2023-2024學年湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學高一數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題含解析

2023-2024學年湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學高一數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．下列命題中，其中不正確個數(shù)是①已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則②函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是③已知平面平面，平面平面，，則平面④過所在平面外一點，作，垂足為，連接、、，若有，則點是的內(nèi)心A.1 B.2C.3 D.42．已知，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3．的外接圓的圓心為O，半徑為1，若，且，則的面積為（）A. B.C. D.14．命題“，”的否定為（）A.， B.，C， D.，5．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，并且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知點，，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．下列函數(shù)中，在R上為增函數(shù)的是（）A.y=2-xC.y=2x8．下列函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是A.與B.與C.與D.與9．函數(shù)的定義域是（）A. B.C D.10．已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B.C. D.11．不等式的解集為，則（）A. B.C. D.12．已知的定義域為，則函數(shù)的定義域為A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．_____________14．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.15．計算：___________.16．若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數(shù)a的值為___________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．設(shè)函數(shù)是定義域為的任意函數(shù).(1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；(2)如果，試求(1)中的和的表達式.18．設(shè)函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).（1）求；（2）若，求使不等式對一切恒成立的實數(shù)k的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象過點，是否存在正數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.19．已知函數(shù)，（，且）.（1）求的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．已知（1）求；（2）若，求.21．若存在實數(shù)、使得，則稱函數(shù)為、的“函數(shù)”（1）若．為、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求、的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，，是否存在實數(shù)、使得為、的“函數(shù)”，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②的值域為．若存在，請求出、的值；若不存在，請說明理由．（注：為自然數(shù)．）22．已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷當時函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】①②因為函數(shù)在區(qū)間上有零點，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面內(nèi)取一點P作PA垂直于平面與平面的交線,作PB垂直于平面,則所以平面④因為,且,所以,即是的外心所以正確命題為①③,選B2、A【解析】直接由對數(shù)與指數(shù)的互化公式求解即可【詳解】解：由，得，故選：A3、B【解析】由，利用向量加法的幾何意義得出△ABC是以A為直角的直角三角形，又|，從而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面積公式即可得解【詳解】由于，由向量加法的幾何意義，O為邊BC中點，∵△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，∴三角形應(yīng)該是以BC邊為斜邊的直角三角形，∠BAC＝，斜邊BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故選B.【點睛】本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，三角形面積的求法，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可得.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可得命題“，”的否定為“，”故選：B.5、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性得到，再解不等式組即得解.【詳解】解：由題得.因為在上單調(diào)遞減，并且，所以，所以或.故選：D6、B【解析】由兩點求斜率公式可得AB所在直線當斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解【詳解】解：∵直線過點，，∴，設(shè)AB的傾斜角為α（0°≤α＜180°），則tanα＝1，即α＝45°故選B【點睛】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題7、C【解析】對于A，y=2-x=12x，在R上是減函數(shù)；對于B，y=x2在-∞，0上是減函數(shù)，在0，+∞上是增函數(shù)；對于C，當【詳解】解：對于A，y=2-x=12對于B，y=x2在-∞，0對于C，當x≥0時，y=2x是增函數(shù)，當x<0時，y=x是增函數(shù)，所以函數(shù)fx對于D，y=lgx的定義域是0，+∞故選：C.8、D【解析】對于A，B，C三個選項中函數(shù)定義域不同，只有D中定義域和對應(yīng)法則完全相同的函數(shù)，才是同一函數(shù)，即可得到所求結(jié)論【詳解】對于A，的定義域為R，的定義域為，定義域不同，故不為同一函數(shù)；對于B，的定義域為，的定義域為，定義域不同，故不為同一函數(shù)；對于C，定義域為，的定義域為R，定義域不同，故不為同一函數(shù)；對于D，與定義域和對應(yīng)法則完全相同，故選D.