因式分解經(jīng)典講義

第二章分解因式【知識(shí)要點(diǎn)】1．分解因式（1）概念：把一個(gè)化成幾個(gè)的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。（2）注意：①分解因式的實(shí)質(zhì)是一種恒等變形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的結(jié)果中，每個(gè)因式必須是整式。③分解因式要分解到不能再分解為止。2．分解因式與整式乘法的關(guān)系整式乘法是；分解因式是；所以，分解因式和整式乘法為關(guān)系。3．提公因式法分解因式（1）公因式：幾個(gè)多項(xiàng)式的因式。（2）步驟：①先確定，②后。（3）注意：①當(dāng)多項(xiàng)式的某項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)變?yōu)?。②當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“”號(hào)。4．運(yùn)用公式法分解因式（1）平方差公式：（2）完全平方公式：注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法，做為補(bǔ)充講解內(nèi)容?！究键c(diǎn)分析】考點(diǎn)一：利用提公因式法分解因式及其應(yīng)用【例1】分解因式：（1）（2）（3）（4）解析：（1）題先提一個(gè)“”號(hào)，再提公因式；（2）題的公因式為；（3）題的公因式為；（4）題的公因式為。答案：（1）；（2）；（3）；（4）。【例2】（1）已知，，求的值。（2）已知，，求的值。解析：（1）題：，所以考慮整體代入求該代數(shù)式的值；（2）題：，整體代入求值時(shí)注意符號(hào)。答案：（1）（2）【隨堂練習(xí)】1．分解因式：（1）（2）（3）（4）2．不解方程組，求的值注：（1）公因式應(yīng)按“系數(shù)大（最大公約數(shù)），字母同，指數(shù)低”的原則來選取。（2）當(dāng)多項(xiàng)式的某項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)變?yōu)?，而不是沒有。（3）當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“”號(hào)。（4）利用分解因式整體代入往往應(yīng)用于代數(shù)式的求值問題?？键c(diǎn)二：利用平方差公式分解因式及其應(yīng)用【例3】分解因式：（1）（2）解析：（1）題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式；（2）題：，所以符合平方差公式，此題注意分解完全。答案：（1）；（2）?！纠?】計(jì)算：（1）；（2）.解析：（1）題：原式中每一個(gè)因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡(jiǎn)化計(jì)算。（2）題：先化簡(jiǎn)，再使用平方差公式。答案：（1）；（2）?！纠?】利用因式分解說明：能被整除。解析：對(duì)于符號(hào)相反的二項(xiàng)式，我們考慮使用平方差公式。此種題型應(yīng)先將兩項(xiàng)化為底數(shù)相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，最后湊出除數(shù)。所以能被140整除?！倦S堂練習(xí)】1．分解因式：（1）（2）2.利用分解因式說明：能被60整除.注：（1）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都是平方項(xiàng)，且兩項(xiàng)符號(hào)相反；（2）公式中的可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；（3）在運(yùn)用平方差公式的過程中，有時(shí)需要變形?？键c(diǎn)三：利用完全平方公式分解因式及其應(yīng)用【例6】（1）分解因式：（2）已知是完全平方式，求的值。（3）計(jì)算：.解析：（1）題：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式進(jìn)行分解。（2）題：此種題型考察完全平方公式的特征，中間項(xiàng)是首尾兩項(xiàng)底數(shù)積的2倍（或其相反數(shù)）。（3）題：。答案：（1）；（2）；（3）【例7】（四川·成都）已知，那么的值是。解析：原式的前三項(xiàng)可以進(jìn)行因式分解，分解為，再將變形為，整體代入求值。答案：1．【隨堂練習(xí)】1．（1）分解因式：（2）若多項(xiàng)式能運(yùn)用完全平方差公式進(jìn)行因式分解，求的值。（3）2．（1）已知：，，求代數(shù)式。（2）當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值。注：（1）完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是：三項(xiàng)式，首尾兩項(xiàng)分別為兩個(gè)數(shù)的平方，中間項(xiàng)是兩個(gè)底數(shù)積的2倍（或其相反數(shù)）；（2）公式中的可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；考點(diǎn)四：綜合利用各種方法分解因式及其應(yīng)用【例8】分解因式：（1）（2）解析：（1）、（2）題都應(yīng)先利用完全平方公式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解。答案：（1）；（2）?！纠?】（福建·漳州）給出三個(gè)多項(xiàng)式：，請(qǐng)選擇你最喜歡的兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加減運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解。解析：本題是一道開放題，只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算再因式分解。如：【例10】已知分別是三角形的三邊，試證明解析：已知分別是三角形的三邊，可以想到利用三角形的三邊關(guān)系，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。由三角形三邊關(guān)系可知，上式的前三個(gè)因式大于0，而最后一個(gè)因式小于0，則有：【隨堂練習(xí)】1．分解因式：（1）（2）2.（2009，吉林）在三個(gè)整式：中，請(qǐng)你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加（或減）法運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解。注：分解因式的一般步驟可歸納為：“一提、二套、三查”。一提：先看是否有公因式，如果有公因式，應(yīng)先提取公因式；二套：再考察能否運(yùn)用公式法分解因式；運(yùn)用公式法，首先觀察項(xiàng)數(shù)，若為二項(xiàng)式，則考慮用平方差公式；若為三項(xiàng)式，則考慮用完全平方公式。三查：分解因式結(jié)束后，要檢查其結(jié)果是否正確，是否分解徹底?！眷柟烫岣摺恳?、選擇題1．下列從左到右的變形中，是分解因式的有（）①②③④⑥⑦=A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)2．下列多項(xiàng)式能分解因式的是（）A、B、C、D、3．下列多項(xiàng)式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）A、B、C、D、4．是△的三邊，且，那么△的形狀是（）A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等邊三角形5．如果是一個(gè)完全平方式，那么的值是（

