2023年上海市徐匯區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

2023年上海市徐匯區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知zee,"Z=7'是"Z為實(shí)數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D,既非充分也非必要條件

2.下列說法正確的是（）

A.若隨機(jī)變量X?N（1Q2）,P（X>2）=0.2,則P（0<X<1）=0.2

B.數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第50百分位數(shù)為5.5

C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)正常數(shù)后，方差變大

D.設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，y的相關(guān)系數(shù)為r,則|r|越接近于0,%和y之間的線性

相關(guān)程度越強(qiáng)

3.《九章算術(shù)中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三

棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐

稱之為“陽馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鰲腌”.

如圖，在塹堵—中，AC1BC,且44i=AB=2.下歹IJ

說法錯(cuò)誤的是（）

A.四棱錐B—44CQ為“陽馬”

B.四面體4C1CB為“鱉嚅”

C.四棱錐8-44CC1體積的最大值為|

D.過4點(diǎn)作4E于點(diǎn)E,過E點(diǎn)作EFJ.&B于點(diǎn)F,則力道1面4EF

4.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，若對(duì)任意k>2022,都有|SM>Fk+il，

則下列說法正確的是（）

A.a19a39。5，…，為等差數(shù)列，。4，。6，…，Q2n為等比數(shù)列

B.%,a3,。5，…，Q2n-1為等比數(shù)列，。2，。4，。6，…，Q2n為等差數(shù)列

C.…，。2022為等差數(shù)列，。2022,。2023，。2024，。九為等比數(shù)列

D.%,…，。2022為等比數(shù)列，。2022,。2023，。2024，…，即為等差數(shù)列

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.已知集合4={制；<1},集合8={-1,0,1,2},則ADB=.

6.已知球的半徑為3,則該球的體積為.

7.橢圓9+《=1的焦距為.

8.方程lg(-2x)=lg(3-/)的解集為.

9.已知a為銳角，且cos6+a)=-|,則tana=.

10.已知募函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)P(2,8),則函數(shù)y=/(%)-x的零點(diǎn)為.

11.將函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向右平移0(0<w<江)個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若

對(duì)滿足IfOi)-g(》2)l=4的工1、%2,有出一次1的最小值為2則口=.

2

12.若等式1+X+M+%3=Q。+Q式1-%)+a2(l-X)+a3(l-對(duì)一切％6R都成立,

其中Qo，生,。2，。3為實(shí)常數(shù)，則+。2+。3的值為.

13.已知一組樣本數(shù)據(jù)看,....xn(X1<x2<--?<xn),現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)卡，空，

也盧，歿%,則與原樣本數(shù)據(jù)相比，對(duì)于新的數(shù)據(jù)有以下四個(gè)判斷：①平均數(shù)不變；

②中位數(shù)不變；③極差變?。虎芊讲钭冃?，其中所有正確判斷的序號(hào)是.

14.若直線y=2x與雙曲線最一\=1(￡1>0/>())沒有公共點(diǎn)，則該雙曲線離心率的取值

范圍為.

15.已知平面向量五、石、c,對(duì)任意實(shí)數(shù)t,都有|E-t初2|方-五|、上一同之|另一現(xiàn)成

立，若|五|=3,=2,|a—c|=y/-7>則|B|=.

(\x+a|+|x-2|,x>0

16.已知a€R,函數(shù)f(x)=2,1,c的最小值為2a,則由滿足條件的a的值

'、'-ax+-a+l,x<0

組成的集合是.

三、解答題(本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題14.0分)

已知函數(shù)/(x)=y/~3sinxcosx-cos2x,(xG/?).

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求/(x)在［一；5］上的最大值與最小值.

18.(本小題14.0分)

本市某區(qū)對(duì)全區(qū)高中生的身高(單位：厘米)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.

