2024屆A佳經典聯(lián)考高一數學第一學期期末檢測模擬試題含解析

2024屆A佳經典聯(lián)考高一數學第一學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．以，為基底表示為A. B.C. D.2．直線過點，且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是（）A. B.C. D.3．空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為點，關于原點的對稱點為點，則間的距離為A. B.C. D.4．已知，，則A. B.C. D.5．將函數fx的圖象向右平移φφ>0個單位長度，得到函數gx=sinx+π6的圖象.A.π6 B.C.2π3 D.6．在中，已知，則角（）A. B.C. D.或7．若函數在上是增函數，則實數k的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設函數在區(qū)間上為偶函數，則的值為（）A.-1 B.1C.2 D.39．下列關系中正確個數是（）①②③④A.1 B.2C.3 D.410．已知函數是R上的偶函數.若對于都有，且當時，，則的值為（）A.﹣2 B.﹣1C.1 D.211．已知全集，，，則等于（）A. B.C. D.12．設命題p:?x∈0,1，x>xA.?x∈0,1，x<x3C.?x∈0,1，x≤x3二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數，，若不等式恰有兩個整數解，則實數的取值范圍是________14．已知圓柱的底面半徑為，高為2，若該圓柱的兩個底面的圓周都在一個球面上，則這個球的表面積為______15．已知，α為銳角，則___________.16．函數y=的定義域是______.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知集合.（1）若，求a的值；（2）若且“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.18．某校食堂需定期購買大米已知該食堂每天需用大米噸，每噸大米的價格為6000元，大米的保管費用單位：元與購買天數單位：天的關系為，每次購買大米需支付其他固定費用900元該食堂多少天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費用最少？若提供糧食的公司規(guī)定：當一次性購買大米不少于21噸時，其價格可享受8折優(yōu)惠即原價的，該食堂是否應考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由19．已知函數.（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）證明：在區(qū)間上單調遞減.20．已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若函數在有且僅有兩個零點，求實數取值范圍.21．英國數學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當時，，.（1）證明：當時，；（2）設，若區(qū)間滿足當定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ii）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.22．已知函數，函數.（1）填空：函數的增區(qū)間為___________（2）若命題“”為真命題，求實數的取值范圍；（3）是否存在實數，使函數在上的最大值為？如果存在，求出實數所有的值.如果不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】設，利用向量相等可構造方程組，解方程組求得結果.【詳解】設則本題正確選項：【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，關鍵是能夠通過向量相等構造出方程組，屬于基礎題.2、A【解析】先設直線方程為：，根據題意求出，即可得出結果.【詳解】設所求直線方程為：，由題意得，且解得故，即.故選：A.【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線的斜截式方程即可，屬于常考題型.3、C【解析】分析：求出點關于平面的對稱點，關于原點的對稱點，直接利用空間中兩點間的距離公式，即可求解結果.詳解：在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點，關于原點的對稱點，則間的距離為，故選C.點睛：本題主要考查了空間直角坐標系中點的表示，以及空間中兩點間的距離的計算，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.4、A【解析】∵∴∴∴故選A5、C【解析】根據正弦型函數圖象變換的性質，結合零點的定義和正弦型函數的性質進行求解即可.【詳解】因為函數fx的圖象向右平移φφ>0個單位長度，得到函數gx=sinx+π6的圖象，所以函數因為x=0是函數Fx所以F0=f0所以sinφ+π6=1解得：φ=2kπ(k∈Z)，或φ=2kπ+2π3(k∈Z)當φ=2kπ(k∈Z)時，因為φ>0，所以φ的最小值是2π，當φ=2kπ+2π3(k∈Z)時，因為φ>0，所以φ綜上所述φ的最小值是2π3故選：C6、C【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度數.【詳解】因為，所以，解得：，，因為，所以.故選：C.7、C【解析】根據二次函數的對稱軸在區(qū)間的左邊，即可得到答案；【詳解】由題意得：，故選：C8、B【解析】由區(qū)間的對稱性得到，解出b；利用偶函數，得到，解出a，即可求出.【詳解】因為函數在區(qū)間上為偶函數，所以，解得又為偶函數，所以，即，解得：a=-1.所以.故選：B9、A【解析】根據集合的概念、數集的表示判斷【詳解】是有理數，是實數，不是正整數，是無理數，當然不是整數．