【點睛】本題考查同一函數(shù)的判斷，注意運用只有定義域和對應(yīng)法則完全相同的函數(shù)，才是同一函數(shù)，考查判斷和運算能力，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】解不等式組即可得定義域.【詳解】由得：所以函數(shù)的定義域是.故選：B10、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】解：，，又，故選D【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題11、A【解析】由不等式的解集為，得到是方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出，即可得到答案【詳解】由題意，可得不等式的解集為，所以是方程的兩個根，所以可得，，解得，，所以，故選：A12、B【解析】因為函數(shù)的定義域為，故函數(shù)有意義只需即可，解得，選B考點：1、函數(shù)的定義域的概念；2、復(fù)合函數(shù)求定義域二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】利用指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，進行計算即可【詳解】.【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，需要注意，屬于基礎(chǔ)題14、120【解析】利用扇形的面積公式求解.【詳解】由題意得：扇形弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：12015、7【解析】直接利用對數(shù)的運算法則以及指數(shù)冪的運算法則化簡即可.【詳解】.故答案為：7.16、2【解析】利用集合的互異性，分類討論即可求解【詳解】因為a∈{1，a2﹣2a+2}，則：a=1或a=a2﹣2a+2，當a=1時：a2﹣2a+2=1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當a≠1時：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案為：2【點睛】本題考查集合的互異性問題，主要考查學生的分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、(1)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).(2)【解析】（1）計算，可得證（2）將f(x)代入（1）中表達式化簡即可求得試題解析：(1)∵的定義域為，∴和的定義域都為.∵，∴.∴是奇函數(shù)，∵，∴，∴是偶函數(shù).(2)∵，由(1)得，.∵，∴.點睛：抽象函數(shù)的奇偶性證明，先看定義域是否關(guān)于遠點對稱，然后根據(jù)奇偶函數(shù)的等式性質(zhì)進行計算便可判斷出奇偶性，計算時要注意符號的變化.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)是定義域為R的奇函數(shù)，由求解；（2），得到b的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，將對一切恒成立，轉(zhuǎn)化為對一切恒成立求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象過點，求得b，得到，令，利用復(fù)合函數(shù)求最值的方法求解.【小問1詳解】解：函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，解得，此時，滿足；【小問2詳解】因為，所以，解得，所以在R上是減函數(shù)，等價于，所以，即，又因為不等式對一切恒成立，所以對一切恒成立，所以，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是；【小問3詳解】因為函數(shù)的圖象過點，所以，解得，則，令，則，當時,是減函數(shù)，，因為函數(shù)在上的最大值為2，所以，即，解得，不成立；當時，是增函數(shù)，，因為函數(shù)在上最大值為2，所以，即，解得或（舍去），所以存在正數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為2.19、（1）定義域為；奇函數(shù);（2）時，；時，.【解析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式可得定義域；運用奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；（2）對a討論，，，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及參數(shù)分離法，二次函數(shù)的最值求法，可得m的范圍【詳解】（1）由題意，函數(shù)，由，可得或，即定義域為；由，即有，可得為奇函數(shù)；2對于，恒成立，可得當時，，由可得的最小值，由，可得時，y取得最小值8，則，當時，，由可得的最大值，由，可得時，y取得最大值，則，綜上可得，時，；時，【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及對數(shù)的運算性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義，以及對數(shù)的運算性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.20、（1）（2）【解析】（1）利用誘導公式可得答案；（2）利用誘導公式得到，再根據(jù)的范圍和平方關(guān)系可得答案.小問1詳解】.【小問2詳解】，若，則，所以.21、（1），；（2）存在；，.【解析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的等式組，由此可解得函數(shù)、的解析式；（2）由偶函數(shù)的定義可得出，由函數(shù)的值域結(jié)合基本不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得的值，進而可求得的值，即可得解.【小問1詳解】解：因為為、的“函數(shù)”，所以①，所以因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，所以②聯(lián)立①②解得，【小問2詳解】解：假設(shè)存在實數(shù)、，使得為，的“函數(shù)”則①因為是偶函數(shù)，所以即，即，因為，整理得因為對恒