(1)若數(shù)據(jù)分布均勻，記隨機(jī)變量X為各區(qū)間中點(diǎn)所代表的身高，寫出X的分布及期望；

(2)己知本市身高在區(qū)間［180,210］的市民人數(shù)約占全市總?cè)藬?shù)的10%,且全市高中生約占全市

總?cè)藬?shù)的1.2%,現(xiàn)在要以該區(qū)本次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估算全市高中生身高情況，從本市市民中任取1人,

若此人的身高位于區(qū)間［180,210］,試估計(jì)此人是高中生的概率.

頻率

19.(本小題14.0分)

如圖(1),在直角梯形ABCQ中，D為CQ的中點(diǎn)，四邊形4BCD為正方形，將AADQ沿力。折起,

使點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)P，如圖(2),E為PC的中點(diǎn)，且QE=CE,點(diǎn)F為線段PB上的一點(diǎn).

圖⑴圖⑵

(1)證明：DE1CF-,

(2)當(dāng)D/與DE夾角最小時(shí)，求平面PDF與平面CDF所成銳二面角的余弦值.

20.(本小題18.0分)

已知拋物線：r：y2=4x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為，，過焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于4。1，乃)、8(>2/2)

兩點(diǎn).

(1)過點(diǎn)4作直線［的垂線，垂足為P,若麗在1=(0,3)上的數(shù)量投影為2—,求4的面積；

(2)設(shè)直線m交y軸于點(diǎn)。，若a=%而，DB=n~BF>求4+〃的值；

(3)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線04、。8分別與，相交于點(diǎn)M、N.試探究：以線段MN為直徑的圓C是

否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

21.(本小題18.0分)

已知函數(shù)/(%)=/—a%—a,aG/?.

(1)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

(2)若函數(shù)F(x)=x"(x)在x=1處有極值，且關(guān)于x的方程F(x)=有3個(gè)不同的實(shí)根，求

實(shí)數(shù)皿的取值范圍；

(3)記g(x)=—e?e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若對(duì)任意修、x2G[0,e]且%>小時(shí)，均有1/(%)-

/。2)|<|g(*i)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：設(shè)2=<1+兒，(a,fee/?),

則^=￡1一萬，所以a+bi=a-bi,解得b=0,所以z為實(shí)數(shù)，

當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，b=0,所以z=￡,

所以“z=W”是“z為實(shí)數(shù)”充要條件，

故選：C.

設(shè)2=。+6，(a,beR),根據(jù)充分性與必要性的定義分別判斷即可求解.

本題考查了四個(gè)條件的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(L/),所以〃=1,因?yàn)镻(X>2)=0.2,

所以P(X<0)=0.2,則P(0<X<2)=1-0.2-0.2=0.6,所以P(0<X<1)=0.3,故A錯(cuò)誤；

數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第50百分位數(shù)為5.5,故B正確；

設(shè)一組數(shù)據(jù)為修，X2>...?Xn，則平均數(shù)為X=+%2+…+/)，

222

方差為52=彳［Qi-%)+(x2-x)+...+(xn-X)］,

將數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)后為X1+a,x2+a,....xn+a,

則平均數(shù)為/=+x2+...+xn)+a,

2,22

方差為52=，［(xx+a—x')+(x2+a-x)+...+(xn+a—x*)］.

=；K%1-%)2+(%2-X)2+...+(f-%)2］，

所以將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故c錯(cuò)誤；

設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,則|r|越接近于1,尤和y之間的線性相關(guān)程度

越強(qiáng)，故。錯(cuò)誤.

故選:B.

根據(jù)隨機(jī)變量X?N(l?2)求解判斷4利用百分位數(shù)定義求解判斷B；利用平均數(shù)和方差公式求解

判斷C；利用相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,x和y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)判斷以

本題考查百分位數(shù)定義，平均數(shù)和方差公式，相關(guān)系數(shù)等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，

???在塹堵4BC-4B1G中，AC1BC,側(cè)棱L平面ABC,

4選項(xiàng)，-.AA11BC,又4CJ.BC,iLAA1dAC=A,則BC1平面/。的，

???四棱錐B-4ACCi為“陽馬”，故4正確；

B選項(xiàng)，由4C_LBC,即&C11BC,又占G1C1C且BCnC[C=C,,

???4GJ_平面BB1GC,&G1BC1，則4&BC1為直角三角形，

又由8CJL平面2&GC,得A/liBC為直角三角形，由''塹堵”的定義可得AaiCiC為直角三角形,

△CC]B為直角三角形,

???四面體為“鰲膈”，故B正確；

C選項(xiàng),在底面有4=AC2+BC2>2AC-BC,即4c?BCW2,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=C時(shí)取等號(hào)，

