專題21.2一元二次方程的解法：直接開平方法與配方法-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題21.2一元二次方程的解法：直接開平方法與配方法【名師點(diǎn)睛】直接開平方法：形如x2=p或（nx+m）2如果方程化成x2=p的形式，那么可得=±p如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．【典例剖析】【知識(shí)點(diǎn)1】直接開平方法【例1】（2022·全國·九年級(jí)）若方程（x﹣1）2＝m＋1有解，則m的取值范圍是（

）A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m為任意實(shí)數(shù) D．m＞0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個(gè)實(shí)數(shù)的平方非負(fù)得關(guān)于m的不等式，解不等式即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，∴m+1≥0，∴m≥﹣1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．【變式】（2022·江蘇·蘇州市吳中區(qū)城西中學(xué)八年級(jí)期中）如果關(guān)于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接開平方法求解，那么m的取值范圍是（A．m>3 B．m≥3 C．m>-4 D．m≥-4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得．【詳解】解：∵(x-9)2=m+4，且方程∴m+4≥0，∴m≥-4．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，正確化簡(jiǎn)方程是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2】配方法【例2】（2022·浙江寧波·八年級(jí)期中）用配方法解方程x2+4x-5=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（A．(x+2)2=-1 B．(x+2)2=-9 C．【答案】D【解析】【分析】用配方法對(duì)方程進(jìn)行配方后對(duì)比選項(xiàng)即可．【詳解】x移項(xiàng)得：x2配方得：x2合并得：(x+2)2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的配方法，熟練運(yùn)用完全平方公式(a+b)2=a【變式2】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·一模）將一元二次方程x2-6x+5=0化成(x+h)2=k的形式，則A．-5 B．4 C．9 D．14【答案】B【解析】【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即加上9，計(jì)算即可．【詳解】解：∵xx2-6x=-5x2-6x+9=-5+9(x-3)2=4∴k=4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查配方法，熟練掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3】直接開平方法或配方法解方程【例3】（2022·全國·九年級(jí)）解方程：4x-1【答案】x1=【解析】【分析】由原方程得到x-12【詳解】解：由原方程，得：x-12直接開平方，得：x-1=±3解得：x1=5【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3.1】（2022·廣東惠州·七年級(jí)期中）解方程14(2x-1)【答案】x1=【解析】【分析】首先兩邊同時(shí)乘以4可得(2x-1)2【詳解】解：14方程兩邊同時(shí)乘以4得：(2x-1)2兩邊直接開平方得：2x-1=±4，即2x-1=4或2x-1=-4，解得x1=5【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．【變式3.2】（2022·全國·九年級(jí)）解方程：x2【答案】x1=1+2【解析】【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：xx(x-1)x-1=±2∴x=1±2即x1=1+22【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是掌握配方法．【知識(shí)點(diǎn)4】配方法的應(yīng)用【例4】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是兩個(gè)整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．嘗試當(dāng)a＝0時(shí)，A＝______，B＝______．當(dāng)a＝2時(shí)，A＝______，B＝______．猜測(cè)嘉淇猜測(cè)：無論a為何值，A＞B始終成立．驗(yàn)證請(qǐng)證明嘉淇猜測(cè)的結(jié)論．【答案】1，-2；11，9；證明見解析【解析】【分析】把a(bǔ)＝0與a＝2代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算可得代數(shù)式的值，再利用作差的方法比較A，B的大小.【詳解】解：當(dāng)a＝0時(shí)，A＝1，B＝-2．當(dāng)a＝2時(shí)，A＝3×B＝2×2此時(shí)都有A＞嘉淇猜測(cè)：無論a為何值，A＞B始終成立．理由如下：∵A-B=3a=a而a-12≥0,則∴A-B≥2＞0,【點(diǎn)睛】本題考查的是求解代數(shù)式的值，利用作差法比較代數(shù)式的值的大小，同時(shí)考查了配方法的應(yīng)用，熟練的利用配方法判斷一個(gè)代數(shù)式的值的范圍是解本題的關(guān)鍵.【變式4】（2022·福建省漳州第一中學(xué)八年級(jí)期中）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法如：①利用配方法分解因式：a2解：原式=②M=2a2+解：原式=a∵a-b2≥0，a-12≥0∴當(dāng)a=b=1時(shí)，M取得最小值，且最小值為1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)用配方法因式分解：x2(2)若N=12x【答案】(1)x-3(2)-2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用配方法將x2-14x+33轉(zhuǎn)化成（2）由題意，利用配方法將N=12x(1)解：原式=x=x-7=x-7+4=(2)∵N=1又∵x+2y2≥0，∴N≥-2，∴N的最小值為-2．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，涉及平方差公式，平方的非負(fù)性等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?白云區(qū)一模）方程（x+1）2＝9的解為（）A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4【分析】方程利用平方根定義開方即可求出解．