靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

概述一、結(jié)構(gòu)位移的定義結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會(huì)發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng)，桿件的橫截面會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的位移。

二、位移的分類(lèi)位移線位移：截面形心的直線移動(dòng)距離角位移：截面的轉(zhuǎn)角位移絕對(duì)位移相對(duì)位移廣義位移三、剛架的位移舉例

A點(diǎn)的線位移水平線位移豎向線位移截面A的角位移C、D兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移

(D)H

=

C+D

A、B兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角AB=A+B

四、引起位移的原因一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變（如圖a）、支座移動(dòng)（如圖b）材料收縮、制造誤差等五、計(jì)算位移的目的

有以下三個(gè)方面：

1、驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度。即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過(guò)允許的位移限制值

2、為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打基礎(chǔ)。在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。

3、在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過(guò)程中，有時(shí)需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算。虛功原理和單位荷載法一、變形體的虛功原理功：力對(duì)物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度實(shí)功：力在自身引起的位移上所作的功當(dāng)靜力加載時(shí)，即：

FP1由0增加至FP1

11

由0增加至11力Fp1在位移11上作的實(shí)功W14=FP111虛功：力在其他因素引起的位移上作的功其特點(diǎn)是位移與作功的力無(wú)關(guān)，在作功的過(guò)程中，力的大小保持不變梁彎曲后，再在點(diǎn)2處加靜力荷載FP2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移12為力FP2引起的FP1的作用點(diǎn)沿FP1方向的位移。力FP1在位移12

上作了功，為虛功，大小為W12=FP112在小變形條件下,12由圖示的原始形狀、尺寸計(jì)算，并稱(chēng)此狀態(tài)為虛功計(jì)算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)，F(xiàn)P1單獨(dú)作用的狀態(tài)為虛功計(jì)算的力狀態(tài)。當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時(shí)，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。

虛功原理也可以簡(jiǎn)述為：“外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功”。二、單位荷載法

1、定義：應(yīng)用虛功原理，通過(guò)加單位荷載求實(shí)際位移的方法。2、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式

K=K+RiCi=d+N+Q式中，

=1則d+N+Q—

Ri·Ci

經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)，可得式中：E

彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；k截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算一、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動(dòng)引起的剛體位移＝0，位移公式則為Ci

對(duì)于曲桿（曲率半徑r），荷載作用下的位移公式為＋彎矩的影響軸力的影響剪力的影響曲率的影響圖a所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比r/h=10,彈性模量之比E/G=2.5，曲桿B端形心在豎向荷載FP作用下的豎向線位移由對(duì)應(yīng)于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：二、各類(lèi)桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的，位移計(jì)算公式中取第一項(xiàng)便具有足夠的工程精度（2）桁架各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式中的第二項(xiàng)并簡(jiǎn)化為實(shí)用的形式（3）組合結(jié)構(gòu)既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式中的前兩項(xiàng)（4）拱一般計(jì)軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽略不計(jì)三、虛擬狀態(tài)的選取欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移，須取相應(yīng)的虛擬狀態(tài)。即取同一結(jié)構(gòu)，在要求位移的地方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：1）欲求一點(diǎn)的線位移，加一個(gè)單位集中力2）欲求一處的角位移，加一個(gè)單位集中力偶

3）欲求兩點(diǎn)的相對(duì)線位移，在兩點(diǎn)的連線上加一對(duì)指向相反的單位集中力4）欲求兩處的相對(duì)角位移，加一對(duì)指向相反的單位集中力偶5）欲求桁架某桿的角位移在桿的兩端加一對(duì)平行、反向的集中力，兩力形成單位力偶。力偶臂為d，每一力的大小為1/d力和力偶統(tǒng)稱(chēng)為廣義力，單位廣義力用=1線位移和角位移統(tǒng)稱(chēng)廣義位移，用⊿表示單位廣義力有截然相反的兩種設(shè)向，計(jì)算出的廣義位移則有正負(fù)之分：正值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相同負(fù)值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相反（2）計(jì)算,FNP;

四、靜定桁架的位移計(jì)算計(jì)算步驟為（1）設(shè)虛擬狀態(tài)；（3）用桁架的位移計(jì)算公式計(jì)算位移。例

圖示桁架各桿的EA相等，求C結(jié)點(diǎn)的豎向位移解:

