重難突破05“將軍飲馬”模型求最值解析版

重難突破05“將軍飲馬”模型求最值重難突破一、單選題1．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：A、B兩村莊在一條河l（不計(jì)河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩村莊的距離之和最小，如圖2，連接AB，與l交于點(diǎn)C，則A．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn) B．兩直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn)C．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 D．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，這樣做的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=6，CD=4，CD⊥AB于點(diǎn)D，EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線(xiàn)段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)P與G重合時(shí)，PB+PD的值最小，根據(jù)CD和BD的長(zhǎng)度即可求得△PBD周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：如圖∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB=6，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴DB=1∵直線(xiàn)EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，∴點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)P與G重合時(shí)，PB+PD的值最小，最小值等于CD的長(zhǎng)，∴△PBD周長(zhǎng)的最小值是BD+CD=3+4=7，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出P點(diǎn)的位置．3．（2022春·福建漳州·七年級(jí)漳州三中校考期中）如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂線(xiàn)段最短，指的是從直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)所作的垂線(xiàn)段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線(xiàn)上其他各點(diǎn)的連線(xiàn)而言．【詳解】解：依據(jù)垂線(xiàn)段最短，以及兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線(xiàn)段最短的運(yùn)用，實(shí)際問(wèn)題中涉及線(xiàn)路最短問(wèn)題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”和“垂線(xiàn)段最短”這兩個(gè)中去選擇．4．（2023春·福建寧德·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線(xiàn)CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF＝5，則AB的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接PE,E'P,PF，當(dāng)E',P,F三點(diǎn)共線(xiàn)，E'F⊥AB時(shí)，此時(shí)EP+FP的值最小，由題意可得∠FE'B=30°，則BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，過(guò)E'作E'F⊥AB交于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P，連接PE，∴PE=PE'，∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，當(dāng)E',P,F三點(diǎn)共線(xiàn)，E'F⊥AB時(shí)，此時(shí)EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B=30°，∴BE'=2BF，∵BF=5，BE=4，∴E'B=10，∵CE=CE'，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=7，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)市松柏中學(xué)?？计谀┤鐖D，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線(xiàn)且BF＝b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（）A．12a+23b B．12a+b C．a(chǎn)+12【答案】B【分析】先證明點(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)，由AF為定值，所以當(dāng)AE+EF最小時(shí)，△AEF周長(zhǎng)的最小，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接FM交CE于E'，此時(shí)AE+FE的最小值為MF【詳解】解：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴點(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接FM交CE于E'，此時(shí)AE+FE的值最小，此時(shí)AE+FE=MF∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等邊三角形，∴△ACM≌△ACB，∴FM=FB=b，∴△AEF周長(zhǎng)的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)作軸對(duì)稱(chēng)圖形解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE＋EF的最小值是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】作C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，過(guò)C'作C'F⊥BC交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，CE+EF的最小值C'F的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，過(guò)C'作C'F⊥BC交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，∴CE+EF=C'E+EF≥C'F，∴CE+EF的最小值C'F的長(zhǎng)，∴CC'⊥BD，∵BD平分∠ABC，∴∠C'BG=∠GBC，在△C'BG和△CBG中，∠∴Δ∴BC=BC'，∵AC=BC=10，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，BC'=10，在Rt△BFC'中，C'F=12BC'=10×12∴CE+EF的最小值為5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)，求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)求最短距離的方法、通過(guò)證明三角形全等找到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線(xiàn)EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABP周長(zhǎng)的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+BP的最小值，求出AC長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．【詳解】解∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，設(shè)AC交EF于點(diǎn)D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長(zhǎng)，∴△ABP周長(zhǎng)的最小值是4+3=7．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．8．（2022春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCE的周長(zhǎng)最小時(shí)，P點(diǎn)的位置在（