【解答】解：方程（x+1）2＝9，開方得：x+1＝3或x+1＝﹣3，解得：x1＝2，x2＝﹣4．故選：A．2．（2021秋?硚口區(qū)期末）若2是關(guān)于x的方程x2﹣c＝0的一個(gè)根，則c＝（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解關(guān)于c的方程．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4．故選：B．3．（2021秋?平頂山期末）方程（x﹣3）2＝4的根為（）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝7，x2＝﹣1【分析】方程利用平方根定義開方即可求出解．【解答】解：方程（x﹣3）2＝4，開方得：x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得：x1＝5，x2＝1．故選：B．4．（2021秋?廈門期末）方程（x﹣1）2＝0的根是（）A．x＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1【分析】?jī)蛇呏苯娱_平方即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，則x1＝x2＝1，故選：B．5．（2021秋?鄂州期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一個(gè)根是3，則m的值是（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【分析】將x＝3代入方程求解即可．【解答】解：將x＝3代入方程，得：32﹣m＝0，解得m＝9，故選：C．6．（2022?武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2時(shí)，配方后正確的是（）A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6【分析】方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．【解答】解：x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．故選：C．7．（2022?大同模擬）用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的是（）A． B． C． D．【分析】方程移項(xiàng)后，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：方程移項(xiàng)得：y2﹣y＝，配方得：y2﹣y+＝，整理得：（y﹣）2＝．故選：B．8．（2022春?杭州月考）下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四個(gè)步驟中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（）x2﹣x﹣2＝0x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝5（x﹣1）2＝5x＝+1A．① B．② C．③ D．④【分析】觀察解方程步驟，找出出錯(cuò)的步驟即可．【解答】解：用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四個(gè)步驟中，x2﹣x﹣2＝0x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝5（x﹣1）2＝5x＝+1，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是④．故選：D．9．（2021秋?曾都區(qū)期中）用直接開平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正確的是（）A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5） C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5【分析】一元二次方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，表示兩個(gè)式子的平方相等，因而這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解．【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2開方得3x+1＝±（2x﹣5），故選：C．10．對(duì)于二次三項(xiàng)式2x2+4x+5的值，下列敘述正確的是（）A．一定為正數(shù) B．可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù) C．一定為負(fù)數(shù) D．其值的符號(hào)與x值有關(guān)【分析】利用配方法將2x2+4x+5進(jìn)行配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵2x2+4x+5＝2（x2+2x+1）﹣2+5＝2（x+1）2+3≥3，∴原式一定為正數(shù)．故選：A．二．填空題（共6小題）11．（2022春?通州區(qū)校級(jí)月考）一元二次方程x2﹣9＝0的兩根分別是x1＝3，x2＝﹣3．【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【解答】解：x2﹣9＝0，移項(xiàng)得，x2＝9，解得，x1＝3，x2＝﹣3．故答案為：x1＝3，x2＝﹣3．12．（2022?柳江區(qū)一模）一元二次方程4x2﹣81＝0的解是．【分析】先移項(xiàng)，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，繼而兩邊開方即可．【解答】解：∵4x2﹣81＝0，∴4x2＝81，∴x2＝，∴，故答案為：．13．（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0，可以寫成（x+h）2＝k的形式，則（x﹣）2＝．【分析】方程利用完全平方公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果．【解答】解：原方程可以化為：x2﹣x＝，等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2﹣x+＝+，配方，得（x﹣）2＝．故答案為：（x﹣）2＝．14．（2022春?東臺(tái)市期中）將一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b為常數(shù)）的形式，則a+b的值為7．【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，繼而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x+5＝0，∴x2﹣8x＝﹣5，則x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，∴a＝﹣4，b＝11，則a+b＝﹣4+11＝7，故答案為：7．15．