專題09 軸對(duì)稱中的最值模型問(wèn)題（將軍飲馬）專訓(xùn)（解析版）

專題09軸對(duì)稱中的最值模型問(wèn)題（將軍飲馬）專訓(xùn)【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）題型四最值問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)梳理】將軍飲馬中最短路徑問(wèn)題四大模型一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)問(wèn)題1作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和最小。二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)問(wèn)題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連AC，與直線l的交點(diǎn)P即為所求?；蹫橹?；兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和AC最小。三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點(diǎn)C,在OB邊上找一點(diǎn)D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問(wèn)題問(wèn)題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的長(zhǎng)度得A1，連A1B，交n于點(diǎn)N，過(guò)N作NM⊥m于M。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專題訓(xùn)練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，，，，是中點(diǎn)，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱，于是得到AD的長(zhǎng)為PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴S△ABC==60，∴AD=12，設(shè)AD與EF的交點(diǎn)為P，∵EF垂直平分AB，∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴PA=PB，此時(shí)AD的長(zhǎng)為PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為12，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點(diǎn)E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點(diǎn)F．點(diǎn)P是線段CF上一動(dòng)點(diǎn)，則EP＋AP的最小值為（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值是，問(wèn)題得解．【詳解】解：連接，平分交于點(diǎn)，，，，，且，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值是，，的最小值為7．故選：

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，其中準(zhǔn)確作出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，是的兩條中線，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于最小值的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出Q、M、C共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖連接

，是的兩條中線，Q、M、C共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)度故選D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，證明即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，

，，，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，最短路徑問(wèn)題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出對(duì)稱點(diǎn)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用．4．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，則的最小值為．

【答案】3【分析】作構(gòu)造，再過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，，所以最小，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解∶∵，，∴，∴.如圖，過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，

∴，∵，，∴∴，，∴根據(jù)垂線段最短可知：的最小值為：，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑以及含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線．5．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是的三角形）的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)D和動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，分別以每秒的速度由A向B和由C向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，，和交于點(diǎn)F．

(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接，求t為何值時(shí)，；(3)若于點(diǎn)M，點(diǎn)P為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時(shí)，的最小值為多少？請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值，無(wú)需說(shuō)明理由．【答案】(1)與始終相等(2)5(3)7【分析】（1）證明即可；（2）根據(jù)，得到，即，求出即可；（3）作D點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，則，證明為等邊三角形，即可求的值．【詳解】（1）解：由已知可得，，∴，∵是等邊三角形∴，，∴，∴，∴與始終相等；（2）

解：∵是等邊三角形∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）∵，∴平分，作D點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，

