2022年高二數學（上）期末復習寶典

2022-2023學年第一學期高二數學期末考試復習寶典

4【考點一】雙曲線方程

【時而習之】

V

如果方程南二7一工句表示雙曲線，那么實數加的取值范圍是()

A.m>2B.m<\或m>2

C.—l<m<2D.或m>2

Ml【答案】D

【解析】由雙曲線的標準方程可知/符合忙氏或牲;解得

m>2或-1<m<1.

故選D

，【不亦說乎】

22

已知雙曲線—r-^-=1的離心率為四，則加=()

A.4B.2C.V2D.1

M【答案】B

【解析】根據雙曲線工-工小可知。=金，b=42.

m2

/.c=y/m+2?

求得m=2.

【考點二】拋物線方程

【時而習之】

頂點在原點，以X軸為對稱軸且經過點M（-2,3）的拋物線的標準方程為

，焦點坐標為.

M【答案】y*2=~^x；（V，0）

Zo

2

【解析】由題意可設y=-2px（P>0）

拋物線過點例（-2,3）,.[9=4/2,;.p=J,

4

QQ

??拋物線的方程為）？=-X，焦點坐標為（V,0）.

2o

QQ

故答案為;（-J,0）.

2o

【不亦說乎】

已知拋物線丁=2a（。>0）的準線經過點（-2,p），則該拋物線的焦點坐標為（）

A.(-2,0)B,(-4,0)

C.(2,0)D.(4,0)

M【答案】c

9【解析】拋物線r=2px(p>0)的準線經過點(-2,p).

—2=>p=4.

二.y2=8x.

焦點坐標為（2,0）.

故選c

【考點三】雙曲線定義

］【時而習之】

已知F,,用分別是雙曲線E:4-77=1的左右焦點，P在雙曲線上，若

916

|「耳|=7,則|尸引=()

A.13B.10C.1D.I或13

M【答案】D

【解析】由雙曲線定義|喈H?用1=2〃得\1-\PF2W=6.

故選D

【不亦說乎】

雙曲線4X2-/+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1,則點P到另一

個焦點的距離等于.

M【答案】17

【解析】將雙曲線底_y2+64=0化成標準形式：^--4=1,

6416

.?./=64,〃=16,P到它的T焦點的距離等于1,設P耳=1.

\PFi-PF2\=2a=l6,

:.PF2=PFt±l6=n（舍負）.

故答案為：17.

【考點四】拋物線定義

P【時而習之】

已知點P是拋物線X=1y2上的動點，則點P到點A（o,2）的距離與它到y(tǒng)

4

軸的距離之和的最小值為（）

A.V5-1B.2C.y/5D.V5+1

M【答案】A

【解析】=的準線方程為x=-l.

4

設曲線x=%2的焦點為F，動點p（%,%）,P點在曲線y2=4x的準線

4

/：X=—1的射影為M.

由拋物線的定義知，PM=|PF|.

A=（0,2）.

:.\AF\=7（O+l）2+（2-O）2=x/5.

:.\PA\+\PM\=\PA\+\PF\..\AF\=y/5.

點P到點A（0,2）的距離與點P到x=-l的距離之和的最小值為右.

點P到點A（0,2）的距離與點P至!JV軸的距離的最小值為V5-1.

故選A

【不亦說乎】

在平面直角坐標系X/中，直線/過拋物線丁=4尤的焦點，交拋物線于A,

B兩點，且線段AB中點的橫坐標為3,則線段AB的長為（）

A.6B.7C.8D.1()

【答案】C

【解析】

由題設已知線段AB的中點到準線的距離為4

設A,8兩點到準線的距離分別為4,出，

由拋物線的定義知：

|AB|=|AF|+忸目=4+4=2x4=8.

故選C

【考點五】雙曲線性質

【時而習之】

已知頂點在X軸上的雙曲線實軸長為4，其兩條漸近線方程為2x±y=o,該雙

曲線的焦點為()

A.(±273,0)B.(±4^,0)C.(±275,0)D.(±4^,0)

M【答案】c

【解析】設雙曲線方程為W-2=1，(。＞。，。＞0)，

雙曲線的中點在坐標原點、焦點在X軸上，

22

??,設雙曲線方程為二一2=1,(。＞0,力＞()),

a~b~

實軸長為4,漸近線方程為2x±y=0,

2〃=4

：?＜b_,解得。=2,〃=4,貝！］c=J4+16=26，

-=2

a

該雙曲線的焦點為但6,0).