（1）設(shè)虛擬狀態(tài)（如上圖b所示）（2）計(jì)算N

和FNP（標(biāo)于上圖

b.a

）（3）代公式求C點(diǎn)的豎向位移例

圖示鋼桁架，圖中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件橫截面面積（單位cm2

）。許可撓度與跨長(zhǎng)的比值，試校核桁架的剛度。解

對(duì)稱(chēng)簡(jiǎn)支桁架在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，最大撓度發(fā)生在桁架的對(duì)稱(chēng)面處。須計(jì)算結(jié)點(diǎn)3的豎向位移，然后進(jìn)行剛度校核。1）建立虛擬狀態(tài)（如圖b所示）2）計(jì)算N

和FNP，并標(biāo)于圖b、a上

3）求3點(diǎn)的豎向位移，進(jìn)行剛度校核L/A/(1/mm)L

/mm計(jì)算半個(gè)桁架的，列表如下:1420000003-7

豎桿002-6豎桿312500+0.62525000025000100003-6斜桿500000-0.625-10000000.812500100001-6斜桿270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦FNP/NA/mm2編號(hào)桿件根據(jù)上表，得<所以，桁架滿(mǎn)足剛度條件五、梁的位移及剛度校核

1、梁的位移撓度：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移用w

表示，規(guī)定w

向下為正。轉(zhuǎn)角：橫截面的角位移

，規(guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)為正在工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中列有常見(jiàn)梁的位移的計(jì)算結(jié)果（如表14.1所示），可供計(jì)算時(shí)查用。表14.1梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式2.懸臂梁

彎曲力偶作用在自由端1.懸臂梁

集中荷載作用在自由端最大撓度轉(zhuǎn)角荷載類(lèi)型續(xù)表時(shí)4.簡(jiǎn)支梁

集中荷載作用跨中位置上3.懸臂梁

均勻分布荷載作用在梁上－時(shí)6簡(jiǎn)支梁彎曲力偶作用在梁的一端5簡(jiǎn)支梁

均勻分布荷載作用在梁上-（在處）續(xù)表-2．梁的剛度校核梁的位移過(guò)大，則不能正常工作對(duì)于梁的撓度，其許可值以許可的撓度與梁跨長(zhǎng)之比為標(biāo)準(zhǔn)

在工程上，吊車(chē)梁的＝1/600鐵路鋼桁梁的＝1/900梁的剛度條件為:

例14-3圖示簡(jiǎn)支梁由工字鋼制成，跨度中點(diǎn)處承受集中載荷Fp。已知Fp=40KN，跨度l=3m，許用應(yīng)力

=160MPa，許用撓度[w]=l/500，彈性模量E=2×105MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。解（1）按強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)梁的最大彎矩為：＝按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件選截面查型鋼表選用20a工字鋼,其彎曲截面系數(shù)為237cm3，慣性矩I=2370cm4（2）校核梁的剛度=4.75mm<[]=梁的剛度足夠所以，選用20a工字鋼3、提高梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度L、荷載作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：增大梁的抗彎剛度EI增大梁的EI值主要是設(shè)法增大梁截面的慣性矩I值，一般不采用增大E值的方法。在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，可提高慣性矩I。（2）減小梁的跨度L梁的變形與其跨度的n次冪成正比。設(shè)法減小梁的跨度L，將有效地減小梁的變形，從而提高其剛度。在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下，可采用兩種辦法減小L值：①增加中間支座而②兩端支座內(nèi)移

如圖所示，將簡(jiǎn)支梁的支座向中間移動(dòng)而變成外伸梁，一方面減小了梁的跨度，從而減小梁跨中的最大撓度；另一方面在梁外伸部分的荷載作用下，使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度（圖c），從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生的向下的撓度被抵消一部分，減小了梁跨中的最大撓度值。(3)改善荷載的作用情況在結(jié)構(gòu)允許的情況下，合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況，以降低彎矩，從而減小梁的變形，提高其剛度。如圖所示，將集中力分散作用，甚至改為分布荷載，則彎矩降低，從而梁的變形減小，剛度提高。14.4圖乘法一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線（2）桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)直梁和剛架的位移公式則為（3）MP圖和圖中至少有一個(gè)直線圖形

