陜西省西安市高新一中2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

圖形的相似章節(jié)測試班級_______姓名_______一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（）A.4cm，5cm，6cm，7cm B.3cm，4cm，5cm，8cmC.5cm，15cm，3cm，9cm D.8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)成比例線段的定義，逐項分析判斷即可，成比例線段，如果兩條線段的比值與另兩條線段的比值相等，即，則為成比例線段．【詳解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例線段，故該選項不符合題意；B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例線段，故該選項不符合題意；C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例線段，故該選項符合題意；D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例線段，故該選項不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了成比例線段的定義，理解成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在四邊形中，，，，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可，三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．【詳解】解：，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例，并靈活進行運用．3.下列說法正確的是（）A.有一個角等于的兩個等腰三角形相似 B.兩個菱形一定相似C.有一個角等于的兩個等腰三角形相似 D.相似三角形一定不是全等三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似圖形和相似三角形的判定逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、有一個角等于105°的兩個等腰三角形相似，選項說法正確，符合題意；B、四邊對應(yīng)相等，四角對應(yīng)相等的兩個菱形一定相似，選項說法錯誤，不符合題意；C、當?shù)慕欠謩e為一個等腰三角形的頂角，和一個等腰三角形的底角時，兩個等腰三角形不相似，選項說法錯誤，不符合題意；D、相似三角形的相似比為1時，相似三角形全等，選項說法錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查相似圖形和相似三角形的判斷．熟練掌握相似圖形的定義，相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．4.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與相似的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的三邊長，然后根據(jù)三角形相似的判定方法可對各選項進行判定即可．【詳解】解：在中，，，，，選項B，C，D中的三角形都沒有，而在選項中，三角形的鈍角為，它的兩邊分別為1和，∵，∴A選項中的三角形與相似．故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定．注意兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．5.圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，與相交于點O，，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）A.0．8 B.0．96 C.1 D.1．08【答案】B【解析】【分析】由，可得出進而得出解出即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，故選：【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．6.主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長米，主持人從舞臺一側(cè)進入，設(shè)他至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上長為，則滿足的方程是（）A. B. C. D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】點P是的黃金分割點，且，，則，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：由題意知，點P是的黃金分割點，且，，則，，，．故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．7.如圖，與是位似圖形，點為位似中心，已知，則與的面積之比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)位似比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，進行求解即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，點為位似中心，，∴與的相似比為，∴與的面積之比是；故選D．【點睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)．熟練掌握位似比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關(guān)鍵．8.已知，如圖，平行四邊形中，，且，那么（）A.18 B.19 C.20 D.32【答案】C【解析】【分析】易證，利用相似的性質(zhì)可求出的面積，再根據(jù)高相等的三角形面積之比等于底之比可求出的面積，進而可求出的面積，又因為的面積等于的面積，問題得解．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴．∵，∴，∴，．∵，∴．∵與等高，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知高相等的三角形面積之比等于底之比．9.如圖，有一塊形狀為的鐵板余料，已知要把它加工成一個形狀為的工件，使在上，兩點分別在上，且，則的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作交BC于H點，交DE于I點，根據(jù)可得，根據(jù)可知是中線，得，利用三角形面積，可得，，則根據(jù)，計算可得結(jié)果．【詳解】如圖示，作交BC于H點，交DE于I點，∵∴∵∴是中位線，∴，又∵，即有，∴，∴，∴,故選：B．【點睛】本題考查了三角形中位線的應(yīng)用，勾股定理，三角形的面積和平行四邊形的面積，熟悉相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10.如圖，點在線段上，在的同側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，與、分別交于點，，給出下列結(jié)論：①；②；③；其中所有正確的結(jié)論序號為（）A.① B.①② C.①②③ D.②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)即可依次判斷．【詳解】解：∵三角形和三角形都是等腰直角三角形，∴AC＝AB，AD＝AE，∴，∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正確；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∵∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，故②正確，∵∠CAE＝180°?∠BAC?∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴∴AC2＝CP?CM，∵AC＝BC，∴2CB2＝CP?CM，所以③正確；故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷．在等積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相似三角形進行證明，進而得到答案．二、填空題（每小題3分，共21分）11.已知，則_______．【答案】##【解析】【分析】由已知等式得到，再代入化簡即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查分式的求值，將已知條件或所求分式作適當變形，然后利用分式的基本性質(zhì)化簡是解題的關(guān)鍵．12.如圖，P是邊上一點，請?zhí)砑右粋€條件使得與相似，則你添加的條件可以是________，（只需添加一個符合的條件即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由于兩個三角形有公共角，因此可添加一組角對應(yīng)相等即可判定兩三角形相似．【詳解】解：添加條件：，∵，，∴，故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵：兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，兩組邊對應(yīng)成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似．13.兩個多邊形相似，面積的比是，一個多邊形的周長為，則另一個多邊形的周長為________．【答案】或##或【解析】【分析】根據(jù)相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方即可得出答案．