【不亦說乎】

22

已知雙曲線：三-匯=1,左右焦點分別為片，F2,過耳的直線I交雙曲線

43

左支于A,B兩點，則忸耳|+|4工|的最小值為（）

19

A.—B.11C.12D.16

2

M【答案】B

22

【解析】雙曲線的中點根據雙曲線的標準方程工-二=1可得：a=2,

43

由雙曲線的定義可得：|A周一|A耳卜2“=4①

忸瑪|一|明|=2a=4②

所以①+②可得：閭一（|A耳|+|班|）=8,

因為過雙曲線的左焦點片的直線交雙曲線的左支于A,B兩點，

所以|做|+|明|=|明，當\AB\是雙曲線的通徑時\AB\最小.

所以|A鳥|+|B巴卜（|A￡|+|8用）=|A居|+|8居|—|AB|=8.

照,|A司=|知+8.../+8=11.

【考點六】拋物線性質

【時而習之】

22

若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓j+2=1的一個焦點，則P=

r3PP

（）

A.2B.3C.4D.8

M【答案】D

【解析】根據題意知a2=3p,b2=p,

則c2=a2一"=2p,即c=7^,

所以橢圓的右焦點坐標為（而.又拋物線的焦點坐標為,

所以與=而（。>0），解得〃=8.

P【不亦說乎】

9

如圖，已知點Q（2后,0）及拋物線>-上的動點P（x,y）,則y+|R2|的

最小值是（）

A.2

B.3

C.4

D.272

【答案】A

【解析】因為拋物線的方程為

2

y=?,其焦點尸（0,1）,準線方程為

y=T,拋物線上的動點P（x,y）到

準線的距離為?-（-i）=y+i,由拋

物線的定義得：歸耳=>+1,又。（2枝,0）,所以

y+|PQ|=y+i+|PQ|—"PQ|-i=J（2、/2-0）2+（0-1）2—1=3-1=2

（當且僅當F,P,Q三點共線時，取等號）

【考點八】離心率求解

【時而習之】

在平面直角坐標系即,中‘雙曲線點-方=13＞。/＞。)的左支與焦點為E的拋物

線f=2py(p＞0)交于M,N兩點.若IM/I+IN尸|=4|。用，則該雙曲線的離

心率為__________

“【答案】手

22

【解析】把網p＞。)代入雙曲線＞%=叱。4。)，

可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0,y+y=--,

ABa

\AF\+\BF\=4\OF\,.■.yA+yB+2x^4x^,

該雙曲線的離心率為：e=亞.

2

【不亦說乎】

已知雙曲線E:=-三=l(a,b＞0)的右頂點為A,拋物線C：V=8ax的焦點為

ab

F.若在E的漸近線上存在點尸，使得AP_LEP,則曲線E的離心率的取值范圍是

()

8.(1,半］「r3逝、

A.(L2)CJ-4、+00)Z).(2,+oo)

4

M【答案】B

h

【解析】設點2乂土：幻）儂。）,打?。,。），則

A尸=（%—4,》），FP=（x—2a,y）,由人尸,尸尸得.3以+2/=。，因為存

礦

在點P，所以由ANOnlveW^g

4

【考點九】直線與拋物線位置關系

［時而習之］~

已知拋物線C：y2=8x的焦點為尸，準線為/,P是/上一點，。是直線所與C的

一個交點，若PF=3QF,則|。耳=.

Q

M【答案】1

【解析】【解答】設。至”的距離為d,則|QF|=d,

PF=3QF,：.\PQ\=2d,

,不妨設直線P尸的斜率為6，

*0,2），，直線尸尸的方程為y=G（x—2）,

2Q

與y2=8x聯立可得x=§,,-.\QF\=d=-,

Q

故答案為§.