）A．A點(diǎn)處 B．D點(diǎn)處C．AD的中點(diǎn)處 D．△ABC三條高的交點(diǎn)處【答案】D【分析】連接BP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD是BC的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解答即可．【詳解】解：連接BP，∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD是BC的垂直平分線(xiàn)，∴PB=PC，當(dāng)PC+PE的長(zhǎng)最小時(shí)，即PB+PE最小則此時(shí)點(diǎn)B、P、E在同一直線(xiàn)上，又∵BE為中線(xiàn)，△ABC是等邊三角形∴點(diǎn)P為△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，也就是△ABC的三條高的交點(diǎn)．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的重心的概念和性質(zhì)，熟記等邊三角形的重心的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·福建莆田·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是36，腰AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和等腰三角形的性質(zhì)，連接AD交EF于點(diǎn)M，此時(shí)△CDM周長(zhǎng)最小，進(jìn)而可求解．【詳解】如圖：連接AD交EF于點(diǎn)M，∵等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=CD=3，∵EF是腰AC的垂直平分線(xiàn)，連接CM，∴AM=CM，此時(shí)△CDM的周長(zhǎng)為：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CDCD的長(zhǎng)為3固定，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，△CDM的周長(zhǎng)最小．∵S△ABC=12BC?AD∴12×6?AD=36∴AD=12，∴AD+CD=12+3=15．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查最短路線(xiàn)問(wèn)題、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．10．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）【答案】D【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），則OB′=3，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直x軸，則AE=4，OE=1，則B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，∵C′O∥AE，∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A，∴B′O=C′O=3，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小．故選D．二、填空題11．（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，AD為等邊△ABC的高，M、N分別為線(xiàn)段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=BN，當(dāng)BM+CN取得最小值時(shí)，∠ANC=．

【答案】105°/105度【分析】作BE⊥BC，使BE=AB，連接CE交AB于點(diǎn)F，連接NE，由△ABC是等邊三角形，且AD為△ABC的高，得∠ABC=60°，AB=BC，AD⊥BC，則BE∥AD，BE=BC，所以∠EBN=∠BAM，∠BCE=∠BEC=45°，再證明△EBN?△BAM，得EN=BM，則EN+CN=BM+CN，可知當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，CE+CN的值最小，因此BM+CN的值也最小，即可求得∠ANC=∠AFC=∠ABC+∠BCE=105°．【詳解】解：∵如圖，作BE⊥BC，使BE=AB，連接CE交AB于點(diǎn)F，連接NE，

∵△ABC是等邊三角形，且AD為△ABC的高，∴∠ABC=60°，AB=BC，AD⊥BC，∴BE∥AD，BE=BC，∴∠EBN=∠BAM，∵∠CBE=90°，∴∠BCE=∠BEC=45°，在△EBN和△BAM中，BE=AB∠EBN=∠BAM∴△EBN?△BAM(SAS∴EN=BM，∴EN+CN=BM+CN，∵EN+CN≥CE，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，EN+CN=CE，此時(shí)CE+CN的值最小，∴此時(shí)BM+CN的值也最小，∴∠ANC=∠AFC=∠ABC+∠BCE=105°，∴當(dāng)BM+CN取得最小值時(shí)，∠ANC=105°，故答案為：105°．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一個(gè)點(diǎn)M，N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM=°

【答案】150【分析】要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，使三角形的三邊在同一直線(xiàn)上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，A″，即可得出∠A【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于M，交CD于N

