新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 第3講 母題突破4 探索性問題（含解析）

專題六第3講圓錐曲線的綜合問題母題突破4探索性問題內(nèi)容索引母題突破4

專題強(qiáng)化練1母題突破4探索性問題PARTONE母題已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；證明

設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.思路分析?假設(shè)四邊形OAPB能為平行四邊形

↓?線段AB與線段OP互相平分

↓?計(jì)算此時(shí)直線l的斜率

↓?下結(jié)論解

四邊形OAPB能為平行四邊形.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM.解

由橢圓的定義可知|MF1|＋|MF2|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝2時(shí)等號(hào)成立，∴|MF1|·|MF2|的最大值為4.(2)橢圓C上是否存在點(diǎn)P(異于點(diǎn)A1，A2)，使得直線PA1，PA2與直線x＝4分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且|EF|＝1？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解

假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P.不妨設(shè)P(x0，y0)(y0>0)，則－2<x0<2.∵Δ＝－176<0，∴此方程無解.故不存在滿足題意的點(diǎn)P.得x0＝4－y0，子題2

(2020·合肥適應(yīng)性檢測(cè))已知拋物線C：y2＝4x，過點(diǎn)(2,0)作直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)A，使得x軸平分∠MAN？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知x軸上任意一點(diǎn)A(不與點(diǎn)(2,0)重合)，都可使得x軸平分∠MAN；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，消去y得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0，顯然Δ>0，假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)A(a,0)，使得x軸平分∠MAN，又y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，把(*)式代入上式化簡得4a＝－8，∴a＝－2，∴點(diǎn)A(－2,0)，綜上所述，在x軸上存在一點(diǎn)A(－2,0)，使得x軸平分∠MAN.規(guī)律方法探索性問題的求解策略(1)若給出問題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律.(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述問題時(shí)，一般先對(duì)結(jié)論給出肯定的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論.跟蹤演練解

設(shè)Q(x0，y0)，則P(－x0，－y0)，可知0<x0<2,0<y0<1.假設(shè)存在直線l，使得△BOP的面積是△BMQ的面積的3倍，則|OP|＝3|MQ|，即|OQ|＝3|MQ|，又A(2,0)，∴直線AB的方程為x＋2y－2＝0.整理得x0＝3－2y0，

①∵判別式Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0，∴該方程無解.∴不存在直線l，使得△BOP的面積是△BMQ的面積的3倍.解

假設(shè)存在斜率為－1的直線l，設(shè)為y＝－x＋m，由題意知，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以以線段F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝1，7x2－8mx＋4m2－12＝0.由題意，Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，整理得4m4－36m2＋17＝0，故存在符合條件的直線l，其方程為2專題強(qiáng)化練PARTTWO1212設(shè)Q(0，m)(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋1，12∴(m－1)(x1＋x2)＝2kx1x2，12(1)在①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)12解

若選①，若選②，由題意得|PH|＝|PG|，12所以點(diǎn)P的軌跡C是以H，E為焦點(diǎn)的橢圓，若選③，設(shè)P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，則x′2＋y′2＝9，

(*)1212(2)設(shè)圓O：x2＋y2＝2上任意一點(diǎn)A處的切線交軌跡C于M，N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.12由①②聯(lián)立，可解得交點(diǎn)為(0,0).12(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.因?yàn)棣ぃ?6k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝－8(m2－6k2－3)＝－8(2k2＋2