【不亦說乎】

已知直線I經過拋物線V=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、8兩點.

（1）若|"|=4,求點A的坐標；

⑵若直線/的傾斜角為45,求線段AB的長.

M【答案】點A的坐標為（3,26）或卜,-26卜線段AB的長是8.

【解析】由丁=4x,得p=2,其準線方程為％=-1,焦點F（1,O）.

設A（%,yJ,3（孫%），

由拋物線的定義可知，|A同=%+修，從而西=4-1=3,代入V=4x,解得

y=±2百,

.??點A的坐標為（3,2百）或卜,一26）.

V=x-1

⑵直線/的方程為y=x-i,與拋物線方程聯立，得（2,

y=4x

消y,整理得％2—6x+l=0,其兩根為國、々，由韋達定理得玉+馬=6,

由拋物線的定義可知，|蝴=%+與+p=6+2=8，所以線段AB的長是8.

【考點十】等差數列求值

【時而習之】

（2014福建）等差數列｛0“｝的前〃項和S,,，若4=2,83=12，則以=

M【答案】4=12

【解析】設等差數列｛叫的公差為d,則53=3q+3d,所以12=3x2+3”,

解得d=2，所以4=12.

【不亦說乎】

在等差數列｛4｝中，若S4=52,S9=252,求S“.

M【答案】S“=3/+〃

【解析】

4x3

S=4a+—-J=52.

412rq=46〃（〃一1））2

c9x8,cdd=6==4〃+——-----=3n+n

c2

S=9ci,H----d=252i

q2

【考點十一】等差數列通項性質

【時而習之】

設s“是等差數列｛4｝的前〃項和，若4+%+%=3,則s5等于

M【答案】5

【解析】q+%+%=3=a?=]=S5=.）=5）：%=5

【不亦說乎】

《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題："今有五人分五錢，令上二人所

得與下三人等.問各得幾何其意思為"已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙

兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列.問五

人各得多少錢？"（"錢"是古代的一種重量單位）,這個問題中，甲所得為（）

5435

A.工錢B.1錢C.Q錢D.］錢

M【答案】B

【解析】依題意設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,a-d,ata+d,

a+2d,貝?。萦深}意可矢口，a—2d-\-a—d=a+a+d+a+2cl,即a=-64,

又a—2J+a—d+a+a+d+a+2/7=5a=5,:.a=\,

a44

則。_24=々_2又（——）=—〃=一.

【考點十二】等差求和性質

【時而習之】

設s“為等差數列｛”“｝的前〃項和，若邑=3,S?=6,貝（）片=（)

A.12B.15C.18D.21

M【答案】A

【解析】設等差數列MJ的公差為"，

f5彳=3a1+3d=3[a,+d=1fa=1

3

[56=6at+15d=6'得+5d=2'解得["=0

所以兀=12q+661=12.

故選：A.

另解：也｝為等差數列，則S“，S2n-Sn,S3,,-S?”也為等差數列，性質求解

【不亦說乎】

s

設等差數列｛4｝的前〃項和為s“，若S'=6,§8=10,則”=—.

M【答案】1

9【解析】｛4,｝為等差數列，則S“，S2,「S“，S3,「S2”也為等差數列

又S4=6,S8=10,則4=4—6=—2

因為52-Sg=以一54-2=4-2=2,解得512=12

所以S、「S,2=Sl2-S8-2=0,解得號6=12

故新=L

312

【考點十三】等比求值

【時而習之】

（2014江蘇）在各項均為正數的等比數列｛《｝中，若。2=1,%=4+2%則&的值

是

It【答案】4

【解析】利用等比數列｛4｝的公比為4>0,6>0

2

火=%+2%,；?%或=+2aq3化為/-<7-2=0,解得才=2

542

?.a6=a]q-a2q=1x2=4故。6=4

【不亦說乎】

若等比數列｛4｝滿足4+%=20,%+%=40,前〃項和S,=

M【答案】2n+,-2

'【解析】依題意得公七二"=4=母=2,又因為4+%=20,即

出+%出+/20

4。-02(1-2")

q(q+q3)=20，解得q=2.所以s.=----------------------------乙一乙.