∵∠DAB=105°，∴∠A'+∠A''=180°-∠BAD=180°-105°=75°，∵∠A'=∠MAA'，∠NAD=∠∴∠AMN+∠ANM=∠故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線(xiàn)問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．13．（2022秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C在直線(xiàn)MN上，∠BCN=30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP的度數(shù)為【答案】15【分析】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，則MN交AD于P，由軸對(duì)稱(chēng)易證∠CBP=∠CDP，結(jié)合∠BCN=30°證得△BCD是等邊三角形，可得AC=CD，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出∠CDP，即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，則MN交AD于P，由軸對(duì)稱(chēng)可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等邊三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．14．（2023秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，S△ABC=3cm2，邊BC的垂直平分線(xiàn)為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，則△【答案】4【分析】連接BD，由于AB=BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，故BD⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)直線(xiàn)l是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)可知，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，故BD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BD，∵AB=BC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴S△ABC=12AC?BD=12×2×BD解得BD=3，∵直線(xiàn)l是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，∴點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，∴AB的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，∴△CDP的周長(zhǎng)最短=（CP+PD）+CD=BD+12AC=3+1=4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，熟知等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．15．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M、N分別是OB、OA邊上的點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm時(shí)，則∠AOB=．【答案】30°/30度【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D、C，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=12∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D、C，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD=5，∠AOB=12∠COD∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、最短路線(xiàn)問(wèn)題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，證明△OCD是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為貫徹國(guó)家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李厝B的群眾出行到河岸a．張莊A和李厝B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線(xiàn)，經(jīng)測(cè)量，張莊A和李厝B到河岸b的距離分別為AC=pm、BD=qm，且CD=p+q【答案】到AC的距離為p（m）處．【分析】作B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'交b于點(diǎn)P，此時(shí)P點(diǎn)到A與B的距離和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，則AC＝CP，問(wèn)題得解．【詳解】解：作B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'交b于點(diǎn)P，∴BP＝B'P，∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此時(shí)P點(diǎn)到A與B的距離和最短，過(guò)B'作B'M∥CD，延長(zhǎng)AC與B'M交于點(diǎn)M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m，∴AM＝（p＋q）m，∴∠CAP＝45°，∴AC＝CP，∴P點(diǎn)與C點(diǎn)的距離是p（m），∴這座橋建造的位置是：到AC的距離為p（m）處，故答案為：到AC的距離為p（m）處．【點(diǎn)睛】此題主要考查了最短路線(xiàn)問(wèn)題；作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出最短路線(xiàn)為斜邊的直角三角形是解決本題的難點(diǎn)．17．（2022秋·福建南平·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為．【答案】80°/80度【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A''，連接A'A''交CD于N'，交BC于【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A''，連接A'A''交CD于N此時(shí)ΔA∵∠DAB=130∴∠A∴∠A∴∠M故答案為：80°【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)，最短路徑問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，∠AOB＝30°，M，N分別是OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，如果記∠AMP＝α，∠ONQ＝β，當(dāng)MP＋PQ＋QN最小時(shí)，則α與β的數(shù)量關(guān)系是.【答案】α－β＝90°【分析】分別作點(diǎn)M,N關(guān)于OB,OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′,N′連接M′N(xiāo)′，交OA于點(diǎn)Q,交OB于點(diǎn)P時(shí)MP＋PQ＋QN有最小值.通過(guò)三角形的內(nèi)角和與外角和性質(zhì)可得出∠AMP【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接M′N(xiāo)′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，∴∠OPM=30°+30°+∵α=30°+∴α故答案為：α-【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有軸對(duì)稱(chēng)，最短路線(xiàn)問(wèn)題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出圖形.19．（2019春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在銳角ΔABC中，AC=8cm，SΔABC=18cm2，AD平分∠BAC，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN【答案】9【分析】根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形，作N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.【詳解】解：作N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵AD平分∠BAC，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線(xiàn)段最短）∵SΔABC=18c∴12∴BE=92即BM+MN的最小值是92故答案為92【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)——最短路徑問(wèn)題.解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)角平分線(xiàn)性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，確定線(xiàn)段和的最小值.20．（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=50°，邊AB上有一定點(diǎn)P,M,N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是．【答案】80°【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；【詳解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由對(duì)稱(chēng)可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案為：80°．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問(wèn)題以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題21．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，ΔABC