【詳解】解：∵兩個多邊形相似，面積的比是，∴兩個多邊形的相似比是，設(shè)：另一個多邊形的周長為，∴或，∴或，∴另一個多邊形的周長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)對角線的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，熟練應(yīng)用相似多邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖所示，在中，，于D，下列四個結(jié)論中：①；②；③；④．其中正確的有_________．【答案】②③④【解析】【分析】由垂線的定義結(jié)合同角的余角相等可推出，故②正確；因為不確定，故不一定成立，故①錯誤；證明即可推出，故③正確；證明，即可推出，故④正確．【詳解】解：∵，∴．∵，∴，，∴，故②正確；當時，，∵不確定，∴①錯誤；∵，，∴，∴，即，故③正確；∵，，∴，∴，即，故④正確．綜上可知正確的為②③④．故答案為：②③④．【點睛】本題考查垂線的定義，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．15.如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為______．【答案】1∶3【解析】【分析】先設(shè)四邊形和四邊形的邊長為x，然后根據(jù)AEM∽ABC可得，進而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分別求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四邊形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案．【詳解】解：∵四邊形和四邊形均為正方形，∴設(shè)四邊形和四邊形的邊長為x，則EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得：x＝2.5，∴AP＝2.5，EM＝5，∴S△AEM＝＝，又∵S△ABC＝＝25，∴S四邊形BCME＝S△ABC－S△AEM＝25－＝，∴S△AEM∶S四邊形BCME＝∶＝1∶3，故答案為：1∶3．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．16.在20世紀70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為______米．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得，代入數(shù)值得出答案．【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，∴．∵AB=2米，∴米．故答案為：（）．【點睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．17.如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動點，且，作，垂足分別為E、F，則的值為______．【答案】【解析】【分析】連接AC交BD于點O，過點M作MG//BD交AC于點G，則可得四邊形MEOG是矩形，以及，從而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，運用勾股定理求出AO的長即可．【詳解】解：連接AC交BD于點O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，∴在Rt中，AB=4，BO=，∵，∴過點M作MG//BD交AC于點G，∴,∴又∴，∴四邊形MEOG是矩形，∴ME=OG，又∴∴在和中，,∴≌∴，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（共49分）18.如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的長．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的長．【答案】（1）6（2）15【解析】【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長，即可得出AC的長．【詳解】（1）∵l1∥l2∥l3．∴，∴DE=EF=6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴，∴BC=AB=×6=9，∴AC=AB+BC=6+9=15．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．19.如圖，已知等腰，點D、E分別在上，且．（1）求證：；（2）如果，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）12【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及已知即可完成證明；（2）由相似三角形的性質(zhì)即可完成解答．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵．∴；【小問2詳解】由（1）得，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握這兩方面的知識是關(guān)鍵．20.某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個項目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得米，D、E之間有一個花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米；已知，，，點B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度．（平面鏡的大小厚度忽略不計）【答案】凌霄塔的高度為42米，見解析【解析】【分析】先證明，求出的長，再證明即可求出答案．詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴解得：，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴凌霄塔的高度為42米．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．21.如圖，在矩形ABCD的BC邊上取一點E，連接AE，使得AE＝EC，在AD邊上取一點F，使得DF＝BE，連接CF．過點D作DG⊥AE于G．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的長．【答案】（1）見解析；（2）DG＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)判定四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)AF=FC，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)證明△ADG∽△EAB，對應(yīng)邊成比例即可求出DG的長．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝EC，∴四邊形AECF菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根據(jù)勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四邊形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴△ADG∽△EAB，∴＝，即＝，∴DG＝．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．22.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動點P以2cm/s的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1cm/s的速度從點C出發(fā)．沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點移動的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；（2）當運動時間為多少秒時，△CPQ與△CAB相似．【答案】（1）能，t的值為2s或3s；（2）t為秒與秒.【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中求出對角線AC的長度，然后表示出CQ、PC的長度，過點P作PH⊥BC于點H，然后表示出PH的長度，根據(jù)面積為3.6cm2，列方程求解．（2）分∠PQC＝90°與∠CPQ＝90°兩種情況進行討論即可．【詳解】解：（1）如圖1，過點P作PH⊥BC于點H，在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，當運動ts（0＜t＜5）時，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC，∴△PHC∽△ABC，∴∴PH＝（10﹣2t）cm，根據(jù)題意，得t?（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：當t的值為2s或3s時，△CQP的面積等于3.6cm2時．（2）如圖2，當∠PQC＝90°時，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如圖3，當∠CPQ＝90°時，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．綜上所述，t為秒與秒時，△CPQ與△CAB相似．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是對這些知識的熟練掌握及靈活運用，在解答（2）時要注意分類討論．23.如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．（1）證明與推斷：①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：的值為：（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究