\-q1-2

【考點十四】等比通項性質

圓【時而習之】

等比數列｛%｝中，則。3=-2,孫=-8，則%=()

A—B.4c.±4D.-5

M【答案】A

【解析】由等比中項性質，結合奇數項符號相同，得

?7=一"34=8)=-4

。【不亦說乎】

已知｛“”｝為等比數列，%+%=2,8,則％+即)=().

A.7B.5C.-5D.-7

M【答案】D

'【解析】由等比數列的醺可得的6=%%=-8，與%+%=2聯立解得%=4

0=-2

a=4

%=-2，則4+4o+=-7,故選D.

■Mk【考點十五】等比求和性質

［時而習7

設正項等比數列m｝的前〃項和為s“，若S3=3,S9-S6=12，則

$6=--------------

M【答案】9

【解析】在等比數列也“｝中，,Sb-S3,S9-$6也成等比數列，

即(§6-3)2=3x12=36,

所以§6-3=±6，所以$6=9或§6=-3(舍去)

【不亦說乎】

已知等比數列｛%｝的前〃項和為s“，若s4=3,S8=9，貝！1%的值為()

A.12B.30C.45D.81

M【答案】c

【解析】設等比數列的公比為4(#1),

=]—4=1+/，所以q4=2，所以白心白勺=1+4**=1+(44)2=5,

gJ%]一夕

所以，6=5&=5x9=45.

另解：｛q｝為等比數列，則S“，S2n-Sn,§3“一S2,,也為等比數列，性質求解

曜宜十六］數列的證明

【時而習之】

已知數列｛%｝和｛4｝滿足4=1,4=。，4a?+l=3a?-b?+4,4bn+l=3b?-an-4

(1)證明:a+正｝是等比數列,｛a,,-〃,｝是等差數列；

(2)求&)和電｝的通項公式.

M【答案】略

【解析】(1)證明：4a?+1=3a?-bn+4,4bn+l=3b?-a?-4;

43,-I+b?+l)=2(a?+b?),4(a?+l-%)=4(%-2)+8;

即”,用=；(4+〃)，4,+i-d+i=4,一4+2；

又q+a=1,q8=1,

??.｛4+2｝是首項為1,公比為:的等比數列，以-么｝是首項為1,公差為2的等差數

列；

(2)由(1)可得：a“+年=(；產，4-勿=1+2(〃—1)=2〃—1;

【不亦說乎】

（2016年全國III高考）已知數列｛a?］的前n項和S?=l+Aan，其中4Ho.

（I）證明｛%｝是等比數列，并求其通項公式；

31

（n）^s5=-.

M【答案】略

【解析】（1）s,,=i+M,,.

4=S,=1+之q.

故％w1,4=~~~r,"1工°,

1-x

Aa

由S“=1+n,S“+i=1+如用，得a?+)=S?+1-S?=1+加向-1

即（4-1）1=枇，

由qW0,彳H10得#0,}=y-；

an4—

1夕

???應}是首項為,公比的等比數列，

,-i-2-

31

(2)若S5K

則若55=1+4丁I一(77J)4]=%

日n/%、531[I

即(---r)=---]=----,

1-A3232

貝U：^7=一:,得尤=一].

1—ZZ

【考點十七】數列通項求解

【時而習之】

2

設數列｛4｝滿足4=§,。向-可=221,求數列｛凡｝的通項公式.

M【答案】略

【解析】由用-4=22"T可得

dj_Q]=21

3

a3-a2=2

、

a4-a3=2

將上述式子左右依次相加得為-卬=2^+23=Q二

1-433

22

4(經檢驗4=］也符合)

3

在數列｛4｝中，4=l,a,,=〃(％—a,J(〃eN*),求數列也｝的通項公式.