(1)畫(huà)出ΔABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的ΔA'B'C'并寫(xiě)出A，B，C(2)在y軸上畫(huà)出點(diǎn)Q，使ΔQAC【答案】(1)圖見(jiàn)解析，A'4,1，B'3,3(2)見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可得到△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的ΔA'B'C（2）連接AC'(或CA')與【詳解】（1）（1）如圖，ΔAA'4,1，B（2）（2）如圖，Q點(diǎn)就是所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)變換作圖，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出點(diǎn)A、22．（2022春·福建泉州·七年級(jí)?？计谀缀文Ｐ停簵l件：如圖1，A、B是直線(xiàn)l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問(wèn)題：在直線(xiàn)l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為P

(1)根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫(huà)出解決問(wèn)題的圖形；(2)應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），使△PCD的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出草圖，并求出△PCD周長(zhǎng)的最小值；②如圖3，∠AOB=20°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=ON=2，點(diǎn)P，Q分別在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①12；②2【分析】（1）根據(jù)模型作出圖形；（2）①分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N，連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長(zhǎng)最小，進(jìn)而根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)推出△MON為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果；②作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'，連接M'N'交OB于P，交OA于Q，連接PM、NQ，此時(shí)MP+PQ+QN【詳解】（1）解：如圖1，

（2）①如圖2，

作法：（Ⅰ）作P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，（Ⅱ）作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，（Ⅲ）連接MN，分別交OA于點(diǎn)C，交OB于D，則△PCD的周長(zhǎng)最小，連接OM、ON，∵點(diǎn)M和點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，∴OM=OP=12，∠MOC=∠POC，同理可得，ON=OP=12，∠POD=∠NOD，∴OM=ON，∠MOC+∠POC+∠POD+∠NOD=2∠POC+2∠POD=2(∠POC+∠POD)=2∠AOB=60°，∴△MON為等邊三角形，∴MN=12，∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；②如圖3，

作法：（Ⅰ）作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（Ⅱ）連接M'N'交OB于P，交OA（Ⅲ）連接PM、NQ，∵OM=OM∴MP+PQ+QN=PM∴此時(shí)MP+PQ+QN的值最小，最小值為M'∵OM=OM'，ON=ON'，∠M'OB=∠AOB=20°∴∠M∴△M∴M'N'=OM故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．23．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B4,2，(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A(2)在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出△PAB，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)找到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B'，連接AB'交x軸于點(diǎn)P，連接AP【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B'，連接AB'交x軸于點(diǎn)P，連接AP則AP+BP=AP+B根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，△PAB如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對(duì)稱(chēng)、最短路徑問(wèn)題，能根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)正確作出對(duì)稱(chēng)圖形是解答的關(guān)鍵．24．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在高速公路l的同一側(cè)有A、B兩座城市．(1)現(xiàn)在要以最低成本在A、B兩座城市之間修建一條公路，假設(shè)每公里修建的成本相同，試在圖中畫(huà)出這條公路的位置，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的依據(jù)；(2)若要在高速公路l邊建一個(gè)?？空綜，使得A城市的人到該?？奎c(diǎn)最方便（即距離最近），請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出C的位置，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的依據(jù)．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短(2)圖見(jiàn)解析，垂線(xiàn)段最短【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短畫(huà)圖解答即可；（2）根據(jù)垂線(xiàn)段最短畫(huà)圖解答即可．【詳解】（1）這條公路的位置如圖所示，我的依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”．（2）點(diǎn)C的位置如圖所示，我的依據(jù)是“垂線(xiàn)段最短”．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題及垂線(xiàn)段最短，解題關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短及垂線(xiàn)段最短．25．（2019秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，△ABC各頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1；寫(xiě)出△A1B1C1各頂點(diǎn)坐標(biāo)A1；B1；C1（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PB1最短，畫(huà)出P點(diǎn)，并寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）若網(wǎng)格中的最小正方形邊長(zhǎng)為1，則△A1B1C1的面積等于.【答案】（1）見(jiàn)詳解，A1（-2，-3）；B1（-3，-2）；C1（-1，-1）；（2）見(jiàn)詳解，P（0，1）；（3）1.5．【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求最短路線(xiàn)的性質(zhì)得出答案;（3）根據(jù)格點(diǎn)求出三角形的面積.【詳解】解：（1）如圖所示：△A1B1C1為所求作的三角形；（2）如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，1）．（3）S【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．26．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，求∠ACP的度數(shù)．

