新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 第1講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含解析）

專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情分析KAOQINGFENXI1.高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段

函數(shù)等，主要考查求函數(shù)的定義域、分段函數(shù)的函數(shù)值的求解或分

段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的識(shí)別.難度屬中等及以上.2.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時(shí)在壓軸題的位置，

多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結(jié)合命題.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三專題強(qiáng)化練1考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示PARTONE核心提煉1.復(fù)合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，從中解得x的范圍即為f(g(x))的定義域.(2)若f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域.2.分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4)√故f(x)的定義域?yàn)?1,2]，∴當(dāng)x≤0時(shí)，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，無(wú)解；當(dāng)x－1>0，即x>1時(shí)，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.規(guī)律方法(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.(2)對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.√解析當(dāng)a<0時(shí)，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1].(2)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”.下列為“H函數(shù)”的是A.y＝sinxcosx

B.y＝lnx＋exC.y＝2x

D.y＝x2－2x√√解析由題意，得“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.其值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A是“H函數(shù)”；B中，函數(shù)y＝lnx＋ex的值域?yàn)镽，故B是“H函數(shù)”；C中，因?yàn)閥＝2x>0，故C不是“H函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D不是“H函數(shù)”.綜上所述，A，B是“H函數(shù)”.2考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)PARTTWO1.函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)).2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.核心提煉3.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.考向1單調(diào)性與奇偶性例2

(1)(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是A.[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞) D.[－1,0]∪[1,3]√解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3].(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝

的最大值為M，最小值為N，則(M＋N－1)2021的值為___.1由于奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2021＝1.A.減函數(shù)且f(x)>0 B.減函數(shù)且f(x)<0C.增函數(shù)且f(x)>0 D.增函數(shù)且f(x)<0√考向2奇偶性與周期性又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且x≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝ex－1，則f(2020)＋f(－2021)＝________.1－e解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又定義域?yàn)镽，所以函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閤≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，所以x≥0時(shí)，f(x)是周期為2的周期函數(shù).所以f(2020)＋f(－2021)＝f(0)－f(2021)＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.二級(jí)結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(a＋x)＝f(a－x)，則2a是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(a＋x)＝f(a－x)，則4a是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，則2(b－a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2018·全國(guó)Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于A.－50

B.0C.2D.50√解析∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).由f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.√√√解析由題可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x－sinx＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，故A正確；根據(jù)周期函數(shù)的定義，可知f(x)一定不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(0)＝0＋sin0＝0，所以f(x)有零點(diǎn)，故C正確；對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝1＋cosx≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，故D正確.3考點(diǎn)三函數(shù)的圖象PARTTHREE核心提煉1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換.2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn).考向1函數(shù)圖象的識(shí)別例4

(1)(2020·衡水模擬)函數(shù)f(x)＝x·ln|x|的圖象可能是解析函數(shù)f(x)＝x·ln|x|是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，C；√(2)已知某函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是√解析根據(jù)題意，由圖象可得，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先為正值，然后為負(fù)值.C，D選項(xiàng)中的函數(shù)均為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于A選項(xiàng)，f(x)為偶函數(shù)，對(duì)于B選項(xiàng)，f(x)為偶函數(shù)，考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用例5

(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為√解析要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象，然后再向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確.√解析由函數(shù)的解析式易知f(x)≤0恒成立，等價(jià)于函數(shù)y＝|f(x)|的圖象在函數(shù)y＝mx－2圖象的上方恒成立.作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖象，如圖所示，函數(shù)y＝mx－2的圖象是過定點(diǎn)(0，－2)的直線，由圖可知，當(dāng)m<0時(shí)，不滿足題意；當(dāng)m＝0時(shí)，滿足題意；當(dāng)m>0時(shí)，考慮直線y＝mx－2與曲線y＝x2＋3x(x>0)相切的情況.令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，規(guī)律方法(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特征點(diǎn)排除不符合要求的圖象.(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問題.求解兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可以先畫出已知函數(shù)完整的圖象，再觀察.跟蹤演練3

(1)(2020·天津市大港第一中學(xué)模擬)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是√解析令f(x)＝2|x|sin2x，因?yàn)閤∈R，f(－x)＝2|－x|sin2(－x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝2|x|sin2x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B；(2)已知函數(shù)f(x)＝