M【答案】氏=〃

J【解析】

?????="(%一4)("GN*)：.也=山，

a,n

a=2,2=*幺=±,A_=JL(心2)

q1%2/3an_｝

以上各式兩邊分別相乘得a“=n(n>2)4=1也適合上式，%=〃

【不亦說乎】

1.已知數列｛4｝中，4=1,-=2q,+l(〃€N*),S“為其前”項和，則S5的值為()

A.57B.61C.62D.63

M【答案】A

【解析】由%“=2%+1

?4I+1=2(%+1),

q=1/

??所以。+1｝是以2為公比，2為首項的等比數列，

所以%+1=2.2”T=2",

2--1,

.?.S“=(2-1)+Q2-1)+(2,-l)+...+(2"-l)

=(2+22+23+...+2")-n,

2(1-2")

=----------n,

1-2

S?=2"+'-n-2.

=2"”-〃-2.

..當〃=5時，S5=64-5-2=57,

2.設數列｛4｝的前〃項和為S“，已知2s“=3"+3,求｛4｝的通項公式.

3,n-1,

【答案】??=<

3"<n>2.

【解析】當〃=1時，2q=T+3,解得q=3,

當〃22時，2S“=3"+3,2s,i=+3，作差得an=3")

當〃=1時，4=1,不滿足上式，

3,〃=1,

3〃一】，n>2.

【考點十八】裂項相消

J1時而習之】

（2015'全國新課標卷）已知數列｛%｝的通項公式為a?=2n+\,bn=-----,求數列

anan+l

也｝的前〃項和卻

?【答案】而奇

、,111、

［解析］b=---------------------=—(--------------)

用(2〃+1)(2〃+3)22〃+12〃+3'

所以q=a+b2+-+bn=|［(|-|)+(|-1)+---+(—

235572〃+12〃+3

=1(1__1xn

232〃+3，—3(2〃+3),

p【不亦說乎】

1.設數列｛%｝滿足％=1,且“，向一%=〃+1,則數列,"的前I。項的和為一.

4,

M【答案】胃on

【解析】因為見+|-4=〃+1,所以當〃之2時,an-an_1=n,

LL~/\7X〃（"+1）

所以4=4+（出一4+（。“-4-1）=1+2H----F〃=--—,

當〃=1時，4=1也滿足上式，

20

TT

2.正項數列｛4｝的通項公式4=2〃，令〃,=（“+，”，數列出｝的前”項和為

力,證明：對于任意的〃wN*,都有Tn<^~

64

【答案】略

【解析】

〃+1_鹿+1_〃+1_111

，所以4=

(〃+2)%廠(〃+2『(2〃)2-4”2.(〃+2『-16n2(〃+2『

±i+l--L_+_L_

A][一卦皆撲5卦…+『戰(zhàn)'16|_4(〃+爐(〃+2)2

155

<—X—

16464

【考點十九】錯位相減法

|【時而習之】

數列｛4｝中，6=1,4+i=24+2".

(1)設d=券?證明：數列低｝是等差數列；

(2)求數列｛叫的前〃項和S..

n

M【答案】(1)略(2)Sn=n-2"-2+\

【解析】(1)%=2?！?2",爭=券+1,bn+i=bn+\,

則4為等差數列，2=〃

(2)由(1)可得凡=〃2"T

S?=1-20+2-2'+2-22.+(n-l)-2n-2+?-2n-'

2S?=1-2'+2-22++(〃-2>2"-2+(〃-1).2"T+〃-2”

兩式相減，得S“=〃-2"-12°-2-.2"-'=n-2"-T+1

【不亦說乎】

設等差數列｛為｝的前〃項和為S“，且54=4S2,小“=2?！?1.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

(2)設數列也｝的前〃項和7；,且專工)(入為常數)，令*=處

(〃eN+).求數列匕｝的前〃項和尺.

M【答案】(l)a“=2〃-l(2)凡=：(4-誓當

94

【解析】(1)設等差數列｛4｝的首項為?,公差為d,

由S4=4s2,d2n—2an+1得

4q+6d=84+4d

4+(2〃-1)—2。]+2(n—l)d+1

解得，6=1/d=2.因此。“=2〃-1(〃￡N").

w/jP71/1—1

(2)由題意知：(=4一聲?所以〃22時,bn=Tn-Tn_t=

故，&=%,=9==（〃T）（；）"'（〃eN*）

所以此=0'（；）。+1*（；）1+2*（；）2+3*（：）3+...+（〃一1）、（；廣二

則/“=°xg)+lx(￡|+2x1)+--+(〃-2)&)+(〃-)[

兩式相減得jR〃=(-)]+(―)2+(—)3H---*-(—)w1-(n-l)x(—)n

1-14

4

整理得4=*(4-言3,所以數列｛%｝的前〃項和4="(4一箸).