∵，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∴，∵，∴，，∴，又，∴為等邊三角形，∴，∴的最小值為7．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱性確定線段，再由等邊三角形的性質(zhì)求解的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，．(1)作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡）．(2)連接，若，的周長(zhǎng)是．①求的長(zhǎng)；②在直線上是否存在點(diǎn)，使的值最小，若存在，標(biāo)出點(diǎn)的位置并求的最小值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①6cm；②存在，8cm【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法作圖即可；（2）①利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，可得答案；②根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，要使的值最小，則連接與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，即的最小值即可的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）①垂直平分，，的周長(zhǎng)，又，；②如圖，垂直平分，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，要使的值最小，則連接與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)，即為PA+PB的最小值，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)，此時(shí)，由三角形三邊關(guān)系可知，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)最大，過(guò)點(diǎn)B作由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是的最大值，代入計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)，∵，，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了最短線路問(wèn)題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點(diǎn)，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是邊的中點(diǎn)，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝12，在OA上有一動(dòng)點(diǎn)Q，OB上有一動(dòng)點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【答案】B【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F，連接EF分別交OA于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)R，連接OE、OF，∵P、E關(guān)于OA對(duì)稱，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，同理可證OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，∴△OEF是等邊三角形，∴EF=12，∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．故選B．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，周長(zhǎng)的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC∴點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)∴BD=CD==3∵的面積為21∵EF是線段AB的垂直平分線∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A∴AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值∴△PBD的周長(zhǎng)最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021秋·浙江·八年級(jí)期中）如圖，，內(nèi)有一定點(diǎn)P，且．在上有一動(dòng)點(diǎn)Q，上有一動(dòng)點(diǎn)R．若周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是________．【答案】8【分析】先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR的周長(zhǎng)=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【詳解】解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN，連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長(zhǎng)=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=8，即在保持OP=8的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為8．故答案為：8．．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短距離問(wèn)題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即把求三角形周長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)解答．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）最短路徑問(wèn)題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最?。鼽c(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)．應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點(diǎn)B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）10【詳解】試題分析：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接,與相交于兩點(diǎn)，連接,即為所求．試題解析：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接,與相交于兩點(diǎn)，連接,即為所求．此時(shí)線段的長(zhǎng)度即為周長(zhǎng)的最小值連接由對(duì)稱性知：為等邊三角形所以三角形的最小周長(zhǎng)為10.點(diǎn)睛：屬于將軍飲馬問(wèn)題，依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短.【經(jīng)典例題四最值問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用】【例4】（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；(3)在直線上畫出點(diǎn)，使得的值最?。敬鸢浮?1)2(2)作圖見(jiàn)解析(3)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）利用網(wǎng)格，間接表示出的面積即可得到答案；（2）根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱，先作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接頂點(diǎn)即可畫出；（3）由動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-“將軍飲馬”模型，作出點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線的交點(diǎn)即為所求（連接與直線相交于點(diǎn)也可）．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖所示：

即為所求；（3）解：如圖所示：

連接，與直線的交點(diǎn)即為所求（連接與直線相交于點(diǎn)也可）．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中求三角形面積、復(fù)雜作圖-對(duì)稱及動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-“將軍飲馬”，熟練掌握相關(guān)題型解法及對(duì)稱作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點(diǎn)，使；(2)在（圖②）直線上找出一點(diǎn)，使的值最??；(3)在（圖③）直線上找出一點(diǎn)，使的值最大．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，線段與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．（也可作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)）（3）過(guò)點(diǎn)，作直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）如圖①，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)；（2）如圖②，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)的值最??；（3）如圖③，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)最大．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長(zhǎng)是，①求的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長(zhǎng)是．，即可求的長(zhǎng)度；②依據(jù)，，即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，，此時(shí)最小，進(jìn)而得出的周長(zhǎng)最小值．【詳解】（1）解：，，，，∵是的垂直平分線，，，，，．（2）①，的周長(zhǎng)是，即，，，．∴的長(zhǎng)度為．②當(dāng)P與M重合時(shí)，的周長(zhǎng)最?。碛桑骸?，，∴當(dāng)P與M重合時(shí)，，此時(shí)最小值等于的長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D是不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點(diǎn)P，使得的和最短．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（3）連接交于P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：（3）解：點(diǎn)P即為所求．兩點(diǎn)之間線段最短，要使得的和最短，則點(diǎn)應(yīng)為線段和線段的交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直線、射線、線段．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧阜新·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．12 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，

∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴的長(zhǎng)為的最小值，∴周長(zhǎng)的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，邊長(zhǎng)為的等邊中，是上中線且，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長(zhǎng)的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進(jìn)而作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于E，此時(shí)的值最小，最后依據(jù)周長(zhǎng)的最小值求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，

∵都是等邊三角形，∴∴∴∴∵∴∴點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)()，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于，此時(shí)的值最小，∵∴是等邊三角形，∴∵∴∴周長(zhǎng)的最小值．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱性質(zhì)得出的值最?。?．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動(dòng)點(diǎn)，記，的面積分別記為，．若，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作直線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由圖可知，根據(jù)面積關(guān)系求出長(zhǎng)度即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作直線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．是等腰直角三角形，且，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，，解得，，的最小值為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短距離問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，根據(jù)題意添加相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別是邊，上的定點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖．在五邊形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠BAE的度數(shù)為（

