適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)上篇六大核心專題主攻專題3立體幾何解答題專項(xiàng)3立體幾何中的證明與計(jì)算課件

解答題專項(xiàng)?立體幾何中的證明與計(jì)算保分1空間位置關(guān)系、空間角考點(diǎn)一

空間平行與垂直的證明與應(yīng)用例1(2023全國(guó)乙,文19)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,

,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)F在AC上,BF⊥AO.(1)求證:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱錐P-ABC的體積.(2)解

連接OF,PF.∵O,F分別為BC,AC中點(diǎn),且AB⊥BC,∴OF⊥BC.又PB=PC,O為BC中點(diǎn),∴BC⊥OP.∵OF∩OP=O,OF,OP?平面POF,∴BC⊥平面POF.又BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面POF,且交線為OF.過點(diǎn)P作PM⊥FO交FO延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則PM⊥平面ABC,即PM為三棱錐P-ABC的高.∵∠POF=120°,∴∠POM=60°.增分技巧空間幾何體中線面位置關(guān)系的判斷方法(1)明確空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,明確其中已有的平行、垂直關(guān)系.(2)熟練掌握線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,并能靈活運(yùn)用.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.證明

依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn),得E(1,1,1).考點(diǎn)二

利用向量求空間角考向1直線與平面所成的角例2(2023全國(guó)甲,理18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明

∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖,過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1交CC1于點(diǎn)O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距離為1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.又CC1=AA1=2,增分技巧利用向量求線面角的方法步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2022全國(guó)乙,理18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E為AC的中點(diǎn),AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解

(方法一)如圖,連接EF,由(1)知AC⊥平面BED.∴EF⊥AC,∴當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),EF最小.在△BDE中,若EF最小,則EF⊥BD.∵AB=CB=2,∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形,∴AC=2,BE=.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD為等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴DE2+BE2=BD2,∴BE⊥DE.由(1)知DE⊥AC,BE⊥AC,則以E為原點(diǎn),EA,EB,ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,∴點(diǎn)A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),E(0,0,0),考向2二面角例3(12分)(2023新高考Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點(diǎn).圖2【教師講評(píng)】1.本題條件中邊角關(guān)系較多,要注意結(jié)合圖形標(biāo)注分析.由題意易知△ABD,△ACD是全等的等邊三角形,從而△BCD和△ABC都是以BC為底邊的等腰三角形.所以可通過證明BC⊥平面ADE來實(shí)現(xiàn)線線垂直的證明.2.利用勾股定理證明AE⊥DE,于是得AE⊥平面BCD,由此建立空間直角坐標(biāo)系,由

可確定F點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩個(gè)半平面的法向量,利用公式求解二面角.要注意要求的是二面角的正弦值,所以在求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值后,不要忘記轉(zhuǎn)化.增分技巧利用向量求二面角的方法步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(12分)(2022新高考Ⅰ,19)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為

.(1)求A到平面A1BC的距離;(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.(2)連接AB1交A1B于點(diǎn)E,如圖.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.保分2空間距離、折疊與探究性問題例1(2023山東濟(jì)南一模)如圖,四棱錐P-ABCD中,△ABD是等邊三角形,PA=PB=PD,BC=CD.(1)證明

如圖,連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接PO,由AD=AB,CD=BC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC.又AO=AO,所以△AOB≌△AOD,所以BO=DO,即O為BD中點(diǎn).在等腰三角形PBD中,可得BD⊥OP.在等腰三角形BCD中,BD⊥OC.又OP∩OC=O,OP,OC?平面POC,所以BD⊥平面POC.因?yàn)镻C?平面POC,所以BD⊥PC.增分技巧求點(diǎn)到平面的距離的四步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2023山東菏澤一模)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=CD=2,BC=3,A1C1與B1D1交于點(diǎn)E,G為棱BB1上一點(diǎn),且BB1=3BG,點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為

.(1)判斷AG是否在平面AED1內(nèi),并說明理由;(2)求平面AD1E與平面AA1D1夾角的余弦值.解

(1)不在.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)A作與AD垂直的直線為x軸,AD,AA1所在的直線分別為y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.考點(diǎn)二

折疊問題考向1翻折中的位置關(guān)系問題例2如圖1,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E,F分別為線段AD,BC的中點(diǎn),將正方形ABCD沿EF折成如圖2所示,且∠DEA=60°,點(diǎn)M在線段AB上(包含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),連接AD.(1)若M為AB的中點(diǎn),直線MF與平面ADE的交點(diǎn)為O,試確定點(diǎn)O的位置,并證明直線OD∥平面EMC;(2)點(diǎn)H為AE的中點(diǎn),求證:DH⊥平面ABFE.圖1圖2(1)解

因?yàn)橹本€MF?平面ABFE,故點(diǎn)O在平面ABFE內(nèi),也在平面ADE內(nèi),所以點(diǎn)O在平面ABFE與平面ADE的交線,即直線AE上.如圖所示,延長(zhǎng)EA,FM交于點(diǎn)O,連接OD.因?yàn)锳O∥BF,M為AB的中點(diǎn),所以△OAM≌△FBM,所以O(shè)M=FM,連接DF交CE于點(diǎn)N,連接MN,則N為線段DF的中點(diǎn),所以MN∥OD.又OD?平面EMC,MN?平面EMC,所以O(shè)D∥平面EMC.(2)證明

