1）C；（2）A.

.圖象和性質(zhì)

⑴已知函數(shù),=3+1）/'皿是反比例函數(shù),

①若它的圖象在其次、四象限內(nèi)，那么k=

②若y隨x的增大而減小，那么k=

ab

y--

（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)x的圖象位于

第象限.

（3）若反比例函數(shù),一1經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）,則-次函數(shù)尸=-&+2的圖象肯定不經(jīng)

過第象限.

y

（4）已知a?b〈O,點(diǎn)P（a,b）在反比例函數(shù)x的圖象上,

則直線不經(jīng)過的象限是（）.

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

ay~~

（5）若P（2,2）和Q（m,一6）是反比例函數(shù)X圖象上的兩點(diǎn),

則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（）.

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).其次、三、四象限

_k

（6）已知函數(shù)尸=Mx-1）和7（辱0）,它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）.

答案：（1）①-2②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B.

3.函數(shù)的增減性

⑴在反比例函數(shù)〈”的圖象上有兩點(diǎn)，（孫力），6匕，乃），且

%＞修＞0則H一乃的值為（）.

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

（2）在函數(shù),~（a為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)QLH）,’4'”「5

則函數(shù)值乃、乃、乃的大小關(guān)系是（）.

A.當(dāng)＜為＜乃B.為＜劣＜%C.%＜劣＜乃D,y3＜

乃＜為

55

＜＜y=-v=—一

（3）下列四個(gè)函數(shù)中：①＞="；②，=-3x；③x；④x

y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

k

y=-

（4）已知反比例函數(shù)x的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點(diǎn)，貝D當(dāng)x＞0

時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而（填"增大”或"減小”）.

答案：(1)A；(2)D：(3)B.

留意，（3）中只有②是符合題意的，而③是在“每一個(gè)象限內(nèi)“y隨x的增大而減小.

2J

（1）若尸與X成反比例，X與N成正比例，則y是Z的（）.

A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C.一次函數(shù)D.不能確定

k

y=—

（2）若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)X的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為（2,m）,則

m=,k=,它們的另一個(gè)交點(diǎn)為.

_m3_m

（3）已知反比例函數(shù)x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2-8）,反比例函數(shù)x的圖象在其

次、四象限，求切的值.

y=-w-+1

（4）已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)X（冽工-1）的圖象在第一象限內(nèi)

的交點(diǎn)為P（xO,3）.

①求x0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

口3克）

（5）為了預(yù)防“非典”，某學(xué)校對(duì)教室采納藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室

內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x

成反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫

克.請(qǐng)依據(jù)題中所供應(yīng)的信息解答下列問題：

①藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,自變量x的取值范圍是

；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.

②探討表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒

起先，至少須要經(jīng)過分鐘后，學(xué)生才能回到教室；

③探討表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí),

才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

答案：(1)B；(2)4,8,(-2,-4)；

(3)依題意，鞏2=(-2)*(-8)且州<0,解得的=-4

%+/?=3,|\=L

(4)①依題意，J%=掰+1>°；解得I加=2

=3

②一次函數(shù)解析式為y="+2,反比例函數(shù)解析式為x.

348,

y=-x…y--(x>8)

(5)①，4,0<^<8,x；

4R?

--3xi=i3,25>10

②30；③消毒時(shí)間為34(分鐘)，所以消毒有效.

@5.面積計(jì)算

__3

(1)如圖，在函數(shù)'X的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,過這三個(gè)點(diǎn)分別向x軸、y

軸作垂線，過每一點(diǎn)所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為周、品、旦,

則().

第(1)題圖第(2)題圖

1

y=-

(2)如圖，A、B是函數(shù)x的圖象上關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的隨意兩點(diǎn)，AC//y軸，BC//X

軸，△ABC的面積S,貝IJ().

A.S=1B.1<S<2C.S=2D.S>2

m

y

(3)如圖，RSAOB的頂點(diǎn)A在雙曲線

1

(4)已知函數(shù)X的圖象和兩條直線y=x,y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2

兩點(diǎn)，過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1,P1R1,垂足分別為Q1,R1,過P2分別作x

軸、y軸的垂線P2Q2,P2R2,垂足分別為Q2,R2,求矩形。Q1P1R1和0Q2P2

R2的周長，并比較它們的大小.

1

y--

(5)如圖，正比例函數(shù)y=kx(k>0)和反比例函數(shù)K的圖象相交于A、C兩點(diǎn),

過A作x軸垂線交x軸于B,連接BC,若△ABC面積為S,則S=

y=一,.小

(6)如圖在RSABO中，頂點(diǎn)A是雙曲線X與直線>二一工+(火+1)在第四象限

3

的交點(diǎn)，ABJ_x軸于B且SAABO=5.

①求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

②求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和^AOC的面積.

(7)如圖，已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn),

k

y=-

點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)x(k>0,x>0)的圖象上，點(diǎn)P(m,n)

k

y=—

是函數(shù)x(k>0,x>0)的圖象上隨意一點(diǎn)，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、

F,設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S.

①求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；

②當(dāng)2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

③寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.

答案：(1)D：(2)C：(3)6；

(4)4⑵2),R陋,2力)，矩形OQIPIR1的周長為8,002「2[^2的周長為

6&,前者大.

(5)1.

y=——3、

(6)①雙曲線為x,直線為＞=-x-2；

②直線與兩軸的交點(diǎn)分別為(0,-2)和(-2,0),且A(1,-3)和C(一3,

因此A4OC面積為4.

(7)①B(3,3),上=9：

93

S=-尸(6-)

②2時(shí)，E(6,0),2；

③22m.

.綜合應(yīng)用

%

y=

(1)若函數(shù)y=k1x(k"0)和函數(shù)x(k2W0)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有公共

點(diǎn)，則k1和k2().

A.互為倒數(shù)B.符號(hào)相同C.肯定值相等D.符號(hào)相反

m

如圖，一次函數(shù)尸=匕+?的圖象與反比例數(shù)?=一

(2)X的

圖象交于A、B兩點(diǎn)：A(-2,1),B(1,n).

①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

②依據(jù)圖象寫出訪一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

(3)如圖所示，已知-次函數(shù)+6(k^O)的圖象與x軸、

m

y--

y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)x(m#0)的圖

象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為D,若0A=0B=0D=1.

①求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);

②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.