【考點二十】導數的運算求值

【時而習之】

設函數f(x)=-^-.若,則a

X+Q4

M【答案】1

e'(x+Q)-e”e'(x+a—1)

【解析】由函數的解析式可得：/（x）=

e1+aeaee

貝u:r（1）=------------一可,據此可得：

(1+a)2Q+l『4，

整理可得：。2—2。+1=0，解得：。=1.

故答案為:1.

【不亦說乎】

已知函數f（x）=ylax2-l，且/”（1）=2，則。的值為

M【答案】2

【解析】由題=(/I,,(加T)=7~"；二,

乙7ax—17ax—1

所以/X1)=-7=^r=2，解得a-2.

y/a-i

二【考點二十一】函數圖像判斷

11【時而習之】

設/‘（X）是函數/（X）的導函數，＞=r（x）的圖象如圖,則

y=/（x）的圖象有可能是（）

Ml【答案】c

【解析】由導函數圖像可知函數分別在三個區(qū)間(-8,0)(0,2)(2,+向內為正負

正，所以原函數在此三個區(qū)間分別對應增減增，選擇C.

【不亦說乎】

設/'(X)是函數/(x)的導函數，將y=f(x)和y=f'(x)的圖象畫在同一

個直角坐標系中，不可能正確的是()

【解析】選項A中的直線為導函數圖象；B中遞減的曲線為導函數圖象；C中上

面的曲線為導函數圖象，都沒有矛盾.D中不論哪條曲線是導函數的圖象，原函數都

為單調的函數，故不可能.

【考點二十二】單調區(qū)間求解

【時而習之】

設函數/(x)=d+"2+加一1,若當x=l時，有極值為1,則函數

g(x)=x3+ox?+樂的單調遞減區(qū)間為

M【答案】

【解析】r(x)=3f+2以+"/'(1)=3+2。+方=0,

=1=1,解彳導a=-4,b=5.

g'^=3j^+2ax+b=3x1—8x+5=(3x—5)(x—1),

g'(x)<0n1<x<[,故所求的單調遞減區(qū)間為(L5

p【不亦說乎】

函數/(x)=f-21nx的單調減區(qū)間是

M【答案】(o,i)

【解析】/(x)=f_21nx(x>0),

.?.r(X)=2」=^L2=2(X+1)(X-1),

XXX

令/(x)<0由圖得:0<x<l.

函數/(x)=X2-21nx的單調減區(qū)間是(0,1).

故答案為(()/).

，【考點二十三】導數的幾何意義

【時而習之】

已知函數,f(x)=axlnx-bx(a,heR)在點(ej(e))處的切線方程為

y=3x-e，則。+。=

M【答案】o

【解析】將點(ej(e))代入直線y=3x-e的方程得/(e)=3e—e=2e,

f=axlnx-bx,貝ij/'(x)=alnx+a_/?,

/(e)=(a_0)e=2ea=1

由題意得《,解得

W=2a-b=3b=-\

故答案為：0.

【不亦說乎】

已知函數/(x)為奇函數，當x>0時，/(x)=VTnx,則曲線y=/(九)在

點處的切線方程為

M【答案】D

【解析】令X<O,則—x>0，代入方程得八一工人一/一皿一力，因為此函

數為奇函數，則/(x)=/+ln(-x),/(-1)=一1,貝！J/'(力=3/+：,

/(-1)=2,切線方程為2x-y+\=Q.

【考點二十四】極值與最值的求解

J【時而習之】

函數f(x)=ex-x(e為自然對數的底數)在區(qū)間［-1,1］上的最大值是()

A.1+-B.1C.e+1D.e-1

e

Ml【答案】D

'【解析】對/(x)求導得r(x)=e'T.分析導數得/(X)在(e,o)單

減，在(0,+e)單增