VB-A.ACC,=^SAlACC1xBC=\AArXACXBC=IACxBC<^,最大值為：，故C錯(cuò)誤；

?3JO<3<3

。選項(xiàng)，因?yàn)?E14B,EFJL41B,AEC\EF=E,所以1平面2EF,故。正確；

故選：C.

根據(jù)“陽馬”和“鰲般”的定義，可判斷4B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)4C=BC時(shí)，四棱錐B—4p4CCi

體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證L平面AEF,進(jìn)而判斷。的正誤.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：令/(〃)=|Sn|>0,由題意當(dāng)n>2022時(shí)，f(n)單調(diào)遞減，

對(duì)于首項(xiàng)為即，公差為d的等差數(shù)列，

則前n項(xiàng)和〃=na1+"d=g-M+(%—今?n(不含常數(shù)項(xiàng))，

此時(shí)/(n)=知=冷招+(西-$.n|,

由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)n足夠大時(shí)，/(凡)不可能為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以，4中奇數(shù)項(xiàng)及B中偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列均不合題意；

對(duì)于C,當(dāng)前2022項(xiàng)為等差數(shù)列，從第2022項(xiàng)開始為等比數(shù)列且公比q6(0,1)時(shí)，滿足/(n)>

/(n+1),故符合題意；

對(duì)于D,當(dāng)前2022項(xiàng)為等比數(shù)列，從第2022項(xiàng)為等差數(shù)列時(shí)，同4、8分析：

當(dāng)n足夠大時(shí)，不滿足/(n)>/(n+l),即/'(n)不可能為單調(diào)遞減函數(shù)，故不合題意.

故選：C.

令/S)=|SM(S"是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和)，由題意可得當(dāng)ri>2022時(shí)，f(n)單調(diào)遞減，結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)和選項(xiàng)逐一判斷即可.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)列的函數(shù)特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

5.【答案】{一1,2}

【解析］解：由1<1，即?<0,等價(jià)于x(x-l)>0,解得x>l或％<0,

1

所以4={x|i<1}={x\x>1或％<0］,又B={-1,0,1,2},

所以4CIB={-1,2}.

故答案為：［-1,2}.

首先解分式不等式求出集合4再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】367r

【解析】解：根據(jù)球的體積公式可得U=g兀x33=367r.

故答案為：367r.

直接利用球的體積公式，即可求得結(jié)論.

本題考查球的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】4V-2

【解析】解：因?yàn)闄E圓方程可化為《+9=1,

所以小=11,b2=3,

則c?=Q2一匕2=8,所以c=

則焦距為2c=4yJ~~2-

故答案為：4V~2.

根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)計(jì)算可得.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】｛%區(qū)=-1｝

【解析】解：因?yàn)?g(—2%)=lg(3-%2),

-2.x=3—%2

則-2久>0，解得％=-1,

3-x2>0

所以方程lg(-2%)=lg(3-的解集為｛%氏=-1).

故答案為：｛劃％=-1｝.

-2%=3—%2

-2x>0，解得即可.

13-x2>0

本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】1

【解析】解：???a為銳角，ficos(^4-a)=-sina=-|,

???sina=I，cosa=，1—sin2a=

sina3

:、tana=---=

cosa4

故答案為：p

由已知利用誘導(dǎo)公式可求sina,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosa,tma的值.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】0,1,—1

【解析】解：設(shè)寨函數(shù)f(x)=%a,因?yàn)楹瘮?shù)y=/(%)的圖像過點(diǎn)P(2,8),

所以8=2巴解得a=3

所以/(%)二爐,

則函數(shù)y=/(%)一x的零點(diǎn)為方程f(x)-%=x3-%=x(x2-1)=0的根，

解得％=0或工=±1,

所以函數(shù)y=/(%)-%的零點(diǎn)為0,1,-1.

