2023年人教版高考數(shù)學總復習大題規(guī)范滿分練(四)立體幾何綜合問

大題規(guī)范滿分練(四)立體幾何綜合問題

1.(2021?安陽模擬)如圖①，在平面五邊形必如中，AD//BC,ADLAB,AD=2BC=2AB,將

弘3沿折起到尸的位置，使得平面為8,底面力靦，如圖②，且￡為外的中點.

(1)求證：〃〃平面為8；

(2)若PA=PB=6,AB=4,求三棱錐力以方的體積.

【解析】⑴設夕為必的中點，連接硒FB,

因為后為陽的中點，所以EF〃加,EF=\AD,

乙

又因為BC〃AD,AD=2BC,所以EF〃BC,EF=BC,

所以四邊形腔尸為平行四邊形，所以EC〃BF,

又因為BFu平面PAB,的平面PAB,所以"〃平面PAB；

(2)如圖，設。為48中點，連接尸0,OD,過￡作胡〃尸。交切于點〃,

因為處=%=6,48=4,所以加_L/3,PO=4yj2,

又因為平面PABL底面ABCD,平面PABC底面ABCD=AB,

所以產入底面/比。而PO〃EH,所以"，底面/比。

所以"是三棱錐A/8C的底面46c上的高，且用RA2吸,

又AD〃BC,ADLAB,BC=AB,

所以S△.AB?BC=gX4X4=8,

乙乙

,11R16A/2

所以/卜BCE=VE-ABC=RS&\BC?EH=~X8X2yj2—&.

ooo

2.（2022?山師附中模擬）已知四棱錐?力筋中，為_1_平面力比》,且為=a,底面力靦是邊

長為人的菱形，ZABC=6Q°.

⑴求證：平面4切平面為C

（2）設〃'與6〃交于點。，"為0。中點，若二面角快〃的正切值是2m，求a：6的值.

【解析】⑴因為必，平面/頗，應七平面/時，所以用，物，因為485為菱形，所以力。

工BD,又因為AC^PA=A,所以應LL平面PAC,因為Bk平面PBD,所以平面版_L平面PAC.

⑵過。作OHLPM于H,連接DH,

因為如，平面PAC,所以由三垂線定理可得DHLPM,

所以NOHD是34快〃的平面角，

「#b3b?OHAP

又OD=^-b,OM=~,AM~,且而=~,

ODm416a2+9-2,

TANA0HD=r

-5H=2卜ab=2/，所以a：Q3：4.

3.（2021?泰安模擬）如圖，在等腰直角三角形/。尸中，N/=90°,AD=3,B,。分別是仍

加上的點，且比〃E,尸分別是4?,用的中點.現(xiàn)將△皈沿6。折起，得到四棱錐P-ABCD,

連接EF.

(1)證明："〃平面必〃；

⑵是否存在點8,當△咖沿8。折起到ELL四時，二面角AS￡的余弦值等于匕？若

5

存在，求出46的長；若不存在，請說明理由.

【解析】⑴作。加〃46交/〃于點也連接掰，取中點M連接4V,FN.

如圖，由中位線定理得知〃CM且CM,

因為點后是的中點，所以力￡〃0隊，

且熊=號CM,WFN〃AE,且外三力￡,

所以四邊形/牙”是平行四邊形，所以9〃AN,

因為明平面為〃4A匕平面為。，所以￡F〃平面為〃

⑵存在點3使得二面角門破￡的余弦值等于坐，此時13=1.

5

因為BCLPB,且ABCPB=B,

所以凡人平面為6,

又BC//AD,所以ADL平面PAB,

所以為_L/〃，ABLAD,

又PAUB,所以以/作為坐標原點，4〃，/P所在直線分別為x,%z軸建立如圖所示的

空間直角坐標系，

3_____

設48=a,則陽=6C=3—a,由戰(zhàn)力8,得0＜水］，必=^9—6a,

所以/!(0,0,0),C(a,3—a,0),Z?(0,3,0),P(0,0,^9-6a),

所以比=(a,—a,0),DP=(0,—3,.9—6a),

設平面AN的法向量為A=(x,y,z),

DC,n=ax—ay=0

則—

DP,n=—3y+z\]9—6a=0

又平面物'的一個法向量為勿=(0,0,1),

依題意，Icos",ni)

解得a=l,即.故存在點反此時44=1.

4.(2021?衡水中學模擬)將長(4而、寬(況)、高(44)分別為4,3,1的長方體點心盒用彩

繩做一個捆扎，有如下兩種方案：

方案一：如圖(1)傳統(tǒng)的十字捆扎；

方案二：如圖(2)折線法捆扎，其中A、E=FB=BG=HC、=C、1=JD=DK=LA、=\.

(1)哪種方案更省彩繩？說明理由；

(2)求平面用H與平面G0所成角的余弦值.

【解析】(1)方案②更省彩繩.

原因如下：

方案①中彩繩總長度為1=2X(4+3)4-4=18.

方案②中彩繩總長度為勿=2乂m+6X^2<2X2.5+6X1.5=14.

即加，所以方案⑵更省彩繩.

(2)以點〃為原點，DA,DC,加所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則點以3,1,1),夕(3,3,0),K(l,0,0),G(2,4,0),Z(0,3,1),7(0,1,0),KE=

(2,1,1),KF=(2,3,0),JG=(2,3,0),JI=(0,2,1),

設平面跖T的法向量為(X，y”z),平面677的法向量為2=(如%，zj,

(2xi+必+Zi=0

則由，即＜

12為+3%=0

z?i,臍=0

令-ni?JG=O2%+3%=0

yl即《