若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(0，＋∞) B.[－3,0]C.(－∞，－3]∪[3，＋∞) D.(－∞，－3]∪(0，＋∞)√直線y＝ax－1恒過定點(diǎn)(0，－1)，若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則函數(shù)f(x)的圖象在直線y＝ax－1下方有圖象或與直線有交點(diǎn)，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的圖象恒在y＝ax－1圖象的上方，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax－1經(jīng)過第一、三、四象限，與函數(shù)f(x)的圖象必有交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax－1經(jīng)過第二、三、四象限，若直線y＝ax－1與f(x)有交點(diǎn)，必然相交于第二象限.即ax－1＝x2－x，變形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，則有a≤－3，綜上可得，a的取值范圍為(－∞，－3]∪(0，＋∞).4專題強(qiáng)化練PARTFOUR一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)y＝

的定義域?yàn)锳.(－1,3] B.(－1,0)∪(0,3]C.[－1,3] D.[－1,0)∪(0,3]12345678910111213141516√解得x∈(－1,0)∪(0,3].12345678910111213141516√12345678910111213141516√解析觀察函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)，x是以平方、絕對(duì)值的形式出現(xiàn)的，所以f(x)為偶函數(shù)，排除B；12345678910111213141516√12345678910111213141516若x>1，則f(x)＝x＋1>2，易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，a)上單調(diào)遞減.若a<1，則f(x)在x＝a處取得最小值，不符合題意；若a≥1，則要使f(x)在x＝1處取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2，綜上所述，a的取值范圍是[1,2].12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期函數(shù)且周期為2，根據(jù)f(x)在x∈[－1,0]上的圖象和f(x)是偶函數(shù)可得f(x)在[0,1]上是增函數(shù).對(duì)于B,0<sin3<－cos3<1，∴f(sin3)<f(－cos3)＝f(cos3)，B正確；12345678910111213141516對(duì)于D，f(2020)＝f(0)<f(2019)＝f(1)，D錯(cuò)誤.123456789101112131415166.定義新運(yùn)算

：當(dāng)a≥b時(shí)，a

b＝a；當(dāng)a<b時(shí)，a

b＝b2.則函數(shù)f(x)＝(1

x)x－(2

x)，x∈[－2,2]的最大值為A.－1

B.1

C.6D.12解析當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，f(x)＝x－2；當(dāng)1<x≤2時(shí)，f(x)＝x3－2.又∵y＝x－2，y＝x3－2在R上都為增函數(shù)，且f(x)在x＝1處連續(xù)，∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.√12345678910111213141516√12345678910111213141516又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，故排除A，C.8.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則

等于A.0B.mC.2m

D.4m√解析由題意可知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，而y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的圖象也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以兩個(gè)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且每對(duì)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題9.若函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝ex，則√√12345678910111213141516解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝ex，

①所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x，

②所以g(－1)<f(－2)，g(－1)<f(－3).12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析由題可知f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故A正確；故B正確，C錯(cuò)誤；所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，故D正確.1234567891011121314151611.符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定義函數(shù)f(x)＝x－[x]，則下列命題正確的是A.f(－0.8)＝0.2B.當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－1C.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,1)D.函數(shù)f(x)是增函數(shù)、奇函數(shù)√√√12345678910111213141516解析由f(x)＝x－[x]，得f(－0.8)＝－0.8＋1＝0.2，故A正確；當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－[x]＝x－1，故B正確；函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,1)，故C正確；當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)＝x－[x]＝x，當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－1，當(dāng)x＝0.5時(shí)，f(0.5)＝0.5，當(dāng)x＝1.5時(shí)，f(1.5)＝0.5，則f(0.5)＝f(1.5)，即f(x)不為增函數(shù)，由f(－1.5)＝0.5，f(1.5)＝0.5，可得f(－1.5)＝f(1.5)，即f(x)不為奇函數(shù)，故D不正確.12.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，則下列說法正確的是A.f(7)＝0B.f(x)的一個(gè)周期為8C.f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(3,0)D.f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝201912345678910111213141516√√√解析依題意知，直線x＝1是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，(－1,0)是f(x)圖象的一