【答案】30°【分析】連接BE，則BE的長(zhǎng)度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接BE，與AD交于點(diǎn)P，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ACP=30°．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線(xiàn)路問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．27．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊CB

(1)AE=______，∠ACD=______度；(2)當(dāng)四邊形ACPD為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，求CP的長(zhǎng)；(3)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；(4)若點(diǎn)M在線(xiàn)段CD上，連接MP、ME，直接寫(xiě)出MP+ME的值最小時(shí)CP的長(zhǎng)度．【答案】(1)4；45(2)4(3)90°或45°或67.5°(4)2【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B=30°，則AB=2AC=8，即可求得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)CD平分∠ACB，即可求得∠ACD的度數(shù)；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)題意可得∠PCD=45°，分三種情況：PC=PD，DP=DC，CP=CD，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（4）過(guò)點(diǎn)M作MP⊥BC，點(diǎn)P關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，根據(jù)題意可得∠PCM=∠P'CM，CM=CM，根據(jù)AAS，可得△PCM≌△P'CM，則PM=P'M，CP=CP'，因此MP+ME=MP【詳解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=180°-∠ACB-∠C=30°，∴AB=2AC=8，∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1故答案為：4；45．（2）∵四邊形ACPD為軸對(duì)稱(chēng)圖形，CD平分∠ACB，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)CD，∴CP=CA=4．（3）∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠PCD=45°．當(dāng)PC=PD時(shí)，∠PDC=∠PCD=45°，∴∠CPD=180°-45°-45°=90°；當(dāng)DP=DC時(shí)，∠CPD=∠PCD=45°；當(dāng)CP=CD時(shí)，∠CPD=∠CDP=180°-45°綜上所述，∠CPD的度數(shù)為90°或45°或67.5°．（4）如圖，點(diǎn)M在CD上，且MP⊥BC，作點(diǎn)P關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'

∵M(jìn)P⊥BC，∴MP∵CD平分∠ACB，∴∠PCM=∠P在△PCM和△P∠MPC=∠MP∴△PCM≌△∴PM=P'∵M(jìn)P+ME=MP∴當(dāng)點(diǎn)E，M，P'三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，MP+ME又∵根據(jù)垂線(xiàn)段最短，∴當(dāng)EP'⊥AC∴EP∴∠AEP'∵AE=4，∴AP∴CP=CP【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)——最短路徑問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，本題綜合性較強(qiáng)，作出輔助線(xiàn)，找到最短路徑是解題關(guān)鍵．28．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠EAF的度數(shù)．

【答案】80°【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，作A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連結(jié)GH交BC于E點(diǎn)，交CD于點(diǎn)F，當(dāng)G、F、E、H共線(xiàn)時(shí)，△AEF的周長(zhǎng)最小，先求∠BAE+∠DAF=50°，則∠EAF=130°-50°=80°．【詳解】解：如答圖①，分別作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CD，CB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，N，

則AF=MF，AE=NE．∴△AEF的周長(zhǎng)=AF+EF+AE=MF+EF+NE，∴當(dāng)M，F(xiàn)，E，N四點(diǎn)共線(xiàn)（如答圖②）時(shí)，△AEF的周長(zhǎng)取到最小值．∵∠ABC=∠ADC=90°，∠C=50°，∴∠BAD=130°．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠FMD=∠FAD，∠ENB=∠EAB．又由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可得∠MFC+∠NEC=∠FMD+∠FDM+∠ENB+∠NBE=∠FMD+90°+∠ENB+90°=∠FMD+∠ENB+180°，又∵∠MFC+∠NEC=∠FEC+∠C+∠EFC+∠C==∠180°+∠C，∴∠FMD+∠ENB+180°=180°+∠C，∴∠FMD+∠ENB=∠C=50°，∴∠FAD+∠EAB=50°，∴∠EAF=130°-50°=80°．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)求最短的方法，靈活應(yīng)用三角形、四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊△ABC（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°的三角形）的邊長(zhǎng)為10cm，動(dòng)點(diǎn)D和動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1cm的速度由A向B和由C向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，0<t≤10，DC和BE交于點(diǎn)