）A．136° B．96° C．90° D．84°【答案】A【分析】取點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ與BC相交于點(diǎn)M，與DE相交于點(diǎn)N，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周長(zhǎng)=PQ，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，PQ的長(zhǎng)度即為的周長(zhǎng)最小值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出∠P+∠Q，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ與BC相交于點(diǎn)M，與DE相交于點(diǎn)N，則AM=PM，AN=QN，∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴周長(zhǎng)=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，由軸對(duì)稱確定最短路線，PQ的長(zhǎng)度即為的周長(zhǎng)最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝，∴∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴∠P+∠Q=，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，確定出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市真光中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】在BA上截取BE=BN，構(gòu)造全等三角形△BME≌△BMN，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．【詳解】解：如圖，在BA上截取BE=BN，因?yàn)椤螦BC的平分線交AC于點(diǎn)D，所以∠EBM=∠NBM，在△BME與△BMN中，所以△BME≌△BMN（SAS），所以ME=MN．所以CM+MN=CM+ME≥CE．因?yàn)镃M+MN有最小值．當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，即C到直線AB的垂線段時(shí)，CE取最小值此時(shí)，∵∠ABC=60°，CE⊥AB，∴∠BCE=30°，∴BE=，∴CE=，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用，最短路徑問(wèn)題，垂線段最短等知識(shí)．易錯(cuò)易混點(diǎn)：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把CM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒(méi)有辦法把兩個(gè)線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤．規(guī)律與趨勢(shì)：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對(duì)于最值的求解是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．7．（2020秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．1.5【答案】A【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對(duì)稱點(diǎn)和，連接O、O、，則與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)，與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接P、P，則此時(shí)的值即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥于點(diǎn)C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對(duì)稱點(diǎn)和，連接O、O、，則與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)，與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接P、P，則此時(shí)的值即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥于點(diǎn)C，如圖所示：由對(duì)稱性可知OP＝O＝O＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠＝2×60°＝120°，∴∠＝∠＝30°，∵OP＝2，OC⊥，∴OC＝O＝1；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以AC為底邊在外作等腰，過(guò)點(diǎn)D作的平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，點(diǎn)P是直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．15 B．17 C．18 D．20【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱，即可得出PC＝PA，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB即可得到△PBC周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：∵△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，DE平分∠ADC，∴ED垂直平分AC，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱，∴PC＝PA，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，∵BC＝5，，，∴AB＝2BC＝10∴△PBC周長(zhǎng)的最小值為：PB＋PC＋BC＝PB＋PA＋BC＝AB＋BC＝10＋5＝15，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短距離問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，D是邊上一點(diǎn)，，E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】5【分析】延長(zhǎng)作，連接，由點(diǎn)到直線的距離可知當(dāng)時(shí)有最小值，根據(jù)30度角的直角三角形性質(zhì)作答即可．【詳解】解：延長(zhǎng)作，連接，此時(shí)，∵最小，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了求最短距離，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．【答案】7【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，的長(zhǎng)為的最小值，的周長(zhǎng)最短．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．已知，現(xiàn)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則，長(zhǎng)度的最小值為．【答案】；．【分析】①根據(jù)的正切值即可求得，再利用三角形的面積公式即可解答；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即可求得的最小值為，【詳解】解：①∵，∴，∴，故答案為：；②當(dāng)點(diǎn)垂直于時(shí)，∵，，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，,∴,∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，點(diǎn)到直線的最短距離，中點(diǎn)的定義，掌握點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，分別為射線，上的動(dòng)點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，．若，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】5【分析】首先分別作點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接，分別交，于點(diǎn)M、N，連接、、，，易得是等邊三角形，且此時(shí)的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值，繼而求得答案．【詳解】解：如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接，分別交，于點(diǎn)M、N，連接、、，，∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，，，；∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，，，，，，是等邊三角形，，的周長(zhǎng)為：，周長(zhǎng)的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問(wèn)題以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，注意準(zhǔn)確確定點(diǎn)M，N的位置是關(guān)鍵．13．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D為AB的中點(diǎn)，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DE+CE的最小值為．【答案】/1.5【分析】作構(gòu)造，再過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，，所以最小，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解∶如圖，過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，∴，∵，，∴∴，∴的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑以及含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線．14（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，且，，點(diǎn)，分別是射線，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，作點(diǎn)D和點(diǎn)E的關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)形成等邊三角形即可求解．【詳解】解：如圖所示：作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)M、交于點(diǎn)N，連接、，此時(shí)的值最?。鶕?jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知：，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是作點(diǎn)D和點(diǎn)E的關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)形成等邊三角形．15．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為．【答案】44°/44度【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得到AF＝EF，根據(jù)中垂線性質(zhì)得到AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝90°?18°＝72°＝∠BEF，∴AB＝BE，是邊上的中線，∴AF＝EF，是的中垂線，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠C＝180°?36°?50°＝94°，∴∠BED＝∠BAD＝94°，是的一個(gè)外角，∴∠CDE＝94°?50°＝44°，故答案為：44°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的兩條中線，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則圖中長(zhǎng)度與的最小值相等的線段是．【答案】/EC【分析】如圖，連接，根據(jù)，是的中線，可推出，即可得到，由于是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理可得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為線段的長(zhǎng)度，即可得解．【詳解】解：如圖，連接，∵，是的中線，∴，，∴垂直平分，∴，∴，∵是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為線段的長(zhǎng)度，即與的最小值相等的線段是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．17．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，兩點(diǎn)在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點(diǎn)，使；(2)在（圖②）直線上找出一點(diǎn)，使的值最??；(3)在（圖③）直線上找出一點(diǎn)，使的值最大．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，線段與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．（也可作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)）（3）過(guò)點(diǎn)，作直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）如圖①，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)；（2）如圖②，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)的值最??；（3）如圖③，點(diǎn)P即為所求