故答案為：0,1,-1.

設(shè)嘉函數(shù)解析式，求解函數(shù)解析式，解方程即可得函數(shù)函數(shù)y=/(%)-%的零點(diǎn).

本題主要考查了幕函數(shù)解析式的求解，還考查了函數(shù)零點(diǎn)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】裁等

【解析】解:由函數(shù)f(%)=2s函2%的圖象向右平移口,可得g(%)=2sin(2%-2<p)

不妨設(shè)f(%i)取得最大值，g(%2)取得最小值，

???2rl=5+2k兀，2X2—2p=4+2kn,kEZ.

可得2(%1—X2)+2。=7T

???％-孫I的最小值為也即為1一=±去

n

?,?±可+2程=兀

得或與

故答案為：/或年.

先求解g(x)的解析式，根據(jù)|/(xD-g(%2)l=4可知一個(gè)取得最大值一個(gè)是最小值，不妨設(shè)/(工1)取

得最大值，9(到)取得最小值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)|與-％21的最小值為*即可求解w的值；

本題主要考查由函數(shù)y=4sin(3x+w)的解析式，函數(shù)y=4sin(3X+w)的圖象變換規(guī)律，屬于

中檔題.

12.【答案】-3

2323

【解析】解：因?yàn)榈仁?+x+x+x=a0+at(l—x)+a2(l—x)+a3(l—x)

對(duì)一切xeR都成立，其中劭，州,a2,。3為實(shí)常數(shù)，

則令x=0,可得a0++a2+a3=1,

令x=1,可得劭=4,

所以a1+a2+a3=-3.

故答案為：一3.

在所給的已知式中，令久=0,可得劭+的+&2+。3的值，再令％=1，求出a0，即可得解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查賦值法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

13?【答案】①③④

【解析】解：對(duì)于①，新數(shù)據(jù)的總數(shù)為警+警+…+&/=/+久2+…+%n，

新數(shù)據(jù)的總數(shù)為空+空+-+空=/+盯+-+為，

與原數(shù)據(jù)總數(shù)一樣，且數(shù)據(jù)數(shù)量不變都是n,故平均數(shù)不變，故①正確；

對(duì)于②，舉例原數(shù)據(jù)為：1,2.5,3,中位數(shù)為2.5,

則新數(shù)據(jù)為1.75,2.75,2,中位數(shù)為2,顯然中位數(shù)變了，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，原數(shù)據(jù)極差為：如-巧，新數(shù)據(jù)極差為：號(hào)殳一空，

因?yàn)樯a(chǎn)一鋁這一（Xn-xi）=生匚竽0<。，極差變小了，故③正確；

對(duì)于④，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對(duì)原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，故

方差變小，即④正確.

故答案為：①③④.

由平均數(shù)、中位數(shù)、極差及方差的概念計(jì)算即可.

本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)，極差和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】（1,，司

【解析】解：雙曲線會(huì)，=19>0/>0）的漸近線方程為丫=±如，

由雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn),則有漸近線的斜率?<2,

所以離心率e=Jl+QC

則該雙曲線離心率的取值范圍為（1,，石］.

故答案為：（1,，萬］.

求得雙曲線的漸近線方程，由雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，應(yīng)有漸近線的斜率2s2,再由離心率

e=J*凱,可得e的范圍.

本題考查了雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線和離心率，直線與雙曲線相交等問題，屬于中檔

題.

15.【答案】空

【解析】解：設(shè)N=0A>b=OB，c=0C>

則tN=t耐，tc=tOC,

則4',C'分別在040C所在的直線上，

所以石一1五=而一萬?=彳萬,

b-a=OB-OA=AB，

因而|3—t五|>\b-a\>

所以|四|>|AB|?

