2021人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下勾股定理的幾何應(yīng)用練習(xí)含答案

勾股定理的幾何應(yīng)用

1.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)A,B在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)

為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)為（C）

A.2B.乖TC.y/10-lD.小

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4,0）,B（0,3）,以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的

負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（B）

A.（1,0）B.（一1,0）C.（-5,0）D.（5,0）

3.（2020?陜西）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

A.B.看及C.D.看屈

4.（2020?包頭）如圖，在RtZiABC中，ZACB=90°,D是AB的中點(diǎn)，BE1CD,交CD的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E.若AC=2,BC=2鏡，則BE的長(zhǎng)為（A）

5.（2019?棗莊）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到4

ABF的位置.若四邊形AECF的面積為20,DE=2,則AE的長(zhǎng)為（D）

1

AD

A.4B.2mC.6D.2乖

【點(diǎn)撥】由題易得四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進(jìn)而可求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)，

再利用勾股定理求解即可.

【答案】D

6.已知x,y為正數(shù)，且|x-4|+（『-3）2=0,以x,y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角

三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（C）

A.5B.25C.7D.15

7.（中考?陜西）如圖，在aABC中，AC=8,ZABC=60°,NC=45°,AD1BC,垂足為D,ZABC

的平分線交AD于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（C）

A

BDC

A.172B.2啦C.1-72D.3啦

oJ

【點(diǎn)撥】：AD_LBC,AZADC=ZADB=90°.

?.,在RtZXADC中，AC=8,ZC=45",

AAD=CD,AAtf+CD^AC2,：.i\D=4^2.

在RtZXADB中，VZABD=60°,AZBAD=30°.

.-.BD=|AB,.,.BD2+AD2=AB2=4BD2,又；AD=4隹

.?.BD=羋.YBE平分NABC,；./EBD=30°.

在RtZXEBD中，VZEBD=30°,

.,.DE=^BE.ADE2+BD2=4DE2,

f4m4^2

o?■"DE=oQ.

AE=AD-DE故選C.

2

8.【2020?衢州】把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖所示的方法進(jìn)行兩次折疊，得到等腰直角三角形

BEF,若BC=1,則AB的長(zhǎng)度為（A）

A.鏡B,^1c.的D1

【點(diǎn)撥】由折疊補(bǔ)全圖形如圖所示.

四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，，ZADC=

/8=/，=由第一次折疊得NADE=NA'DE=|zADC=45°,

XVZA=90°,.,.ZAED=ZADE=45"..,.AE=AD=1.

在Rl^ADE中，根據(jù)勾股定理得DE=，1

由第二次折疊知CD=DE=M，

ZA=90°,AD=BC=1,CD=AB.【答案】A

9.（2020?威海）七巧板是大家熟悉的一種益智玩具，用七巧板能拼出許多有趣的圖案.小李將一塊

等腰直角三角形硬紙板（如圖①）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖②）.已知AB=40cm,則

圖中陰影部分的面積為（C）

,100,,

A.25cm-B.一^"cnfC.50cm"D.75cm2

【點(diǎn)撥】如圖，設(shè)0F=EF=FG=xcm,

3

則0E=0H=2xcm.在RtAEOH中,

由勾股定理得EH=2《xcm,

由題意易知EH=20cm,：.2O=2yf2x.：.x=5yf2.

/.陰影部分的面積=(572)2=50(cm2).

【答案】C

10.(2020?重慶A)如圖，在三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD,把AABD沿著AD翻

折，得到AAED,DE與AC相交于點(diǎn)G,連接BE交AD于點(diǎn)F.若DG=GE,AF=3,BF=2,4ADG的

面積為2,則點(diǎn)F到BC的距離為(B)

必R1選逑

A.5D.廣J5*->.3

A

BDC

==

【點(diǎn)撥】＜*'DGGE,.*?SAADC=SAAEG2.

=

SAADE4.

由翻折可知，Z\ADBgZ\ADE,BE±AD,

=

SAABD=SAADE4,NBFD=90°.

?(AF+DF)?BF=4.

即;?(3+DF)-2=4.

ADF=1.

.*.DB=、BF2+DN=、22+T=m.

設(shè)點(diǎn)F至I」BD的距離為h,則有義?BD?h=1?BF?DF,

，h=攣.【答案】B

5

11.一個(gè)零件的形狀如圖所示，己知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm,則CD=13

4

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(8,0),B(0,6),以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸

13.(2020?遼陽(yáng))如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=2BC,分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于

5AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N,作直線MN,交AC于點(diǎn)E,連接BE,若CE=3,

則BE的長(zhǎng)為_(kāi)__5____.

14.【2020?通遼】如圖，在AABC中，ZACB=90",AC=BC,點(diǎn)P在斜邊AB上，以PC為直角

邊作等腰直角三角形PCQ,ZPCQ=90°,則PA?,PB2,PC?三者之間的數(shù)量關(guān)系是PB2+PA2

=2PC2.

【點(diǎn)撥】如圖，連接BQ.

VZACB=90°,AC=BC,AZCAB=ZCBA=45°.

