曲線的參數方程

在過去的學習中我們已經掌握了一些求曲線方程的方法，在求某些曲線方程時，直接確定曲線上的點的坐標x,y的關系并不容易，但如果利用某個參數作為聯系它們的橋梁，那么就可以方便地得出坐標x,y所要適合的條件，即參數可以幫助我們得出曲線的方程f(x,y)＝0。下面我們就來研究求曲線參數方程的問題。第一頁第二頁，共35頁。1、參數方程的概念第二頁第三頁，共35頁。1、參數方程的概念探究：一架救援飛機在離災區(qū)地面500m的高處以100m/s的速度作水平直線飛行，為使投放的救援物資準確落于災區(qū)指定的地面（不計空氣阻力），飛行員應如何確定投放時機呢？第三頁第四頁，共35頁。AM(x,y)xyo

飛機在A點將物資投出機艙，在經過飛行航線（直線）且垂直與地面的平面上建立平面直角坐標系，其中x軸為地平面與這個平面的郊交線，y軸經過A點。記物資投出機艙時為時刻0，在時刻t時物資的位置為點M（x,y）,則x表示物資的水平位置，y表示物資距地面的高度。由于水平位移量x與高度y是由兩種不同的運動得到的，因此直接建立x,y所要滿足的關系式并不容易。換個角度看這個問題。由物理知識，物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿ox作初速為100m/x的勻速直線運動；（2）沿oy反方向作自由落體運動。第四頁第五頁，共35頁。一、方程組有3個變量，其中的x,y表示點的坐標，變量t叫做參變量，而且x,y分別是t的函數。二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯一決定，從數學角度看，這就是點M的坐標x,y由t唯一確定，這樣當t在允許值范圍內連續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序實數對（x,y）之間有一一對應關系。第五頁第六頁，共35頁。一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數并且對于t的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程(2)就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x,y的變數t叫做參變數，簡稱參數，相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。第六頁第七頁，共35頁。第七頁第八頁，共35頁。請用自己的語言來比較一下參數方程與普通方程的異同點第八頁第九頁，共35頁。2、圓的參數方程第九頁第十頁，共35頁。xoyM(x,y)圓周運動是生產生活中常見的。當物體繞定軸做勻速轉動時，物體中各個點都做勻速圓周運動，那么怎樣刻畫運動中點的位置呢？設圓O的半徑為r，點M從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓O上做勻速圓周運動，點M繞點O轉動的角速度為ω。以圓心O為原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系。顯然，點M的位置由時刻t惟一確定，因此可取t為參數。r第十頁第十一頁，共35頁。第十一頁第十二頁，共35頁。第十二頁第十三頁，共35頁。圓的參數方程的一般形式第十三頁第十四頁，共35頁。由于選取的參數不同，圓有不同的參數方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數為參數，因此得到的參數方程也可以有不同的形式，形式不同的參數方程，它們表示的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線的參數參數時，要注明參數及參數的取值范圍。第十四頁第十五頁，共35頁。練習1已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標準方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴參數方程為(θ為參數)第十五頁第十六頁，共35頁。例2如圖，圓O的半徑為2，P是圓上的動點，Q(6,0)是x軸上的定點，M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0)第十六頁第十七頁，共35頁。分析：取為參數，則圓O的參數方程是（θ為參數），當θ變化是，動點P在定圓O上運動，線段PQ也隨之變動，從而使點M遠動，因此點M的運動可以看成是由角θ決定的。于是，選θ為參數是適合的。第十七頁第十八頁，共35頁。思考：這里定點Q在圓O上外，你能判斷這個軌跡表示什么曲線呢？如果定點Q在圓O上，軌跡是什么？如果定點Q在圓O內，軌跡又是什么？第十八頁第十九頁，共35頁。練習第十九頁第二十頁，共35頁。（2，1）第二十頁第二十一頁，共35頁。3、參數方程和普通方程的互化第二十一頁第二十二頁，共35頁。第二十二頁第二十三頁，共35頁。將曲線的參數方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數而從參數方程得到普通方程。如果知道變數x,y中的一個與參數t的關系，例如，把它代入普通方程，求出另一個變數與參數的關系那么就是曲線的參數方程。第二十三頁第二十四頁，共35頁。參數方程和普通方程的互化：（1）普通方程化為參數方程需要引入參數如：①直線L的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數方程（t為參數）②在普通方程xy=1中，令x=tan

,可以化為參數方程

（

為參數）第二十四頁第二十五頁，共35頁。（2）參數方程通過代入消元或加減消元消去參數化為普通方程如：①參數方程消去參數

可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②參數方程（t為參數）可得普通方程：y=2x-4通過代入消元法消去參數t,（x≥0）注意：在參數方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的.第二十五頁第二十六頁，共35頁。例3、把下列參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？第二十六頁第二十七頁，共35頁。（2）把平方后減去得到因為所以因此，與參數方程等價的普通方程是這是拋物線的一部分。所以代入第二十七頁第二十八頁，共35頁。練習、1.將下列參數方程化為普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步驟：（1）消參；（2）求定義域。第二十八頁第二十九頁，共35頁。2.求參數方程表示（）（A）雙曲線的一支，這支過點（1，）：（B）拋物線的一部分，這部分過（1，）；（C）雙曲線的一支，這支過點（–1，）；（D）拋物線的一部分，這部分過（–1，）第二十九頁第三十頁，共35頁。分析一般思路是：化參數方程為普通方程求出范圍、判斷。解∵x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，為拋物線。

∵，又0<

<2，0<x，故應選（B）說明這里切不可輕易去絕對值討論，平方法是最好的方法。第三十頁第三十一頁，共35頁。例4

解（1）把

帶入橢圓方程，得到

于是由參數的任意性，可取因此橢圓的參數方程為（為參數）

第三十一頁第三十二頁，共35頁。思考：為什么（2）中的兩個參數方程合起來才是橢圓的參數方程？因此橢圓的參數方程為（t為參數）和（2）把代入橢圓方程，得第三十二頁第三十三頁，共35頁。x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數方程.曲線y=x2的一種參數