彈性力學簡明教程第七章改

第七章空間問題的基本理論例題第五節(jié)軸對稱問題的基本方程第四節(jié)幾何方程及物理方程第三節(jié)主應力最大與最小的應力第二節(jié)物體內任一點的應力狀態(tài)第一節(jié)平衡微分方程習題的提示和答案教學參考資料第七章空間問題的基本理論在空間問題中，應力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:(a)(b)平衡條件§7-1平微分方程由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標具有對等性，其方程也必然具有對等性。所以式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標輪換得到。由三個力矩方程得到三個切應力互等定理，，。(x,y,z)(d)空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標的應力分量…

…，來求出斜面(法線

）上的應力。斜面應力§7-2物體內任一點的應力斜面全應力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標向分量:p沿法向和切向分量:斜面應力取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件，得出坐標向的應力分量,1.求2.求將向法向投影，即得從式(b)、(c)可見,當六個坐標面上的應力分量確定之后，任一斜面上的應力也就完全確定了。設在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。這時，斜面應力分量應代之為面力分量，從而得出空間問題的應力邊界條件:3.在上的應力邊界條件應力邊界條件式(b),(c)用于V內任一點，表示斜面應力與坐標面應力之間的關系；注意:

式(d)只用于邊界點上，表示邊界面上的面力與坐標面的應力之間的關系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。1.假設面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標向的應力分量為

代入,得到斜面應力§7-3主應力最大與最小的應力考慮方向余弦關系式,有式(a),(b)是求主應力及其方向余弦的方程。(b)2.求主應力將式(a)改寫為求主應力上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應力的方程,求主應力(c)求主應力3.應力主向設主應力的主向為。代入式(a)中的前兩式，整理后得應力主向由上兩式解出。然后由式(b)得出應力主向再求出及。4.一點至少存在著三個互相垂直的主應力（證明見書上）。5.應力不變量若從式(c)求出三個主應力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f)是等價的方程，故的各冪次系數(shù)應相等，從而得出應力不變量將上式展開，(g)應力不變量

∴分別稱為第一、二、三應力不變量。這些不變量常用于塑性力學之中。式(g)中的各式，左邊是不隨坐標選擇而變的；而右邊各項雖與坐標的選擇有關，但其代數(shù)和也應與坐標選擇無關。6.關于一點應力狀態(tài)的結論：六個坐標面上的應力分量完全確定一點的應力狀態(tài)。只要六個坐標面上的應力分量確定了，則通過此點的任何面上的應力也完全確定并可求出。(2)一點存在著三個互相垂直的應力主面及主應力。一點應力狀態(tài)(3)三個主應力包含了此點的最大和最小正應力。（4）一點存在三個應力不變量（5）最大和最小切應力為，作用于通過中間主應力、并且“平分最大和最小正應力的夾角”的平面上。設思考題1.試考慮：對于平面問題若則此點所有的正應力均為,切應力均為0，即存在無數(shù)多的主應力。2.試考慮：對于空間問題若則此點所有的正應力均為,切應力均為0，即存在無數(shù)多的主應力。

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程從數(shù)學上看，由位移函數(shù)求導數(shù)是完全確定的，故形變完全確定?！豿,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

∵由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應的位移分量為

(b)幾何方程—繞x,y,z軸的剛體轉動角度。若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為(c)位移邊界條件(d)其中由于小變形假定，略去形變的二、三次冪。體積應變體積應變定義為

空間問題的物理方程

可表示為兩種形式：⑴應變用應力表示，用于按位移求解方法：(x,y,z)(e)物理方程⑵應力用應變表示，用于按應力求解方法：(x,y,z)(f)由物理方程可以導出（g）是第一應力不變量，又稱為體積應力?！Q為體積模量。

結論：空間問題的應力，形變，位移等十五個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應力或位移的邊界條件。結論

空間軸對稱問題

采用柱坐標表示軸對稱問題如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應力，形變和位移也是軸對稱的?！?-5軸對稱問題的基本方程對于空間軸對稱問題：所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。應力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對稱問題而由得出為。平衡微分方程：

幾何方程：其中幾何方程為物理方程：應變用應力表示：(d)應力用應變表示：其中邊界條件：

一般用柱坐標表示時，邊界面均為坐標面。所以邊界條件也十分簡單。在柱坐標中，坐標分量的量綱，方向性，坐標線的性質不是完全相同的。因此，相應的方程不具有對等性。思考題試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導出平面軸對稱問題的基本方程。第七章例題例題1例題2例題3例題例題1設物體的邊界面方程為F（x,y,z)=0,試求出邊界面的應力邊界條件；若面力為法向的分布拉力q(x,y,z),應力邊界條件是什么形式？（x,y,z)其中解：當物體的邊界面方程為F（x,y,z)=0時，它的表面法線的方向余弦且有當面力為法向分布拉力q時，(x,y,z)因此，應力邊界條件為代入應力邊界條件，得(x,y,z)例題2

試求圖示彈性體中的應力分量，(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。qqooxxzz圖7-4解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應力狀態(tài)：x向與y向的應力、應變和位移都是相同的，即等。對于(a)，有約束條件，；對于(b)，有對稱條件。而兩者的，因此，由物理方程，即可解出例題３

圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點，試寫出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊界，可以應用圣維南原理列出應力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是給定的，因此，應力的主矢量和主矩的數(shù)值，應等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；而面力主矢量和主矩的方向，就是應力主矢量和主矩的方向。應力主矢量和主矩的正負號和正負方向，則根據應力的正負號和正負方向來確定。對于一般的空間問題，列積分的應力邊界條件時，應包括六個條件。對于圖示問題這六個積分的邊界條件是：

(一)本章學習的重點及要求

1.研究彈性力學問題,可以從一般問題到特殊問題,如從空間問題到平面問題。也可以由特殊問題到一般問題。本書就是先研究平面問題，然后再研究空間問題的。這樣可以由淺入深，循序漸進，便于理解。第七章教學參考資料彈性力學中的各種問題，都具有相似性，其未知函數(shù)，基本方程和邊界條件，以及求解的方法都是類似的。我們可以把空間問題看成是平面問題的推廣。2.直角坐標系(x,y,z)中一般的空間問題，包含有15個未知函數(shù)（6個應力分量，6個應變分量及3個位移分量），且它們均為三個坐標變量(x,y,z)的函數(shù)。區(qū)域內的基本方程也是15個，即3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程。在邊界上的應力邊界條件或位移邊界條件均為3個。這些方程和邊界條件當然可以根據有關條件導出，但也可以從平面問題推廣而來。3.在柱坐標系中的空間軸對稱問題，也可以看成是平面軸對稱問題的推廣?？臻g軸對稱問題包含有十個未知函數(shù)（4個應力分量，4個應變分量及2個位移分量）,它們都是的函數(shù)。在空間軸對稱問題中，區(qū)域內共有十個基本方程（2個平衡微分方程，4個幾何方程及4個物理方程），在邊界上個有兩個應力或位移邊界條件。

(二）本章內容提要

1.直角坐標系(x,y,z)中的一般空間問題，其基本方程及邊界條件具有對等性，可將下標、導數(shù)和物理量等按（x,y,z）輪換的方式得出其余表達式。平衡微分方程，幾何方程，物理