(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CD與BE始終相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接DE，求t為何值時(shí)，DE∥(3)若BM⊥AC于點(diǎn)M，點(diǎn)P為BM上的點(diǎn)，且使PD+PE最短．當(dāng)t=7時(shí)，PD+PE的最小值為多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最小值，無(wú)需說(shuō)明理由．【答案】(1)CD與BE始終相等(2)5(3)7【分析】（1）證明△ADC≌（2）根據(jù)DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出（3）作D點(diǎn)關(guān)于BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'交BC于點(diǎn)D'，連接D'E，交BM于點(diǎn)P，則DP+PE=D【詳解】（1）解：由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，∴△ADC≌∴BE=CD，∴CD與BE始終相等；（2）

解：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°，∵DE∥∴∠ADE=∠ABC=∠AED=∠ACB=60°，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D點(diǎn)關(guān)于BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'交BC于點(diǎn)D'，連接D'E，交

∵DP=D當(dāng)點(diǎn)D',P,E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，∴DP+PE=D∵t=7，∴AE=BD=BD'=3∴CD又∠C=60°，∴△CD∴D'∴PD+PE的最小值為7．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)性確定線(xiàn)段DP+PE=D'E30．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，若AB=12，△MBC的周長(zhǎng)是20．(1)求作：AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線(xiàn)MN上一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PBC周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①8；②20【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的作法作圖即可；（2）①根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得AM=BM，△MBC的周長(zhǎng)是20．AC=AB=12，即可求BC的長(zhǎng)度；②依據(jù)PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小，進(jìn)而得出△PBC的周長(zhǎng)最小值．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）①∵AB=AC=12，△MBC的周長(zhǎng)是20，即BM+MC+BC=20，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AM=BM，∴AM+MC+BC=20，∴AC+BC=20，∴BC=20-AC=8．∴BC的長(zhǎng)度為8．②當(dāng)P與M重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最?。碛桑骸逷B+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小值等于AC的長(zhǎng)，∴△PBC的周長(zhǎng)最小值=AC+BC=12+8=20．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．31．（2023春·河北保定·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．(1)若∠ABC=65°，則∠NMA的度數(shù)是___________度；(2)若AB=9cm．△MBC的周長(zhǎng)是16①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線(xiàn)MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出△PBC周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)40(2)①7cm；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等得AM=BM，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得AM=BM，△MBC的周長(zhǎng)是18cm．AC=AB=9cm，即可求BC的長(zhǎng)度；②依據(jù)PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小，進(jìn)而得出【詳解】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C∵∠ABC=65°，∴∠C=65°，∴∠A=50°，∵M(jìn)N是AB的垂直平分線(xiàn)，∴AM=BM，∴∠A=∠ABM=50°，∴∠MBC=∠ABC-∠ABM=15°，∴∠AMB=∠MBC+∠C=80°，∴∠NMA=1（2）①∵AB=AC=9，△MBC的周長(zhǎng)是16cm即BM+MC+BC=16∵AM=BM，∴AM+MC+BC=16，∴AC+BC=16，∴BC=7．∴BC的長(zhǎng)度為7cm②當(dāng)P與M重合時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最?。碛桑骸逷B+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC=AC，此時(shí)PB+PC最小值等于AC的長(zhǎng)，∴△PBC的周長(zhǎng)最小值=AC+BC=9+7=16cm【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．32．（2022秋·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)PM；(2)在圖2中，在線(xiàn)段BC上找到一點(diǎn)N,使AN+DN的值最?。敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P和點(diǎn)M，則直線(xiàn)（2）以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以同樣長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A和點(diǎn)H，則AH與EF互相垂直平分，連接DH，DH交BC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，直線(xiàn)PM即為所求，（2）解：如圖所示，點(diǎn)N即為所求，由作圖可知，AH與EF互相垂直平分，∴點(diǎn)A與點(diǎn)H關(guān)于直線(xiàn)BC成軸對(duì)稱(chēng)，∴AN=NH，∴AN+DN=DN+NH≥DH,當(dāng)點(diǎn)H、N、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，∴點(diǎn)N滿(mǎn)足要求．【點(diǎn)睛】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的作圖和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握作圖方法是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋·北京昌平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫(huà)有一段筆直的鐵路及道口A，B和村莊M，N．完成以下作圖．(1)若在村莊N與道口A之間修一條最短的公路，在圖中畫(huà)出此公路，并說(shuō)明這樣畫(huà)的理由；(2)若在公路BN上選擇一個(gè)地點(diǎn)P安裝實(shí)時(shí)監(jiān)控系統(tǒng)，要求點(diǎn)P到村莊N與道口B的距離相等，在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；(3)當(dāng)一節(jié)火車(chē)頭行駛至鐵路AB上的點(diǎn)Q時(shí)，距離村莊N最近．在圖中確定點(diǎn)Q的位置（保留作圖痕跡）；(4)若在道口A或B處修建一座火車(chē)站，使得到兩村的距離和較短，應(yīng)該修在________處．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)B【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短作圖即可；（2）取BN中點(diǎn)即可；（3）作N到AB的垂線(xiàn)段即可；（4）直接根據(jù)圖作答即可．【詳解】（1）理由：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短．（2）（3）（4）由圖可知M、N到B點(diǎn)距離均小于到A點(diǎn)距離，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)問(wèn)題，最短距離問(wèn)題，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．34．（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A(a,0)，B(0,b)，且a，b滿(mǎn)足(a-1)2+|2b-2|=0．若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，以線(xiàn)段PB為邊構(gòu)造等腰直角△BPE（P為頂點(diǎn)），連接(1)如圖1所示，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O，A之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AB、AE之間的位置關(guān)系為；并加以證明；(3)如圖3所示，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若AE所在直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)OE+BE的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(1,0)，(0,1)(2)垂直，見(jiàn)解析(3)(0,-1)，BE=2OE【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=1，b=1，得到OA=1，OB=1，于是得到結(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，證明△BOP≌△PHE(AAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出OB=PH=OA=1,OP=EH，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠OAB=45°，證出（3）由直角三角形的性質(zhì)證出OA=OF=1，則可得出F(0,-1)；取點(diǎn)G(1,-1)，連接FG、OG，O與G關(guān)于直線(xiàn)AF對(duì)稱(chēng)，連接BG交AF于E，連接OE，則OE=EG，根據(jù)三角形的面積關(guān)系可得出BE=2OE．【詳解】（1）解：∵(a-1)2∴a-1=0，2b-2=0，∴a=1，b=1，∴A(1,0)，B(0,1)，故答案為：(1,0)，(0,1)；（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，∵△BPE是等腰直角三角形，∴BP=PE,∠BPE=90°，∴∠BPO+∠EPH=90°，∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠OBP=∠EPH，又∵∠BOP=∠PHE=90°，∴△BOP≌△PHE(AAS∴OB=PH=OA=1，OP=EH，∴OP+PA=PA+AH，∴OP=AH，∴EH=AH.，又∵∠AHE=90°，∴∠HAE=45°，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠EAB=90°，∴BA⊥AE；故答案為垂直；（3）解：∵BA⊥AE，∴∠BAF=90°，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴∠OAF=45°，∵∠AOF=90°，∴∠OAF=∠OFA=45°，∴OA=OF=1，∴F(0,-1)；取點(diǎn)G(1,-1)，連接FG,OG，∵F(0,-1)，∠OFA=∠AFG=45°，∴O與G關(guān)于直線(xiàn)AF對(duì)稱(chēng)，連接BG交AF于E，連接OE，則OE=EG，此時(shí)OE+BE最小，OE+BE=EG+BE=BG，∵E到FB,FG的距離相等，BF=2，F(xiàn)G=1，∴SΔ∴BE=2EG，∴BE=2OE．故答案為：(0,-1)，BE=2OE．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在小正方形的頂點(diǎn)上，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．