因?yàn)榇咕€段距離最短，

所以|荏|即為點(diǎn)8到04的垂線段長度，

即。A_LAB,同理方_L比，

所以。4BC四點(diǎn)在以。B為直徑的圓上，

而|日|=|a|=3，|0C|=|c|=2>|a—c|=||=V-7>

所以coszZYM==I，

祟/X三JX；NN

即ZCO4=60。，sin/C04=?，

由正弦定理可得三角形。AC外接圓的直徑2R=3=?，

~2~

即四邊形。4BC外接圓的直徑為宇，

所以|方|=\0B\=2R=生產(chǎn).

故答案為：浮.

設(shè)丘=市，b=OB>c=OC，即可證明即亍71荏，OCLBC，則。ABC四點(diǎn)在以。B為直徑的圓

上，利用余弦定理與正弦定理可得結(jié)果.

本題考查向量的幾何意義，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】{—3-47^}

【解析】解：①若a<0時(shí)，

則/(x)=x2-ax+^a+1的對(duì)稱軸為x=p

2

?,?當(dāng)%<0時(shí),f(x)min=/(1)=-"+[+3

又?.,當(dāng)%>0時(shí),/(%)>0>2a,

??.—寧+5+1=2a,???a?+6Q—4=0,Q=-V13—3或a=V13—3(舍去)，

Z-XHe2、(%4-1%—21>2,x>0”、x-八

②若a=0時(shí)，則f(%)=|2工1、1n,???f(x)>1>2a,???QH0,

③若a>0時(shí)，，

則/(%)=/-ax+"+1的對(duì)稱軸為x=3>0，

.??當(dāng)％<0時(shí)，/(%)=%2-QX++1單調(diào)遞減，???f(x)>f(0)=3+1,

當(dāng)“0時(shí)，&)={，及溫箕］，

:./(%)>a4-2,???Q+2=2a,?-a=2,

又??.5+1>2a,,??0<a<Q02,

綜上所述：Q6{—V13—3)?

故答案為：{—d—3}.

分類討論a的值，求出二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得到分段函數(shù)的最值.

本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查分類討論思想，是中檔題.

17.【答案】解：⑴由已知得/(%)=［^山一號(hào)2=如(2》一9—；，

要求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需-3+2/OTS2X—看號(hào)+2時(shí)，keZ,

解得一女江

To+o<x<4-kn,kEZ,

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［一看+而5+kn］,keZ；

(2)由xG［_*幣得2%_=c［_與,自,

結(jié)合y=s譏x在［一等一與上單調(diào)遞減，在［一輔］上單調(diào)遞增，

且sin(一方=一1,sin《=?，

乙DL

故一ISsin(2x話匚，

所以f(x)在［-不勺上的最大值與最小值分別為咨二，-|.

【解析】(1)先利用降幕公式、輔助角公式，將/。)化為4sin0x+w)的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)的

單調(diào)性求解；

(2)利用換元的想法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

本題考查三角函數(shù)的降募公式和輔助角公式，同時(shí)考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，屬

于中檔題.

18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.022+0.027+0.025+x+0.01+0.001)x10=1,

解得x=0.015.

所以X的分布列為：

X155165175185195205

P0.220.270.250.150.10.01

所以E(X)=0.22x155+0.27x165+0.25x1754-0.15x185+0.1x195+0.01x205=

171.7；

(2)設(shè)事件4為任取一名本市市民的身高位于區(qū)間[180,210],

事件B為任取一名本市市民為高中生，則PQ4)=10%,

所以P(BnA)=P(AnB)=1.2%X(0.15+0.10+0.01)=3.12X10-3.

所以「(8|4)=璃粵=0.0312,

于是，此人是高中生的概率為0.0312.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，求出羽再依據(jù)分布列和期望的定

義即可求得X的分布列及期望；

(2)利用條件概率去求此人是高中生的概率；

本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí),離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解,條件概率的求解，

屬中檔題.

19.【答案】解：由ABCD為正方形，得4D1PD,AD1CD,

???E為PC的中點(diǎn)，DE=CE=PE,

???Z.PDC=90°,即PDJ.CD.