）A、

B、

C、

D、6．已知多項(xiàng)式分解因式為，則的值為（ ）A、B、 C、D、7．已知，則的值是（

）A、或

B、

C、

D、或8．若，則是（）A、B、C、D、9．已知二次三項(xiàng)式可分解為兩個(gè)一次因式的積，下面說法中錯(cuò)誤的是（）A、若，則同取正號(hào)；B、若，則同取負(fù)號(hào)；C、若，則異號(hào)，且負(fù)的一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值較大；D、若，則異號(hào)，且負(fù)的一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值較大。10．已知，，，則多項(xiàng)式的值為（）A、

B、

C、

D、二、填空題11.分解因式：=.12．在括號(hào)前面填上“＋”或“－”號(hào)，使等式成立：13．若是一個(gè)完全平方式，則的值是；14．已知：，那么的值為.15．△的三邊滿足，則△的形狀是.16.觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要連其他的線，便可以得到一個(gè)用來分解因式的公式，這個(gè)公式是.17．若，則.18．分解因式.(第16題圖)19．若，則，.20．若，則.三、解答題21.分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） （8）22．先分解因式，再求值：已知，求的值23．設(shè)，，，（為大于零的自然數(shù)）。探究是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表達(dá)你所得到的結(jié)論。24．對(duì)于實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算：，分解因式：25．閱讀下列計(jì)算過程：99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=1002=104（1）計(jì)算：999×999+1999；9999×9999+19999。（2）猜想999×99+1999等于多少？寫出計(jì)算過程。第三章分式【知識(shí)要點(diǎn)】1．分式的概念及特征：、表示兩個(gè)整式，÷就可以表示成的形式，如果中含有字母，式子就叫做分式。2．分式有意義、無意義的條件：因?yàn)椴荒茏龀龜?shù)，所以在分式中，有：則有意義；則無意義。3．分式值為零的條件：分式的值為零要同時(shí)滿足：分母的值不為零，分式的值為零這兩個(gè)條件。即則有且。4.分式的符號(hào)法則：＝＝＝5.分式的運(yùn)算（1）同分母分式相加減，分母不變，只把分式相加減，即=（2）異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p，即==注：1.無論是探求分式有意義、無意義的條件，還是分式值等于零的條件，都將轉(zhuǎn)化成解方程或不等式的問題。2.分式約分步驟：（1）找出分式的分子與分母的公因式，當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，要先把分式的分子和分母分解因式。（2）約去分子與分母的公因式。3.最簡(jiǎn)公分母的確定：（1）當(dāng)幾個(gè)分式的分母是單項(xiàng)式時(shí)，各分式的最簡(jiǎn)公分母是系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪、所有不同字母的積；（2）如果各分母都是多項(xiàng)式，應(yīng)先把各個(gè)分母按某一字母降冪或升冪排列，再分解因式，找出最簡(jiǎn)公分母?！究键c(diǎn)分析】考點(diǎn)一：分式有意義、無意義、值等于零的條件（重點(diǎn)）【例1】（2009，天津）若分式的值為零，則的值等于。答案：評(píng)析：由于可得，解得或。又因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，。所以要使分式的值為零，的值只能等于?！倦S堂練習(xí)】1.若分式的值為0，則x的值等于。2.若分式的值為零，則x的值等于?？键c(diǎn)二：分式的約分【例2】（2009，吉林）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．B．C.D.答案：Ｄ評(píng)析：觀察題中所給分式，分子、分母都為多項(xiàng)式，且都能分解，因此應(yīng)先將分子分母分解因式，再約去公因式。如注：1.在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)要充分理解＂都＂和＂同＂這兩字的含義。2.約分的結(jié)果是最簡(jiǎn)分式或整式。【隨堂練習(xí)】1.（2008，太原）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.B.C.D.2．化簡(jiǎn))的結(jié)果是（）A.B.C.D.考點(diǎn)三：分式的加減運(yùn)算（重點(diǎn)）【例3】（2009，長沙）分式的計(jì)算結(jié)果是（）A.B.C.D.答案：C評(píng)析：先通分化為同分母分式，再進(jìn)行加法運(yùn)算。+=+==注：1.