此時(shí)最大．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．18（2022秋·北京昌平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A，B和村莊M，N．完成以下作圖．(1)若在村莊N與道口A之間修一條最短的公路，在圖中畫出此公路，并說(shuō)明這樣畫的理由；(2)若在公路上選擇一個(gè)地點(diǎn)P安裝實(shí)時(shí)監(jiān)控系統(tǒng)，要求點(diǎn)P到村莊N與道口B的距離相等，在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；(3)當(dāng)一節(jié)火車頭行駛至鐵路上的點(diǎn)Q時(shí)，距離村莊N最近．在圖中確定點(diǎn)Q的位置（保留作圖痕跡）；(4)若在道口A或B處修建一座火車站，使得到兩村的距離和較短，應(yīng)該修在________處．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)B【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作圖即可；（2）取中點(diǎn)即可；（3）作N到的垂線段即可；（4）直接根據(jù)圖作答即可．【詳解】（1）理由：兩點(diǎn)之間線段最短．（2）（3）（4）由圖可知M、N到B點(diǎn)距離均小于到A點(diǎn)距離，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)問(wèn)題，最短距離問(wèn)題，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)A，B，C，D是不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點(diǎn)P，使得的和最短．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（3）連接交于P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：（3）解：點(diǎn)P即為所求．兩點(diǎn)之間線段最短，要使得的和最短，則點(diǎn)應(yīng)為線段和線段的交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直線、射線、線段．20．（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，村莊和村莊都位于筆直的小河l同側(cè)，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設(shè)的水管長(zhǎng)度之和最?。?1)請(qǐng)畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；(2)若不計(jì)雜料，所用水管之和為米，且比長(zhǎng)米，兩村莊購(gòu)買水管花費(fèi)元，約定按長(zhǎng)度分?jǐn)傎M(fèi)用，請(qǐng)計(jì)算兩村莊各需付水管購(gòu)買費(fèi)多少元？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)元；元【分析】（1）先作出點(diǎn)關(guān)