勾股定理與弦圖問題八年級數(shù)學上冊尖子生培優(yōu)題典32

2021-2022學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題勾股定理與弦圖問題〔重難點培優(yōu)〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021秋?江陰市期中〕如圖，“趙爽弦圖〞是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成大正方形，假設小正方形的邊長為3，大正方形邊長為15，那么一個直角三角形的周長是〔〕A．45B．36C．25D．182．〔2021秋?丹東期末〕如圖，用4個相同的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，假設圖中直角三角形較短的直角邊長是5，小正方形的邊長是7，那么大正方形的面積是〔〕A．121B．144C．169D．1963．〔2021春?賀蘭縣期中〕“趙爽弦圖〞是由4個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形〔如下圖〕．假設直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和1，那么圖中陰影區(qū)域的面積與大正方形的面積之比為〔〕A．13B．14C．154．〔2021春?望城區(qū)期末〕勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，這是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是〔〕A．B．C．D．5．〔2021秋?姑蘇區(qū)期中〕如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為64，小正方形面積為9，假設用x，y表示直角三角形的兩直角邊長〔x＞y〕，請觀察圖案，以下關系式中不正確的選項是〔〕A．x2+y2＝64B．x﹣y＝3C．2xy+9＝64D．x+y＝116．〔2021?龍馬潭區(qū)模擬〕“趙爽弦圖〞巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如下圖的“趙爽弦圖〞是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，假設ab＝18，大正方形的面積為100．那么小正方形的邊長為〕A．9B．8C．7D．67．〔2021秋?山西月考〕如下圖的是我國古代著名的“趙爽弦圖〞的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，那么EF2的值是〔〕A．169B．196C．392D．5888．〔2021春?海珠區(qū)月考〕如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為49，小正方形面積為4，假設用x，y表示直角三角形的兩直角邊〔x＞y〕，以下結論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結論是〔〕A．①②B．②④C．①②③D．①③9．〔2021秋?中牟縣期中〕1876年，美國總統(tǒng)伽菲爾德利用如下圖的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關系是〔〕A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC10．〔2021秋?南山區(qū)校級期中〕如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點M，N，連接FN．AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，那么圖中陰影局部的面積之和為〔〕A．214B．215C．225二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021春?興城市期末〕把圖1中長和寬分別6和4的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2的正方形，那么圖2中小正方形ABCD的面積為．12．〔2021春?陽西縣期末〕“趙爽弦圖〞巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如下圖的“趙爽弦圖〞是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，假設ab＝8，小正方形的面積為9，那么大正方形的邊長為．13．〔2021?通州區(qū)一?！嘲褕D1中長和寬分別為3和2的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，那么圖2中小正方形ABCD的面積為．14．〔2021秋?法庫縣期末〕如圖是“趙爽弦圖〞，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．15．〔2021秋?延慶區(qū)期末〕用四個全等的直角三角形拼成如圖一個大正方形ABCD和一個小正方形EFGH，這就是著名的“趙爽弦圖〞．在2002年北京召開的國際數(shù)學家大會就用這個弦圖作為會標．假設AB＝10，AF＝8，那么小正方形EFGH的面積為．16．〔2021?高新區(qū)一?！橙鐖D1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解?周髀算經?時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖〞．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影局部的面積為S1，空白局部的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，假設S1S217．〔2021?寧夏〕2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的?勾股圓方圖?，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形〔如圖1〕，且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為．18．〔2021秋?福田區(qū)期末〕如圖是“趙爽弦圖〞，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021春?岳西縣期末〕公元3世紀，我國數(shù)學家趙爽在注?周髀算經?中，就利用以下弦圖證明了勾股定理．即用4個全等的直角三角形拼成如下圖的正方形ABCD，中間留出一個小正方形空格．請你利用這個弦圖證明勾股定理．20．〔2021秋?蘇州期末〕三國時代東吳數(shù)學家趙爽〔字君卿，約公元3世紀〕在?勾股圓方圖注?一書中用割補的方法構造了“弦圖〞〔如圖1〕，并給出了勾股定理的證明．，圖2中涂色局部是直角邊長為a，b，斜邊長為c的4個直角三角形，請根據(jù)圖2利用割補的方法驗證勾股定理．21．〔2021秋?伊川縣期末〕勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法〞來證明．將兩個全等的直角三角形按如下圖擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．22．〔2021秋?溧陽市期中〕勾股定理被譽為“幾何明珠〞，在數(shù)學的開展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學中的重要知識點之一，也是初中學生以后解決數(shù)學問題和實際問題中常常運用到的重要知識，因此學好勾股定理非常重要．學習數(shù)學“不僅要知其然，更要知其所以然〞，所以，我們要學會勾股定理的各種證明方法．請你利用如圖圖形證明勾股定理：：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．23．〔2021秋?雁江區(qū)期末〕中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的奉獻和地位，表達了數(shù)學研究中的繼承和開展，現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如下圖“弦圖〞．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形解決以下問題：〔1〕試說明：a2+b2＝c2；〔2〕如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求〔a+b〕2的值．24．〔2021春?青白江區(qū)期末〕如圖，在長方形ACDF中，AC＝DF，點B在CD上，點E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．〔1〕在探究長方形ACDF的面積S時，我們可以用兩種不同的方法：一種是找到長和寬，然后利用長方形的面積公式，就可得到S；另一種是將長方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，