設(shè)AB=1,建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則。(0,0,0),P(0,0,l),A(l,0,0),C(0,l,0),E(0,另).

⑴???點(diǎn)尸在線段PB上，.?.設(shè)麻=；!而(0W4W1)，

又麗=(1,1,-1)>==A(l,l,-1)=(A,A,-A)>

又赤=(0,0,1)，.,.而=而+而=(4尢1-Q，

又。C=(0,1,0)，：.CF=DF-DC=(A,2-1,1-A),

又屁=(0,另)，..屁=0+殍+?=0,

(2)由(1)知而=(4,2,1—Q,DE=(0i1),

1

-

cos2<21

222

T1-r-l22

A-J31-21+1,

+A+(2>/

.??當(dāng)2=g時(shí)，cos〈赤,兩最大，而，時(shí)最小，此時(shí)而=(另,|).

由題知，平面PDF的一個(gè)法向量為正=(一1,1,0)，

設(shè)平面DFC的一個(gè)法向量五=(x,y,z),

.-n=0,即3+3+3-U

"lDC-n=0ly=0

取x=2,得z=-l,則記=(2,0,-1),

?'-|cos(^4C,n)|=?

二平面PDF與平面CDF所成銳二面角的余弦值為等.

【解析】(1)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，利用向量的數(shù)量積為0,證明即可;

(2)求出cos＜麗,屁〉，根據(jù)題意，求出入再求出平面DFC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公

式，求出即可.

考查向量法在證明直線的垂直，求二面角的余弦值中的應(yīng)用，中檔題.

20.【答案】解：(1)拋物線/=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(LO),準(zhǔn)線方程為八x=-1,

依題意可得P(-1,%)所以兩=(一2,%),則兩?2=3%,|五|=3,

所以9在Z=(0,3)上的數(shù)量投影為魯=%,即為=2g

所以4xi=(20，解得必=3,所以4(3,2，！),此時(shí)P(—1,2C),

所以SAPAF=1X(3+1)X2y/~3=4>f3.

(2)依題意直線m的斜率存在且不為零，

設(shè)直線方程為y=fc(x-1),又4%,%)、B(x2,y2)>則/*1且%2*1>

令尤=0,則曠=—k,即。(0,—k),

聯(lián)立方程?2]?[；一D，消去y可得-2(/+2)x+k2=0,

則可得Xi+x2=2(：產(chǎn)),X^2=%=1，

又F(l,0),4(%,月)、8(%2，丫2)

所以DA=+/c),AF=(1—xlt—yi)?DB=(x2,y2+BF=(1—久2，—丫2>

因?yàn)?5=；1萬，麗=〃喬，

所以%1=4(1-%2=〃(1-%2)，

所以'=3?〃=晨，

而以；?主力,工2_二1(1一：2)+-2(1-％1)_(q+工2)-2X62

"“十”-1-1十I—2一(1一必)(1一％2)-1-(X1+X2)+X1X2

迎笑-2X1

=---5----=-1-

1_2(^+1

(3)以線段MN為直徑的圓C過定點(diǎn)(1,0),(-3,0),理由如下：

???直線y=*,當(dāng)x=—1時(shí)，y=—1

同理可得JV(T一第

一(胃+(學(xué)軟。[-1)?kg-D

口*2_fc[2x1x2-Ui+^2)]

222工1切

H2-隼尹)2,

—2—k

又|MN|=|(一爭-(-劄=|心1-1)/2—1)

%2

"詈^=1點(diǎn)IJ-+犯)2一例犯

=因［咋324j_^+l

~4=~lkT

則線段MN為直徑的圓C的圓心C(—1,令，半徑「2m

2|k|

2

22

故圓C的方程為(x+1)2+(y_1)="*,整理得。2+y+2x-3)-^=0,

令y=0,則/+2x—3=0,解得x=1或x=-3,

故以線段MN為直徑的圓C過定點(diǎn)(1,0),(-3,0).

【解析】(1)首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意可得P(-L%),再根據(jù)投影的定義得

到力,從而求出修，即可得解；

(2)依題意直線m的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為y=k(x-l