由已知可得EF⊥AE,EF⊥DE.又EA∩DE=E,且EA,DE?平面ADE,所以EF⊥平面ADE.因?yàn)镋F?平面ABFE,所以平面ABFE⊥平面ADE.因?yàn)椤螪EA=60°,DE=AE,所以△ADE為等邊三角形,則DH⊥AE.而平面ABFE⊥平面ADE,平面ABFE∩平面ADE=AE,DH?平面ADE,所以DH⊥平面ABFE.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2023河南開封二模)如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AD=CD=AB,將△ACD沿AC折起(如圖2).在圖2所示的幾何體D-ABC中,(1)若平面ACD⊥平面ABC,求證:AD⊥BC;(2)設(shè)P為BD的中點(diǎn),記P到平面ACD的距離為h1,P到平面ABC的距離為h2,求證:為定值,并求出此定值.圖1圖2考向2翻折中的空間角問題例3(2023湖南岳陽(yáng)二模)在△ABC中,∠ACB=45°,BC=3,過點(diǎn)A作AD⊥BC,交線段BC于點(diǎn)D(如圖1),沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖2),點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn).圖1圖2(1)證明

∵CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,AD,BD?平面ABD,∴CD⊥平面ABD.又AB?平面ABD,∴CD⊥AB.又M,E分別為棱AC,BC的中點(diǎn),∴ME∥AB,∴CD⊥ME.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,DC,DA所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,增分技巧解決翻折問題的關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變.一般地,位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變,而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化.對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理,而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2023江蘇蘇州高三期末)如圖1,在長(zhǎng)方形ABCD中,已知AB=2,BC=1,E為CD中點(diǎn),F為線段EC上(端點(diǎn)E,C除外)的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作AF的垂線分別交AF,AB于O,K兩點(diǎn).現(xiàn)將△DAF折起,使得DK⊥AB(如圖2).(1)證明:平面ABD⊥平面ABC;(2)求直線DF與平面ABC所成角的最大值.圖1圖2(1)證明

因?yàn)锳F⊥OK,AF⊥OD,OD,OK?平面ODK,OD∩OK=O,所以AF⊥平面ODK.因?yàn)镈K?平面ODK,所以AF⊥DK.又DK⊥AB,AB,AF?平面ABC,AB∩AF=A,所以DK⊥平面ABC.因?yàn)镈K?平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.(2)解

連接FK,由(1)可知,直線DF與平面ABCF所成角為∠DFK,記∠DFK=θ.在題圖1中,因?yàn)镈K⊥AF,所以∠DFA+∠FDK=90°.又因?yàn)椤螰DA=∠FDK+∠ADK=90°,所以∠DFA=∠ADK.因?yàn)椤螰DA=∠DAK=90°,所以△FDA∽△DAK.考點(diǎn)三

空間中的探索性問題考向1位置關(guān)系中的探索性問題(1)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得CM⊥平面PBD?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.(2)(方法一)不存在點(diǎn)M.理由如下:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M(如圖).(方法二)不存在點(diǎn)M,理由如下:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,由CM⊥平面PBD,PB?平面PBD,BD?平面PBD,得CM⊥PB,且CM⊥BD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥BC.因?yàn)锽C⊥AB,且PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又PB?平面PAB,所以BC⊥PB.若存在滿足條件的點(diǎn)M,則點(diǎn)M必與點(diǎn)B重合.又BC與BD不垂直,所以線段PB上不存在滿足條件的點(diǎn)M.增分技巧立體幾何中探索性問題的求解策略(1)探索性問題的一般解法:①可先猜后證,即先觀察并嘗試給出條件再證明.②首先假設(shè)結(jié)論成立,然后把這個(gè)假設(shè)作為已知條件,與題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算.在推理論證和計(jì)算無誤的前提下,若得到一個(gè)合理的結(jié)論,則說明假設(shè)成立;若得到一個(gè)不合理的結(jié)論,則說明假設(shè)不成立.(2)涉及在線段上是否存在符合某條件的點(diǎn)的問題,可以先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置,特別注意特殊位置關(guān)系和極端情形的應(yīng)用.(3)可借助空間直角坐標(biāo)系將動(dòng)點(diǎn)用坐標(biāo)(含參數(shù))表示出來,然后根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程(組),由此解決探索性問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2023湖北黃岡模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,AB=AC=AA1=2,M為AB的中點(diǎn),N為B1C1的中點(diǎn),P是BC1與B1C的交點(diǎn).(1)證明:A1C⊥BC1.(2)在線段A1N上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ∥平面A1CM?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)Q的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.(2)解

以點(diǎn)A為原點(diǎn),AC,AB,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,考向2與空間角有關(guān)的探索性問題例5(2023重慶模擬)如圖,在八面體PABCDQ中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面PAD∥平面QBC,二面角P-AB-C與二面角Q-CD-A的大小都是30°,AP=CQ=

,PD⊥AB.(1)證明:平面PCD∥平面QAB.(2)設(shè)G為△QBC的重心,在棱PA上是否存在點(diǎn)S,使得SG與平面ABCD所成角的正弦值為?若存在,求S到平面ABCD的距離;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明

因?yàn)锳BCD為正方形,所以AB⊥AD.又PD⊥AB,AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD,所以∠PAD為二面角P-AB-C的平面角,即∠PAD=30°.又平面PAD∥平面QBC,AB∥CD,所以CD⊥平面QBC,即∠QCB為二面角Q-CD-A的平面角,即