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）對(duì)方程x2x＝0進(jìn)行配方，得+m＝+m，其中m＝．【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，依此可求m．【解答】解：由題意得：m＝（÷2）2＝．故答案為：．16．（2020?日照二模）對(duì)于實(shí)數(shù)p、q．我們用符號(hào)min{p，q}表示p，q兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，﹣）＝﹣；若min{（x+1）2，x2}＝4，則x＝2或﹣3．【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算即可求出答案．【解答】解：∵﹣π+2＞﹣，∴min{﹣π+2，﹣}＝﹣，由于（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，當(dāng)2x+1＞0時(shí)，即x＞，∴min{（x+1）2，x2}＝x2，∴x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），當(dāng)2x+1＜0時(shí)，∴x＜，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x＝1（舍去）或x＝﹣3，當(dāng)2x+1＝0時(shí)，此時(shí)x＝，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2＝x2，此時(shí)x2≠4，不符合題意，綜上所述，x＝2或x＝﹣3．故答案為：﹣，2或﹣3．三．解答題（共6小題）17．（2021秋?濱湖區(qū)期中）解下列方程：（1）（x﹣3）2＝25；（2）x2﹣6x﹣8＝0．【分析】（1）利用直接開平方法解一元二次方程；（2）利用配方法解一元二次方程．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝25，x﹣3＝±5，x＝±5+3，∴x1＝8，x2＝﹣2；（2）x2﹣6x﹣8＝0，x2﹣6x＝8，x2﹣6x+9＝8+9，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，x＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．18．（2022春?淄川區(qū)期中）（1）請(qǐng)用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半系數(shù)平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解；（2）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半系數(shù)平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，開方得：x﹣＝±，解得：x1＝+，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2+x＝﹣，配方得：x2+x+＝﹣，即（x+）2＝，開方得：x+＝±，解得：x1＝，x2＝．19．（2020秋?魏都區(qū)校級(jí)月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）3（2x﹣1）2﹣27＝0；（2）2x2﹣6x+1＝0．【分析】（1）先移項(xiàng)，再方程兩邊都除以3，再方程兩邊開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后方程兩邊都除以2，再配方，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣27＝0，移項(xiàng)，得3（2x﹣1）2＝27，（2x﹣1）2＝9，開方，得2x﹣1＝±3，解得：x1＝2，x2＝﹣1；（2）2x2﹣6x+1＝0，2x2﹣6x＝﹣1，x2﹣3x＝﹣，配方，得x2﹣3x+（）2＝﹣+（）2，（x﹣）2＝，開方，得x﹣＝，解得：x1＝，x2＝．20．（2021秋?隆昌市校級(jí)月考）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）中兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2＝（a±b）2.例如：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2．請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，將二次三項(xiàng)式x2﹣4x+9配成完全平方式；（2）將x4+x2y2+y4分解因式；（3）已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，試判斷此三角形的形狀．【分析】（1）仿照閱讀材料進(jìn)行配方即可；（2）先拆項(xiàng)，再三一分組，局部進(jìn)行配方，再從整體上用平方差公式分解因式；（3）先分組，進(jìn)行配方，再利用偶次方的非負(fù)性，可得a＝b，b＝c，從而確定三邊相等．【解答】解：（1）x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5；（2）x4+x2y2+y4＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）；（3）此三角形為等邊三角形，理由如下：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴此三角形為等邊三角形．21．（2019春?正定縣期末）“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比較代數(shù)式：x2﹣1與2x﹣3的大小．【分析】（1）根據(jù)配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非負(fù)數(shù)和的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）將兩式相減，再配方即可作出判斷．【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，則x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，則x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．故答案為：﹣2，1．22．（2021春?高青縣期末）【閱讀材料】把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）經(jīng)過適當(dāng)變形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、證明恒等式、利用a2≥0求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛應(yīng)用．例如：利用配方法將x2﹣6x+8變形為a（x+m）2+n的形式，并把二次三項(xiàng)式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2