(1)畫(huà)△A1B1C(2)在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等；(3)在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)Q，使△ABQ的周長(zhǎng)最?。?4)請(qǐng)找出格點(diǎn)D（不與點(diǎn)A重合），使得△ABC與△ADC的面積相等，這樣的點(diǎn)D有______個(gè)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)圖見(jiàn)解析；12【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，分別找出A、B、（2）作BC的垂直平分線(xiàn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，即可得所求點(diǎn)；（3）要使△ABQ的周長(zhǎng)最小，即QA+QB最小即可，連接A1B，交直線(xiàn)l于點(diǎn)（4）在AC的兩側(cè)作AC的平行線(xiàn)，且到AC的距離等于B點(diǎn)到AC的距離，則這兩條直線(xiàn)上的格點(diǎn)，即為點(diǎn)D，即可得出答案；【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：如圖，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等；（3）解：如圖，點(diǎn)Q即為所求點(diǎn)，使△ABQ的周長(zhǎng)最??；（4）解：如圖，使得△ABC與△ADC的面積相等，這樣的點(diǎn)D有12個(gè)．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—軸對(duì)稱(chēng)變換、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)—最短問(wèn)題、三角形的面積，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，并正確作出所求圖．36．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）唐朝詩(shī)人李顧的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖1所示，詩(shī)中大意是將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，帶著馬走到河邊P點(diǎn)飲水后，再回到B點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)將軍怎樣走才能使總路程最短？請(qǐng)你通過(guò)畫(huà)圖，在圖中找出P點(diǎn)，使PA+PB的值最小，不說(shuō)明理由；（2）實(shí)踐應(yīng)用1，如圖2，點(diǎn)P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚€(xiàn)OM、ON上分別找到兩點(diǎn)A、B，使△PAB的周長(zhǎng)最小，不說(shuō)明理由；（3）實(shí)踐應(yīng)用2：如圖3，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，M、N分別是AD、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求CM+MN的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）CM+MN的最小值為24【分析】（1）作B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l(小河)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，交l于P（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P″和P'，連接P'P″交OM于A，ON于B，連接PA，PB，AB（3）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AB于CE，AD于O，連接ME，則CM+MN最小，證明△AOC≌△AOE，可得OC=OE，AE=AC=6，可證得△COM≌△EOM，從而得到當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線(xiàn)時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，再根據(jù)S△ABC=1【詳解】解：（1）如圖，作B點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l(小河)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，交l于P理由：根據(jù)作法得：PB=PB∴PA+PB=PA+PB∴當(dāng)點(diǎn)A,P,B'共線(xiàn)時(shí)，（2）如圖2，分別作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P″和P'，連接P'P″交OM于A，ON于B，連接PA，PB，AB理由：根據(jù)作法得：PB=PB'，∴PA+PB+AB=PA∴當(dāng)點(diǎn)P″,A,B,P（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AB于CE，AD于O，連接ME，則CM+MN最小，∴∠AOC=∠AOE=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△AOC和△AOE中，∠CAD=∠BADAO=AO∴△AOC≌△AOEASA∴OC=OE，AE=AC=6，∵∠AOC=∠AOE=90°，OM=OM，∴△COM≌△EOM，∴CM=EM，∴CM+MN=EM+MN≥EN，∴當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線(xiàn)時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°，∴S△ABC即12解得：CF=24∵S△AEC∴EN=24∴CM+MN的最小值為245【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”及其變形的模型．37．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，直線(xiàn)m是△ABC中BC邊的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)m上的一動(dòng)點(diǎn)，若AB=6，AC=4，BC=7．(1)求PA+PB的最小值，并說(shuō)明理由．(2)求△APC周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)6，理