新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破課件 第1部分 專題突破 專題6　第3講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（含解析）

第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系專題六解析幾何考情分析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長、面積以及弦中點等問題，難度中等.考點一弦長、面積問題考點二中點弦問題考點三直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用專題強化練內(nèi)容索引弦長、面積問題考點一已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，核心提煉例1方法一

由題意知，直線的斜率不為0，F(xiàn)1(－1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，解得m＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.方法二

由(1)知F1(－1,0)，B(2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，|MN|＝3，點B(2,0)到直線l：x＝－1的距離為3，所以直線l的斜率存在.設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，即k2＝1，得k＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.(1)設(shè)直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等.(2)涉及直線與圓錐曲線相交時，Δ>0易漏掉.(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立.易錯提醒跟蹤演練1(2022·寶雞模擬)已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點，一個焦點與拋物線C2：y2＝4x的焦點F重合，且橢圓C1的離心率為(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線C2：y2＝4x的焦點為F(1,0)，所以橢圓C1的一個焦點為F(1,0)，其中c2＝a2－b2，(2)過F點的直線l與C1交于A，B兩點，與C2交于P，Q兩點，且A，P點都在x軸上方，如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直線l的方程.由題意知直線l的斜率不為0，設(shè)其方程為x＝my＋1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，Δ＝16m2＋16＝16(m2＋1)>0，所以y3＋y4＝4m，y3y4＝－4，則|PQ|＝x3＋x4＋2＝m(y3＋y4)＋4＝4m2＋4，Δ＝36m2＋36(4＋3m2)＝144(m2＋1)>0，由|PB|＋|AQ|＝3|AB|，即|PB|＋|AQ|＝|PA|＋|AB|＋|QB|＋|AB|＝|PA|＋|QB|＋2|AB|＝3|AB|，得|PA|＋|QB|＝|AB|，又|PA|＋|QB|＋|AB|＝|QP|，中點弦問題考點二已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.核心提煉例2得點M(m，0)，N(0，n).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，因為kAB＝kMN，將A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程，由題意知x1＋x2≠0，x1≠x2，整理得m2＝2n2. ①所以由勾股定理，得m2＋n2＝12，

②得點M(m，0)，N(0，n).由題意知線段AB與線段MN有相同的中點，處理中點弦問題常用的求解方法規(guī)律方法

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，若拋物線C上存在關(guān)于直線l：x－y－2＝0對稱的不同兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標(biāo)為跟蹤演練2√∵焦點到準(zhǔn)線的距離為p，則p＝1，∴y2＝2x.設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2).又∵P，Q關(guān)于直線l對稱.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，又∵PQ的中點一定在直線l上，∴線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，－1).直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用考點三直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法(1)聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程.(2)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程.(3)利用判別式Δ，判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.核心提煉例3內(nèi)的任意值均可)若直線y＝2x與雙曲線C無公共點，(2)(多選)(2022·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點，點A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則A.C的準(zhǔn)線為y＝－1

B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2

D.|BP|·|BQ|>|BA|2√√√如圖，因為拋物線C過點A(1,1)，因為x2＝y(tǒng)，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在點A處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又點B(0，－1)在直線y＝2x－1上，所以直線AB與C相切，所以B正確；設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為y＝kx－1，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，所以C正確；所以D正確.故選BCD.(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合).易錯提醒

(1)(2022·梅州模擬)拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為A.1 B.2 C.4 D.8跟蹤演練3√∵拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線為l，∴l(xiāng)：x＝－1，A(－1,0)，設(shè)過點A作拋物線的一條切線方程為x＝my－1，m>0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，√設(shè)B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由題意得，專題強化練一、單項選擇題1.(2022·丹東模擬)直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與C交于A，B兩點，若使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則p等于√12345678910111213由拋物線的對稱性知，要使|AB|＝2的直線l有且僅有1條，則AB必須垂直于x軸，√1234567891011121312345678910111213解得a2＝16，b2＝9，12345678910111213√12345678910111213√1234567891011121312345678910111213設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(2,1)是橢圓M的一條弦AB的中點，故x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，12345678910111213故有a2＝2b2＝2(a2－c2)，5.(2022·濟(jì)南模擬)已知拋物線C：y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，直線l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1，M2，M3，M4四點，則下列各式結(jié)果為定值的是A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|√1234567891011121312345678910111213如圖，分別設(shè)M1，M2，M3，M4四點的橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦點F(1,0)，準(zhǔn)線l0：x＝－1，由定義得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，則x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.12345678910111213√由已知得F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)，當(dāng)直線PF1，PF2的斜率存在時，直線PF1的斜率為k1，1234567891011121312345678910111213當(dāng)直線PF1或PF2的斜率不存在時，不符合題意.12345678910111213二、多項選擇題7.已知直線l：x＝ty＋4與拋物線C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，O為坐標(biāo)原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則A.y1·y2為定值

B.k1·k2為定值C.y1＋y2為定值

D.k1＋k2＋t為定值√√√12345678910111213對于A，y1y2＝－16為定值，A正確；對于C，y1＋y2＝4t，不為定值，C錯誤；12345678910111213則k1＋k2＋t為定值，D正確.12345678910111213√√對于A，因為雙曲線C的一個焦點F(5,0)，漸近線方程化為4x±3y＝0，12345678910111213若C的實半軸長，虛半軸長同時增加相同的長度m(m>0)，∴e′<e，即離心率變小，故B錯誤；對于選項C，A(－3,0)，B(3,0)，設(shè)P(x，y)，1234567891011121312345678910111213三、填空題12345678910111213[1,4)∪(4，＋∞)直線y＝kx＋1過定點(0,1)，∴m≥1，且m≠4.12345678910111213123456789101112131234567891011121312345678910111213設(shè)右焦點為F′，連接AF′，BF′(圖略).因為2|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四邊形AFBF′為矩形.在Rt△ABF中，由雙曲線的定義可得|AF|－|AF′|＝2a，123456789101112131234567891011121313如圖，連接AF1，DF2，EF2，12345678910111213所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因為|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2為等邊三角形，又DE⊥AF2，所以直線DE為線段AF2的垂直平分線，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，12345678910111213所以△ADE的周長為|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