２．圖乘法原理圖乘法求位移的一般表達(dá)式為注意：[1].應(yīng)取自直線圖中[2].若

與

在桿件的同側(cè),取正值;反之,取負(fù)值[3].如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形.3.圖乘法的步驟:(1).設(shè)虛擬狀態(tài)；(2).畫(huà)圖、圖；(3).圖乘求位移下面介紹幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和形心位置當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時(shí)，可以將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，分別與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。4.圖形的分解梯-梯同側(cè)組合：同側(cè)組合：異側(cè)組合由區(qū)段疊加法作的彎矩圖，其彎矩圖可以看成一個(gè)梯形和一個(gè)規(guī)則拋物線圖形的疊加。曲-折組合階梯形截面桿二、圖乘法計(jì)算直梁和剛架的位移下面舉例應(yīng)用圖乘法求直梁和剛架的位移例14.4試求圖a所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移梁的EI=常數(shù)解:

圖分別如圖

(b).(c)所示。

BC段的MP圖是標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線；

AB段的MP圖較復(fù)雜，但可將其分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。由圖乘法得代入以上數(shù)據(jù),于是例14.5試求圖a所示伸臂梁C點(diǎn)的豎向位移cv

。設(shè)EI=△解:荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖

bc所示。

在AB段,MP和圖均是三角形；

在BC段，MP圖

可看作是由B.C兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖[即圖b中虛線與曲線之間包含的面積]疊加而成。將上述各部分分別圖乘再疊加，即得例14.6試求圖

(a)所示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平BH。

位移設(shè)各桿為矩形截面，截面尺寸為bxh，慣性矩l=,E為常數(shù)，只考慮彎矩變形的影響?！鹘?先作出MP圖和圖,

分別如圖

(b)(c)所示。應(yīng)用圖乘法求得結(jié)點(diǎn)B的水平位移為：14.5靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力也無(wú)變形，只發(fā)生剛體位移。如圖

a所示靜定結(jié)構(gòu),其支座發(fā)生水平位移C1

、豎向位移C2

和轉(zhuǎn)角C3，現(xiàn)要求由此引起的任一點(diǎn)沿任一方向的位移，例如求k點(diǎn)豎向位移K。

△因?yàn)閺膶?shí)際狀態(tài)中取出的微段ds的變形為d這種位移仍用虛功原理來(lái)計(jì)算。由位移計(jì)算的一般公式=du=

于是上式可簡(jiǎn)化為K=-Ci

－這就是靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí)的位移計(jì)算公式。式中

為虛擬狀態(tài)圖b的支座反力，

Ci為實(shí)際狀態(tài)的支座位移，Ci為反力虛功。

當(dāng)與實(shí)際支座位移Ci

的方向一致時(shí)其乘積取正，相反時(shí)取負(fù)。

此外，上式右邊前面還有一個(gè)負(fù)號(hào)，不可漏掉。cH、豎向位移例14.7

圖

(a)所示靜定剛架，若支架A發(fā)生圖示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.Cv。試求C點(diǎn)的水平位移解在C點(diǎn)處分別加一水平和豎向的單位力，求出其支座反力如圖

(b)(c)所示。由公式－K=-Ci

得：

cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cmcv=-1.5×1=-1.5cm14.6互等定理一、功的互等定理圖示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，分別作用FP1和FP2，稱(chēng)之為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。虛功W12為虛功W21為比較，得功的互等定理:W12=W21即:功的互等定理一般形式為:因此得到功的互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功。二、位移互等定理?xiàng)l件：在結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中都只作用一個(gè)荷載，且為單位荷載。單位荷載所引起的位移稱(chēng)為位移系數(shù)，

根據(jù)功的互等定理1??即這就是位移互等定理：第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移。上述定理中，單位力可以是廣義單位力，相應(yīng)的位移系數(shù)亦為廣義位移?？赡芎戳x不同，但二者數(shù)值相等。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一種應(yīng)用，它反映在超靜定結(jié)構(gòu)中如果兩個(gè)支座分別發(fā)生單位位移時(shí)，兩個(gè)狀態(tài)中相應(yīng)支座反力的互等關(guān)系。單位位移引起的支座反力稱(chēng)為反力系數(shù)，用rij表示根據(jù)功的互等定理，有即這就是反力互等定理，它表明支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生與上述反力相應(yīng)的單位位移所引起的支座1的反力。r21×1=r12×1r21=r12應(yīng)注意支座的位移與該支座的反力在作功關(guān)系上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即線位移與集中力相對(duì)應(yīng)，角位移與集中力偶相對(duì)應(yīng)。可能r12與r21

一個(gè)是反力偶，一個(gè)是反力，但二者的數(shù)值相