滁州市九校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

滁州市九校聯(lián)考2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)2023.4考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)8.3結(jié)束。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．52．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則A．， B．， C．， D．，3．下列說法正確的是A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)C．底面是矩形的四棱柱是長方體D．三棱臺(tái)有8個(gè)頂點(diǎn)4．在△ABC中，，，則△ABC外接圓的半徑為A．1 B． C． D．25．已知△ABC是正三角形，且，則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．6．現(xiàn)有一個(gè)底面圓半徑為3的圓柱型的盒子，小明現(xiàn)在找到一些半徑為3的小球，往盒子中不斷地放入小球，若此盒子最多只能裝下6個(gè)這樣的小球（盒子的蓋子能封上），那么圓柱盒子的容積與一個(gè)小球的體積的比值范圍為A． B． C． D．7．窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點(diǎn)A在圓O的圓周上，點(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，若，且，則的最小值是A．3 B．4 C．9 D．168．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為．A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知復(fù)數(shù)，其中z為虛數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)時(shí)，的虛部為－2B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限10．已知向量，，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則C．的最小值為3 D．當(dāng)時(shí)，與的夾角為鈍角11．一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是A． B． C． D．12．已知函數(shù)（其中，），，恒成立，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，那么下列說法正確的是A．存在，使得是偶函數(shù) B．C．是的整數(shù)倍 D．的最大值是6三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的值域?yàn)椋?4．如圖所示，△A＇B＇C＇表示水平放置的△ABC用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，A＇B＇在x＇軸上，B＇C＇與x＇軸垂直，且，則△ABC的邊AB上的高為．15．甲為了知曉一座高樓的高度，站在一棟12m高的房屋頂，測(cè)得高樓的樓頂仰角為75°，一樓樓底的俯角為45°，那么這座高樓的高度為m．16．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，則AB的取值范圍是．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知復(fù)數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z為純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線的上方，求m的取值范圍．18．（本小題滿分12分）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足．（1）求角C的大??；（2）設(shè)向量，向量，且，判斷△ABC的形狀．19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求不等式的解集．20．（本小題滿分12分）如圖，已知四邊形ABDE為平行四邊形，點(diǎn)C在AB延長線上，且，，設(shè)，．（1）用向量，表示；（2）若線段CM上存在一動(dòng)點(diǎn)P，且，求的最大值．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的最小正周期是．（1）求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位，最后將整個(gè)函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．22．（本小題滿分12分）如圖，已知扇形OMN是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設(shè)計(jì)方案：（1）如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形ABO形狀的道路，道路的一個(gè)頂點(diǎn)B在弧MN上（不含端點(diǎn)），，另一頂點(diǎn)A在半徑OM上，且，△ABO的周長為，求的表達(dá)式并求的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃ABC的一個(gè)頂點(diǎn)B在弧MN上，另兩個(gè)頂點(diǎn)A、C分別在半徑OM、ON上，且，，求花圃△ABC面積的最大值．參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．C∵集合，而，∴，∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4．故選C．2．A因?yàn)?，即，則，即，故選A．3．B4．A由正弦定理，則，故△ABC外接圓的半徑為1．故選A．5．B6．C由題意可知：圓柱盒子內(nèi)高h(yuǎn)的范圍為．圓柱盒子的體積，一個(gè)小球的體積，∴，故選C．7．A因?yàn)?，所以，所以，即，則．因?yàn)辄c(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是3．8．D分別對(duì)，，兩邊取對(duì)數(shù)，得，，．．由基本不等式，得：，所以，即，所以．又，所以．故選D．9．BCD當(dāng)時(shí)，，∴ω的虛部為－4，故A錯(cuò)誤；，故B正確；當(dāng)時(shí)，．∴，故C正確；當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故D正確，故選BCD．10．AC若，則，即，故A正確；若，則，∴，∴，∴，即，故B錯(cuò)誤；∵，∴（當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），故C正確；當(dāng)時(shí)，易得，即與的夾角為直角，故D錯(cuò)誤，故選AC．11．ACD當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得C；當(dāng)截面過正方體的體對(duì)角線時(shí)可得D；當(dāng)截面既不過體對(duì)角線又不與任一側(cè)面平行時(shí)，可得A．但無論如何都不能截得B．12．BC∵，成立，∴，整理得，解得，，故A錯(cuò)誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴，故B正確；∵，∴是的整數(shù)倍，故C正確；∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，∴，即，當(dāng)時(shí)，由，整理得，故無解，故D錯(cuò)誤．故選BC．13．．，則14．如圖，作線段軸，交軸于點(diǎn)D，則，所以邊AB上的高為．15．設(shè)高樓高度為xm，甲站的房屋與高樓水平距離為ym，則易得：，，解得．16．如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB無限接近于BE，在△BCE中，，，，由正弦定理得，即，解得．平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，，，由正弦定理得，即，解得，所以AB的取值范圍為．17．解：（1），由，解得，故當(dāng)時(shí)，z為純虛數(shù)，（2）由題可得：，∴，即，∴m的取值范圍為．18．解：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，，且，所以，所以，所以或（舍），?dāng)時(shí)，，所以△ABC為直角三角形．19．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，∵函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：．（2）由（1）易知：函數(shù)在和上分別單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而∴，而，∴，又∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴，解得，故不等式的解集為．20．解：（1）．（2），，∵點(diǎn)P在線段CM上，即點(diǎn)M，P，C三點(diǎn)共線，∴存在唯一的實(shí)數(shù)t，，使得，∴，而，∴，，∴令．對(duì)稱軸為，故，即的最大值為．21．解：（1）∵，由，解得，∴．由，．得，．∴，．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）依題意得，∵，∴，∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴只需，轉(zhuǎn)化為求的最大值與最小值．當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，∴，，從而，，即