,.?△PCQ是等腰直角三角形，且NPCQ=90°,

.\PC=CQ,ZPCQ=ZACB,PQ2=2PC2.

ZACB-ZPCB=ZPCQ-ZPCB,即ZACP=ZBCQ.

又：AC=BC,PC=CQ,/.△ACP^ABCQ(SAS).

APA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45"./.ZABQ=45°+45O=90O./.PB2+BQ2=PQ2..*.PB2+PA2=

2PC2.

【答案】PB2+PA2=2PC2

15.如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF,GH同時(shí)折疊，B,C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若NFPH

=90°,PF=8,PH=6,則長(zhǎng)方形ABCD的面積為_(kāi)115.2.

5

A'D'

AEGD

BHC

【點(diǎn)撥】在RtAPFH中，F(xiàn)H=^/PF2+PH2=-\/82+62=10,

，BC=BF+FH+CH=PF+FH+PH=8+10+6=24.

6X8

設(shè)APFH的邊FH上的高為h,則h=1-=4.8,

?,.SK?ABCD=24X4.8=115.2.解此題時(shí)要靈活運(yùn)用折疊前后對(duì)應(yīng)線段相等，從而求出BC的長(zhǎng),

然后再運(yùn)用面螃求出APFH中FH邊上的高.本題容易因忽視條件而求不出答案.

【答案】115.2

16.(創(chuàng)新題)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為Si,以CD為斜邊作等腰直角三角形,以該等

腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積標(biāo)記為S2，…,按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S202。的

17.如圖，4ABC和4ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,D為AB邊上一點(diǎn).求證:

(l)AACE^ABCD；(2)AD2+AE2=DE2.

(1)證明：:△ABC和4ECD都是等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°,

；.AC=BC,CE=CD,ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD.

/BCD=NACE./.AACE^ABCDCSAS).

(2)：VAACE^ABCD,r.ZEAC=ZDBC.

VZDBC+ZDAC=90°,

，ZEAC+ZDAC=ZEAD=90°.

6

.?.AD2+AE2=DE2.

18.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

(1)求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

⑵求點(diǎn)A到BC的距離.

AB=^52+12=V26?BC=^/42+22=2V5,

CD=y]22+\2--\[5,AD=、4?+12=/pj,

則四邊形ABCD的周長(zhǎng)=，丞+3小+/萬(wàn).

(2)：連接AC.

設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h,

△ABC的面積=Wx(2+5)X5-Jx1X5-|x2X4=ll,

則上2小Xh=11,解得1I=喈，

即點(diǎn)A到BC的距離為喈.

19.如圖，AD是△ABC的中線.

求證：AB2+AC2=2(AD2+CD2).

方法總結(jié)：方關(guān)系的方法：先觀察各邊是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理進(jìn)行證明;

若不在，需作垂線，使各邊在直角三角形中，再利用勾股定理進(jìn)行證明.

證明：過(guò)點(diǎn)A作AEXBC于點(diǎn)E.

在Rt^ABE,Rt/XACE和RtZXADE中，

根據(jù)勾股定理，得AB2=AE2+BE2,AC2=AE2+EC2,

AE2=AD2-DE2,

.?.AB2+AC2=2AE2+BE24-EC2=2(AD2-DE2)+(BD-DE)2+(CD+DE)2=2AD2-2DE2+BD2-

7

2BDDE+DE2+CD2+2CDDE+DE2=2AD2+BD2+CD2-2BDDE+2CDDE.

；AD是AABC的中線，，BD=CD.

/.AB2+AC2=2AD2+2CD2,

即AB2+AC2=2(AD2+CD2).

20.如圖，aRtAABC中，NC=90。，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為AC,BC的中點(diǎn)，DE_LDF.

求證：AE2+BF2=EF2.

【點(diǎn)撥】本題通過(guò)作輔助線將不在同一個(gè)三角形中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，從

而將證明AE2+BF2=EF2轉(zhuǎn)化為證明BG2+BF2=FG2.

證明：如圖，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使DG=DE,連接BG,FG.

jAD=BD,

在4ADE和4BDG中，SZ1=Z2,

IDE=DG,

/.AADE^ABDG(SAS).，AE=BG,Z3=Z4.

VZ4+Z5=90°,.\Z3+Z5=90o.

又?.?DF_LEG,DE=DG,/.FG=EF.

在RtZ\FBG中，BG2+BF2=FG2,即AE2+BF2=EF2.

21.［閱讀理解］

如圖，在AABC中，BC=a,CA=b,AB=c.

(1)若NC為直角，則a?+b2=c2；

222

(2)若NC為銳角，則a?+b2與C?的關(guān)系為a+b>c;

(3)若NC為鈍角，試寫(xiě)出a2+b)與c?的關(guān)系(不寫(xiě)證明).

［探究問(wèn)題］

在AABC中，BC=a=3,CA=b=4,AB=c,若AABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范

圍.

A、

CB

8

【點(diǎn)撥】由CA>BC可知/B>/A,故NA不是鈍角，故應(yīng)分/B是鈍角和NC是鈍角兩種情況進(jìn)行

討論.

解：［閱讀理解］a2+b2Vc2.

［探究問(wèn)題］當(dāng)NC