同分母分式加減運(yùn)算中的“把分子相加減”是指把各個(gè)分式的“分子的繁體相加減，故當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)加括號(hào)。2.通分和約分是兩種截然不同的變形，約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，通分是針對(duì)多個(gè)分式而言；約分是將一個(gè)分式簡(jiǎn)化，通分是將一個(gè)分式化繁。【隨堂練習(xí)】（2008，杭州）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.B.C.D.考點(diǎn)四：分式的乘除運(yùn)算【例4】（2009，天水）已知，計(jì)算評(píng)析：因?yàn)?，所以?即原式==,當(dāng)時(shí)，原式=注：先化簡(jiǎn)再求值，運(yùn)算更簡(jiǎn)便，分式的乘除運(yùn)算要進(jìn)行到分式和分母不再有公因式為止?！倦S堂練習(xí)】化簡(jiǎn)1.2..考點(diǎn)五：分式的混合運(yùn)算【例5】（2010，常德）化簡(jiǎn)：評(píng)析：原式==注：1.正確運(yùn)用運(yùn)算法則；2.靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律；3.運(yùn)算結(jié)果要最簡(jiǎn)化【隨堂練習(xí)】（2010，瀘州）化簡(jiǎn)：考點(diǎn)六：條件分式求值的常用技巧（難點(diǎn)）【例6】已知，則分式的值為答案:評(píng)析:由已知條件不能直接求出的值，所以考慮將已知條件向著所求代數(shù)式的方向進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，通過整體代換解決問題。由,可得,所以,所以原式=注：條件分式求值主要方法有：1.參數(shù)法：當(dāng)已知條件形如所要求值的代數(shù)式是一個(gè)含而又不易化簡(jiǎn)的分式時(shí)，常設(shè)（就是我們所說的參數(shù)），然后將其變形為的形式，再代入所求代數(shù)式，約分即可。2.整體代換法：若由已知條件不能直接求分式中字母的值，可考慮把已知條件和所求代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后整體代換，可使問題得到解決．【隨堂練習(xí)】已知，求代數(shù)式的值若，則的值【鞏固提高】一、選擇題1．（2009，荊門）計(jì)算：的結(jié)果是（）A.B.C.D.2．（2009,威海）化簡(jiǎn))的結(jié)果是（）A.B.C.D.3．若，則等于（）A.B.C.D.4．（2010,河北）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.B.C.D.5．（2009,陜西）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.B.C.D.二、填空題6．計(jì)算：7．（2009，漳州）若分式無意義，則實(shí)數(shù)8．（2010，黃岡）當(dāng)2010時(shí)，代數(shù)式的值為9．在下列三個(gè)不為零的式子：中，任選兩個(gè)組成一個(gè)分式是把這個(gè)分式化簡(jiǎn)所得結(jié)果是三、解答題10．(2010,煙臺(tái))先化簡(jiǎn)，再求值：，其中11．(2010,貴陽)先化簡(jiǎn)：，當(dāng)時(shí)，再從的范圍選取一個(gè)合適的整數(shù)代入求值。12．（表格信息題）按下圖的程序計(jì)算，把答案寫在表格內(nèi)：→平方→（）→→（）→答案（1）填寫表格輸入輸出答案（2）請(qǐng)將題中的計(jì)算程序用代數(shù)式表達(dá)出來，并化簡(jiǎn)。13．（條件開放題）請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)造一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式：第四章相似三角形【知識(shí)要點(diǎn)】1．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。注：（1）兩個(gè)全等三角形一定相似（2）兩個(gè)直角三角形不一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。（3）兩個(gè)等腰三角形不一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。2．相似比（1）相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。（2）面積比等于相似比的平方。注：相似比要注意順序：如△∽△A'B'C'的相似比，而∽△的相似比，這時(shí)。3．相似三角形的識(shí)別（1）如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（2）如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（3）如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似?！究键c(diǎn)分析】考點(diǎn)一：相似三角形的判定【例1】如圖，∠1＝∠2＝∠3，圖中相似三角形有（）對(duì)。