組合、組合數(shù)及其性質高二上學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

§3組合組合、組合數(shù)及其性質1.理解并掌握組合與組合數(shù)的概念,掌握組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別（數(shù)學抽象和邏輯推理）2.會推導組合數(shù)公式，并會應用公式求值（數(shù)學運算）3.理解組合數(shù)的兩個性質，并會求值、化簡和證明（數(shù)學建模和數(shù)學運算）環(huán)節(jié)一組合與組合問題1、組合與組合問題思考1：某個城市有3座大型體育場A,B,C,需要選擇2座體育場承辦一次運動會，共有多少種選擇方案？？追問1：這個問題是排列問題嗎？追問2：那這道題可以怎么解決呢？不是，它不在意順序列舉法AB,AC,BC，共三種追問3：它跟排列有什么關系呢？AB,AC,BC,BA,CA,CB,少了兩個元素的排列思考2：從a,b,c,d這4個元素中取出2個元素，共有多少種可能？1、組合與組合問題追問1：這個問題是排列問題嗎？追問2：那這道題可以怎么解決呢？不是，它不在意順序列舉法ab,ac,ad,bc,bd,cd，共六種追問3：它跟排列有什么關系呢？ab,ac,ad,bc,bd,cd,ba,ca,da,cb,db,dc,少了兩個元素的排列思考2：從a,b,c,d這4個元素中取出2個元素，共有多少種可能？1、組合與組合問題追問4：如果我將要求的方法數(shù)設為x，你能列出什么式子呢？

思考3：某次團代會，要從5名候選人中選岀3名擔任代表，共有多少種方案？1、組合與組合問題追問1：這個問題是排列問題嗎？追問2：那這道題可以怎么解決呢？不是，它不在意順序列舉法用a,b,c,d,e這5個字母代表5名候選人,把所有可能都列岀來，共有10種,分別是abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.思考3：某次團代會，要從5名候選人中選岀3名擔任代表，共有多少種方案？1、組合與組合問題追問3：它跟排列有什么關系呢？少了三個元素的排列

1、組合與組合問題組合的概念：一般地，從n個不同元素中，任取m(m≤n,且m,n∈N)個元素為一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.我們把有關求組合的個數(shù)的問題叫作組合問題.注意：(1)組合的特點：組合要求n個元素是不同的，取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.(2)組合的特性：元素的無序性.取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求.1、組合與組合問題思考4：若兩個組合是相同組合，它們需要滿足什么條件？兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.思考6：排列與組合有什么區(qū)別與聯(lián)系？(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.(2)不同點:排列與元素的順序有關,組合與元素的順序無關.排列：先選后排

組合：只選不排思考5：若兩個排列是相同排列，它們需要滿足什么條件？只有元素和元素的順序都相同時，兩個排列才是相同的.判斷下列問題是組合問題還是排列問題：（1）a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？（1）單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.（2）a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？（2）冠、亞軍是有順序的，是排列問題.（3）從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？（3）3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題.判斷下列問題是組合問題還是排列問題：（4）從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？（4）3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題.（5）把5本不同的書分給5個學生，每人一本.（5）由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題.（6）從7本不同的書中取出5本給某個學生.（6）從7本不同的書中，取出5本給某個學生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題.環(huán)節(jié)二組合數(shù)及公式2、組合數(shù)及公式思考1：對于一般的組合問題，如何計算所有組合的個數(shù)呢？

（1）3座大型體育場選擇2座體育場承辦一次運動會記為

（2）4個元素中取出2個元素記為

（3）5名候選人中選岀3名擔任代表記為

2、組合數(shù)及公式思考2：通過上面的推理過程，你發(fā)現(xiàn)組合該怎么計算？

2、組合數(shù)及公式

計算：

466計算：

2、已知平面內有12個點，任何3個點均不在同一直線上，以每3個點為頂點畫一個三角形，一共可以畫多少個三角形？

3、在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓.在下列條件下，有多少種不同的選法？（1）任意選5人；

（2）甲、乙、丙三人必須參加；

3、在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人參加市級培訓.在下列條件下，有多少種不同的選法？（3）甲、乙、丙三人不能參加；

（4）甲、乙、丙三人只能有1人參加.

4、6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？（1）每組2本；

（2）一組1本，一組2本，一組3本；

不同元素分組、分配問題4、6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？（3）一組4本，另外兩組各1本.

“分組”與“分配”問題的解法1.分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：（1）完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；（2）部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n?。唬?）完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象.2.分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數(shù).（1）每個盒子都不空；

（2）恰有一個空盒子.

相同元素分配問題

2.（1）某同學有同樣的畫冊2本、同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（B）A.4種B.10種

BC.18種D.20種相同元素分配問題（2）某社區(qū)服務站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個不同的社區(qū)宣傳腎臟日的主題：“盡快行動，盡快預防”，則不同的分配方案有

90

?種（用數(shù)字作答）.

90相同元素分配問題環(huán)節(jié)三組合數(shù)的性質3、組合數(shù)的性質思考1：分別計算“從10人中選出6人參加比賽”與“從10人中選出4人不參加比賽”的方法數(shù)？

3、組合數(shù)的性質思考2：從10名普通戰(zhàn)士和1名班長中選出5名參加軍事比武大賽，共有多少種方案?？

下標相同，上標差一，加法后下標加一，上標取最大

1.組合的概念一般地，從n個不同元素中，任取m（m≤n，且m，n∈N＋）個元素為一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個

組合

?.我們把有關求組合的個數(shù)的問題叫作組合問題.2.組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別從排列與組合的定義可知，兩者都是關于從n個不同元素中取出m（m≤n，