只有①正確故選：A【點睛】本題考查元素與集合的關系，掌握常用數集的表示是解題關鍵10、C【解析】根據題意求得函數的周期，結合函數性質，得到，在代入解析式求值，即可求解.【詳解】因為為上的偶函數，所以，又因為對于，都有，所以函數的周期，且當時，，所以故選：C.11、D【解析】利用補集和并集的定義即可得解.【詳解】，，，，，.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，熟練掌握補集和并集的定義是解決本題的關鍵，屬于基礎題.12、D【解析】直接根據全稱命題的否定，即可得到結論.【詳解】因為命題p:?x∈0,1，x所以?p：?x∈0,1，x故選：D二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、.【解析】因為,所以即的取值范圍是.點睛：對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等14、【解析】直接利用圓柱的底面直徑，高、球體的直徑構成直角三角形其中為斜邊，利用勾股定理求出的值，然后利用球體的表面積公式可得出答案【詳解】設球的半徑為，由圓柱的性質可得，圓柱的底面直徑，高、球體的直徑構成直角三角形其中為斜邊，因為圓柱的底面半徑為，高為2，所以，，因此，這個球的表面積為，故答案為【點睛】本題主要圓柱的幾何性質，考查球體表面積的計算，意在考查空間想象能力以及對基礎知識的理解與應用，屬于中等題15、【解析】由同角三角函數關系和誘導公式可得結果.【詳解】因為，且為銳角，則，所以，故.故答案為：.16、【解析】要使函數有意義，需滿足，函數定義域為考點：函數定義域三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）先求出集合B，再由題意可得從而可求出a的值，（2）由題意可得，從而有再結合可求出實數a的取值范圍.【小問1詳解】由題設知，∵，∴可得.【小問2詳解】∵，∴，解得.∵“”是“”的必要不充分條件，∴.∴解得.因此，實數a的取值范圍為.18、（1）10天購買一次大米；（2）見解析.【解析】根據條件建立函數關系，結合基本不等式的應用求最值即可；求出優(yōu)惠之后的函數表達式，結合函數的單調性求出函數的最值進行判斷即可【詳解】解：設每天所支付的總費用為元，則，當且僅當，即時取等號，則該食堂10天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費用最少若該食堂接受此優(yōu)惠條件，則至少每35天購買一次大米，設該食堂接受此優(yōu)惠條件后，每x，天購買一次大米，平均每天支付的總費用為，則，設，，則在時，為增函數，則當時，有最小值，約為，此時，則食堂應考慮接受此優(yōu)惠條件【點睛】本題主要考查函數的應用問題，基本不等式的性質以及函數的單調性，屬于中檔題.19、（1）是偶函數，證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）先求定義域，再利用函數奇偶性的定義證明即可，（2）利用單調性的定義證明【小問1詳解】為偶函數，證明如下：定義域為R，因為，所以是偶函數.【小問2詳解】任取，且，則因為，所以，所以，即，由函數單調性定義可知，在區(qū)間上單調遞減.20、（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）【解析】（1）先由三角恒等變換化簡解析式，再由正弦函數的性質得出單調區(qū)間；（2）由的單調性結合零點的定義求出實數的取值范圍.【小問1詳解】由得故函數的單調遞增區(qū)間為.由得故函數的單調遞減區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知，在上為增函數，在上為減函數由題意可知：，即，解得，故實數的取值范圍為.21、（1）證明見解析（2）（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【解析】（1）利用來證得結論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個實根來判斷出此時不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對的取值進行分類討論，結合的單調性以及（1）的結論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【小問1詳解】由已知當時，，得，所以當時，.【小問2詳解】（i）時，假設存在，則由知，注意到，故，所以在單調遞增，于是，即是方程的兩個不等實根，易知不是方程的根，由已知，當時，，令，則有時，，即，故方程只有一個實根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時，假設存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時的定義域為，值域為，符合題意.若，當時，同理可得，舍去，當時，在上單調遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當時，，因為，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點睛】對于“新定義”的題目，關鍵是要運用新定義的知識以及原有的數學知識來進行求解.本題有兩個“新定義”，一個是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉化為函數的單調性來求解.22、（1）（寫出開區(qū)間亦可）；（2）；（3）.【解析】（1）根據單調性的定義結合奇偶性可得解；（2）令，問題轉化為“”為真命題，根據基本不等式找函數的最小值即可；（3）當時，，記，若函數在上的最大值為，分和，結合對數函數的單調性列式求解即可.【詳解】（1）函數的增區(qū)間為（寫出開區(qū)間亦可）；理由：，為偶函數，任取，，所以的增區(qū)間為.（2），令，當且僅當時取“”，“”為真命題可轉化為“”為真命題，因為，當且僅當時取“”，所以，所以