解析：由平行線的性質(zhì)，，可知∥，，，再由相似三角形判定定理一，可得有四組三角形相似。答：4對(duì)?！倦S堂練習(xí)】1．如圖，已知：△、△，其中∠A＝50°，∠B＝60°∠C＝70°，∠D＝40°，∠E＝60°，∠F＝80°，能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，使△所分成的每個(gè)三角形與△所分成的每個(gè)三角形，分別對(duì)應(yīng)相似？如果可能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案；若不能，說明理由?？键c(diǎn)二：相似三角形的識(shí)別、特征在解題中的應(yīng)用【例2】（2008·廣東?。┤鐖D所示，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F在的延長線上，連結(jié)交于點(diǎn)E。（1）求證：△∽△；（2）當(dāng)E是的中點(diǎn)，且＝2時(shí)，求證：∠F＝∠。解析：由∥得：∠F＝∠，∠＝∠D∴△∽△，又E為中點(diǎn)∴＝，從而＝，結(jié)合已知條件，易證＝，∠F＝∠（1）∵四邊形是平行四邊形∴∥∴∠F＝∠，∠＝∠D∴△∽△（2）∵E是中點(diǎn)，∴＝由（1）得：∴＝∵四邊形是平行四邊形∴＝∴＝＝∴＝2，又＝2∴＝∴∠F＝∠注：平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。【隨堂練習(xí)】1．已知：如圖(a)，在梯形中，∥，對(duì)角線交于O點(diǎn)，過O作∥分別交，于E，F(xiàn)。求證：(1);(2);(3)若為梯形中位線，求證∥?？键c(diǎn)三：未知數(shù)的設(shè)定應(yīng)用【例3】在梯形中，∠A＝90°，∥，點(diǎn)P在線段上從A向B運(yùn)動(dòng)，（1）是否存在一個(gè)時(shí)刻使△∽△；（2）若＝4，＝6，＝10，使△∽△，則的長度為多少？解析：（1）存在（2）若△∽△，則設(shè)或或或∴長度為4或6【隨堂練習(xí)】1．如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，＝5，＝3，試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。考點(diǎn)四：直角三角形相似的比例關(guān)系【例4】已知：如圖，Δ中，∠90°，⊥于D，⊥于E，⊥于F。求證：(1)；(2);(3)解析：（1）掌握基本圖形“Δ，∠90°，⊥于D”中的常用結(jié)論。①勾股定理：②面積公式：··③三個(gè)比例中項(xiàng)：,,④⑤（2）靈活運(yùn)用以上結(jié)論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基本途徑，如等式兩邊都乘或除以某項(xiàng)，都平方、立方，或兩等式相乘等。（3）學(xué)習(xí)三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法，以及中間等量代換。第（1）題：證法一∵∴證法二∵,∴第（2）題：證法一∵，利用Δ∽Δ，證得，命題得證。證法二由得證法三∵∽，∴(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比)∵∥，∴∴第（4）題：證法一∵,∴，∴證法二：∵Δ∽Δ，∴∴·證法三：∵，∴【隨堂練習(xí)】1．如圖，已知直角梯形中，∠A＝∠B＝90°，設(shè)，，作⊥，交于點(diǎn)E，連結(jié)。（1）試判斷△與△、△與△是否分別一定相似？若相似，請(qǐng)加以證明。（2）如果不一定相似，請(qǐng)指出a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似？FADEBC【鞏固提高】1.如圖，已知∥，和相交于O，若，則：＝。2.如圖，△中，：＝1：2，∥，若△的面積為S，則△的面積為。3.若正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3和4，則此正方形的邊長為。（2000年武漢市中考題）4.閱讀下面的短文，并解答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比：，設(shè)分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，則，又設(shè)分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則。（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（）A.兩個(gè)球體 B.兩個(gè)圓錐體C.兩個(gè)圓柱體 D.兩個(gè)長方體（2）請(qǐng)歸納出相似體的3條主要性質(zhì)：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L的比等于；②相似體表面積的比等于；③相似體體積的比等于。（2001年江蘇省泰州市中考題）5.如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長臂端點(diǎn)升高（）A.11.25m B.6.6m C.8m6.如圖，D為△的邊上的一點(diǎn)，∠＝∠A，已知，△與△的面積的比是2：3，則的長是（）A. B.